人教版 2019-2020学年初三上学期期末考试数学试题及答案
2019-2020学年初三上学期期末考试数学试题
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下面计算正确的是（）
A．B．C．D．
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：△2，则ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
3．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
4．关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则n m的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16
5．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）
A．5米B．6米C．6.5米D．12米
6．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m＝D．m＝
7．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是（）
A．8B．16C．8D．16
8．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝△6，将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．
9．某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（）
A．B．C．D．
10．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，满分18分）
11．如果x：y＝1：2，那么＝．
12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝．
13．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，＝，则＝．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长
是．
∠BA C ＝ ，计算 tan ∠BA C ＝
，…按此规律，写出 t an ∠BA C ＝
（用含 n
（
15．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan ∠BA C ＝1，tan ∠BA C ＝ ，tan
1
2
3 4
n
的代数式表示）．
16．如图，在矩形 ABCD 中，∠B 的平分线 BE 与 AD 交于点 E ，∠BED 的平分线 EF 与 DC 交于
点 F ，若 AB ＝9，DF ＝2FC ，则 BC ＝
．（结果保留根号）
三.解答题（本大题共 6 题，满分 72 分）
17．（10 分）（1）计算：
（2）解分式方程：
18．（6 分）如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1，2，3，4 和方块 1，2，3，
4，将 它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌
面数字之和等于 5 的概率是多少？请你用列表法加以分析说明．
19． 8 分）已知双曲线 y ＝ 和直线 y ＝kx +2 相交于点 A （x ，y ）
和点 B （x ，y ），且 x 2+x 2 1
1
2
2
1
2
＝10，求 k 的值．
20．（8 分）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行
且距离为0.8米．已知小汽车车门宽A O为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）
21．（10分）我市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元的均价开盘销售
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元．
试问哪种方案更优惠？
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB＝5x，AE＝2x，AC＝3x+2，AD＝2x+1，求BC的长．
23．（10分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD＝2AD，双曲线y＝（k＞0）经过点D，交BC 于点E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．
24．（10分）如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE＝△x，DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（△3）当DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．
参考答案
一、选择题
1．下面计算正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
解：A.3+不是同类项无法进行运算，故A选项错误；
B.
C.
＝
×＝
＝
＝
＝3，故B选项正确；
，故C选项错误；
D．∵＝＝2，故D选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；
较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：△2，则ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．3．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．
解：从实数a在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以a﹣4＞0，
a﹣11＜0，
则，
＝a﹣4+11﹣a，
＝7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
4．关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则n m的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入n m中即可求出结论．解：∵关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，
∴﹣＝﹣1，＝﹣2，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴n m＝（﹣4）2＝16．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出m、n的值是解题的关键．
5．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）
A．5米B．6米C．6.5米D．12米
【分析】在△R t ABC中，设BC＝5k，AC＝12k，利用勾股定理求出k即可解决问题；
解：作BC⊥AC．
在△R t ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，
∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴132＝（5k）2+（12k）2，
∴k＝1，
∴BC＝5m，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m＝D．m＝
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出＝△9﹣8m＝0，解之即可得出结论．解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴＝△32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，
解得：m＝．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当＝△0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
7．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是（）
A．8B．16C．8D．16
【分析】先证明△ADC是等边三角形，根据锐角三角函数得出CE＝
出CD，即可得出周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
又∵CD＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
CD，由菱形的面积求
即△ADC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴CE＝CD?sin60°＝CD，
∵菱形ABCDABCD的面积＝AD?CE＝
∴CD＝2，
CD2＝4，
∴菱形ABCD的周长为2×4＝8；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换以及锐角三角函数的运用；证明△ADC是等边三角形，根据面积求出边长是解决问题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝△6，将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9．某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
解：画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的有2种情况，
∴甲、乙同学获得前两名的概率是＝；
故选：D．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）
A．B．C．D．
【分析】作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解：作AC⊥OB于点C．
则AC＝，
AO＝＝＝2，
则sin∠AOB＝
故选：D．
＝＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）个
