高数模拟题
浙江师范大学《高等数学》试题 (A 卷)
(2008—2009学年第1学期)
考试类别 闭卷 使用学生 职业技术学院财务会计教育专业 考试时间 120 分钟 出卷时间 2008.12.18
说明:考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一、单项选择题 (每题3分，共15分
)
2
2
(
)
.tan(sin ).cos().cos(arctan ).4
A y x x
B y x x
C y x
D y π==+
==1.下列函数中为奇函数的是； ；；
1()sin 0()()f x x x f x x
=→2.设函数，则当时，为
; ;; A B C D ．无界变量．无穷大量．有界，但非无穷小量．无穷小量．
[)(][]()(),()(
)
()f x a b a b f x A a b B a b C a b D -∞+∞<-∞+∞3.设在，上连续，，是任意实数，且则必能取到最大值和最小值的区间是．， ．， ．， ．，3
tan sin 4.lim
()
11
062
x x x
x
A B C D →-∞极限的值为．；． ． ．．
000000(())(),()()()()(),()(),()(),x f x y f x A f x B f x C f x D f x =''''''''5.若，为曲线的拐点则 必有存在且等于零 一定存在但不一定等于零 如果存在必等于零 如果存在必不为零
二、填空题（每小题3分，共15分）
1、函数)6ln()(2x x x f -+=的定义域用区间表示为______________。
2、____________lim
的值等于x
x
x e
e x -→-.
3．cos y x x y ''==设 ，则___________. 4、____________________的单调减少区间是
x x y -
=
5、_________________2
1
的铅直渐近线是x
xe
y =.
三、计算题（共8题，每小题6分，48分）
1
1lim
()1
n
x x n x →--1.求极限，为任意实数．
tan lim
sin x x x x x
→--2.求极限
3.lim .x
x x +→求极限
1sin 1ln x y y x
'=
-＋4.设 求．
2
()ln(sin )()f x x df x =5.设，求．
6(),xy
y y x y x e
y '=+=、设由确定求
3
2
()(2)(3)f x x x =-+7.求的极值
[]4
2
2522y x x =-+-8.求函数在，上的最大值与最小值
四、应用题（每题8分，共16分）
1.讨论2
ln(1)y x =+的单调性和凹凸性，并求函数y 的极值和曲线的拐点。 2. 设某种产品x 个单位的总成本函数为()2
52c x x =+（万元），其价格函数
为
()8.040.01p x x =-（万元）
，问： （1）当200x =个单位时，边际成本和边际收益分别为多少？
（2）应生产多少个单位产品，才能使利润函数()L x 取最大值？最大利润是多少？
五、证明题（6分）
1
13x x
>>-
证明当时
浙江师范大学《高等数学》试题 (A 卷)参考答案
及评分标准
一、单项选择题 (每题3分，共15分)1、A
2、D
3、C
4、C
5、C
二、填空题（每小题3分，共15分）1、(-2，3) 2、
12
3、''=--y x x x
2sin cos
4、10()
4?
?
???
?， 写开区间也不扣分
5、x =0
三、计算题（共7题，每小题7分，49分）
1.解：原式=--→lim
ln x n x
e
x 1
1
1[]
=-?+--→lim
ln ln ()ln x n x
e
n x
n
x x 1
1
111
=n
1
lim
1
n x nx
n -→+∞
==或：原式
2.解：2
2
sec 1tan lim
lim
1cos 1cos x x x x x
x
→→-==--原式 2
2lim
lim
1cos sin x x x
x x
x
→→==- 2=
3.解：ln 0
lim x x
x e
→+=原式0
ln lim
1x x x
e →+= 2
1
lim
lim (2)
2x x x x x
e
e -→+→+--== 0
1e ==
4. 解：'=
-+
+-y x x x x x cos (ln )(sin )
(ln )
11
112
5.解：df x f x dx ()()='2cot xdx =
6.解：)(1y x y e y xy
'+=+'
，'=
--y ye
xe
xy
xy
1
1
7.解：[]2
2
3
2
()3(2)(3)2(2)(3)(2)(3)55f x x x x x x x x '=-++-+=-++
=-++52132
()()()x x x
令 ，得 ，，'==-=-=f x x x x ()0312123
3()0,31()012()0.2()0()3(3)0()1(1)108
x f x x f x x f x x f x f x x f f x x f ''-∞<<->-<<-<''-<<><<+∞>=--==--=-当 当 当 当 故当在处取得极大值 在处取得极小值
不是的极值点x f x =2()
[]4
2
2522y x x =-+-8.求函数在，上的最大值与最小值
解：'=+-y x x x 411()()驻点 ，，x x x 123101=-==
y y y y y ()()()()()-=-====213140514213，，，， min max (1)4,(2)13y y y y =±==±=故
四、应用题（每题9分，共18分）
1.讨论2ln(1)y x =+的单调性和凹凸性，并求函数y 的极值和曲线的拐点。
解： 定义域为 (,)-∞+∞ 221x
y x '=+, 2
222(1)(1)
x y x -''=+
由 0y '= 得驻点 0x =. 由 0y ''= 得 11x = 和 21x =-
由上表可以看出，单调增区间为()0,∞，单调减区间为(),0-∞ 凹区间为()1,1-，凸区间有两个：(),1-∞-和()1,-+∞ 极小值为0，拐点有两个：()1,ln 2-和()1,ln 2 2. 设某种产品x 个单位的总成本函数为()2
52c x x =+（万元）
，其价格函数为
()8.040.01p x x =-（万元）
，问： （1）当200x =个单位时，边际成本和边际收益分别为多少？
（2）应生产多少个单位产品，才能使利润函数()L x 取最大值？最大利润是多
少？
解：边际成本()4c x x '= ，收益()()2
8.040.01R x xp x x x ==- 边际收益()8.040.02R x x '=-
（1） 当200x =个单位时，边际成本为()200800c '= 边际收益为
()200 4.04R '=
（2）利润函数()L x ()()R x c x =-2
8.04 2.015x x =--
因()L x ' ()()R x c x ''=-8.04 4.02x =-，
故由()0L x '=，得2x = 因() 4.020L x ''=-<，故当2x =时最大利润，其最大利润为(2)L ()()22 3.04R c =-=（万元） 五、证明题（6分）
1
13x x
>>-
证明当时
证明:令f x x x
()=-+231， '=
-
f x x
x
()112
[)[)()11()0()1f x x f x f x '+∞>>+∞在，上连续,当时 , 故在，上单调增
当时恒有x f x f >>=110()() 即2
31x x
>-