11．如果x：y＝1：2，那么＝．
【分析】根据合比性质，可得答案．
解：+1＝+1，即＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了和比性质：＝＝．
12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝5．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7＝0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
13．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，＝，则＝．
【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
＝
＝
＝，
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是110．
【分析】根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为⑧的矩形宽与长，再根据矩形的周长公式计算即可得解．
解：由图可知，序号为①的矩形的宽为1，长为2，
序号为②的矩形的宽为2，长为3，3＝1+2，
序号为③的矩形的宽为3，长为5，5＝2+3，
，…按此规律，写出tan∠BA C＝（用序号为④的矩形的宽为5，长为8，8＝3+5，
序号为⑤的矩形的宽为8，长为13，13＝5+8，
序号为⑥的矩形的宽为13，长为21，21＝8+13，
序号为⑦的矩形的宽为21，长为34，34＝13+21，
所以，序号为⑦的矩形周长＝2（34+21）＝2×55＝110．
故答案为：110．
【点评】考查了图形的变化类问题，要想得到长方形的周长规律，应先找长方形长、宽的变换规律．分析图形中的长和宽，然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律．
15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA C＝1，tan∠BA C＝，tan
12
∠BA C＝，计算tan∠BA C＝
34
含n的代数式表示）．
n
【分析】作CH⊥BA于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A H，44根据正切的概念求出tan∠BA C，总结规律解答．
4
解：作CH⊥BA于H，
4
由勾股定理得，BA＝＝，A C＝，
44
△B A C的面积＝4﹣2﹣＝，
4
∴××CH＝，
解得，CH＝，
则A H＝
4
∴tan∠BA C＝
4
1＝12﹣1+1，
3＝22﹣2+1，
＝
＝，
，
∴tan∠BA C＝
7＝32﹣3+1，
n
，
故答案为：；．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝．（结果保留根号）
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．
解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝9，
∴直角三角形ABE中，BE＝＝，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G＝∠DEF
∴∠BEG＝∠G
∴BG＝BE＝
（ 由∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，可得△EFD ∽△GFC
∴
设 CG ＝x ，DE ＝2x ，则 AD ＝9+2x ＝BC
∵BG ＝BC +CG
∴
＝9+2x +x
解得 x ＝
∴BC ＝9+2（
故答案为：
﹣3）＝
【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的
性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两
个三角形相似．
三.解答题（本大题共 6 题，满分 72 分）
17．（10 分）（1）计算：
（2）解分式方程：
【分析】 1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据解分式方程的方法可以解答此方程．
解：（1）
＝
＝
＝
+2
＝ ；
（2）
方程两边同乘以x（x+1），得
3＝x（x+1）﹣3x
去括号，得
3＝x2+x﹣3x
移项及合并同类项，得
x2﹣2x﹣3＝0
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得，x＝3，x＝﹣1，
12
经检验，x＝3时原分式方程的根，x＝﹣1不是原分式方程的根，
∴原分式方程的根是x＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、解分式方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．（6分）如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1，2，3，4和方块1，2，3，4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？请你用列表法加以分析说明．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：
方块
黑桃
1234
1
2
3
1+1＝2
1+2＝3
1+3＝4
2+1＝3
2+2＝4
2+3＝5
3+1＝4
3+2＝5
3+3＝6
4+1＝5
4+2＝6
4+3＝7
（ 4
1+4＝5 2+4＝6 3+4＝7 4+4＝8
由上表可知，共有 16 种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于
5 的情况共出现 4 次，因此牌面数字之和等于 5 的概率为
＝ ．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．概率＝
所求情况数与总情况数之比．
19． 8 分）已知双曲线 y ＝ 和直线 y ＝kx +2 相交于点 A （x ，y ）
和点 B （x ，y ），且 x 2+x 2 1
1
2
2
1
2
＝10，求 k 的值．
【分析】由 ，消去 y 得到：kx 2+2x ﹣2＝0，根据 x 2+x 2＝10，利用根与系数的关系
1
2
构建方程求出 k 即可；
解：由
，消去 y 得到：kx 2+2x ﹣2＝0，
由题意：x +x ＝﹣ ，x x ＝﹣ ，
1
2
1 2
∵x 2+x 2＝10，
1
2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝10，
1
2
1 2
∴
+ ＝10，
解得 k ＝
，
经检验 k ＝
是分式方程的解．
∴k ＝
．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系等知
识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（8 分）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行
且距离为 0.8 米．已知小汽车车门宽 A O 为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB 为 40°时，车
门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°
≈0.84）
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在△R t ACO中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，
∴AC＝sin∠AOC?AO≈0.64×1.2＝0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不大．
21．（10分）我市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米6480元的均价开盘销售
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元．
试问哪种方案更优惠？
【分析】1）设出平均每次下调的百分率为x，利用准备每平方米销售价格×（1﹣每次下（
调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格，列方程解答即可；
（2）分别利用两种销售方式求出房子的优惠价，进而得出答案．
解：（1）设平均每次下调的百分比为x，
由题意得：8000（1﹣x）2＝6480，
解得：x＝0.1＝10%，x＝1.9（不合题意，舍去），
12
所以平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案①购房优惠：6480×100×（1﹣0.98）＝12960（元）；
方案②可优惠：80×100＝8000（元）．
故选择方案①更优惠．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：准备每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB＝5x，AE＝2x，AC＝3x+2，AD＝2x+1，求BC的长．
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
解：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴，
∴，
∴4x2﹣7x﹣2＝0，
∴x＝2或x＝（舍去），
∴AB＝10，AC＝8，
∴由勾股定理可知：BC＝6．
（ △S OAD 进行计算．
【点评】本题考查相似三角形，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，勾股
定理，需要学生灵活运用所学知识．
23．（10 分）如图，在直角梯形OABC 中，BC ∥AO ，∠AOC ＝90°，点 A ，B 的坐标分别为（5，
0），（2，6），点 D 为 AB 上一点，且 BD ＝2AD ，双曲线 y ＝ （k ＞0）经过点 D ，交 BC 于
点 E ．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形 ODBE 的面积．
【分析】 1）作 BM ⊥x 轴于 M ，作 DN ⊥x 轴于 N ，利用点 A ，B 的坐标得到 BC ＝OM ＝2，BM ＝
OC ＝6，AM ＝△3，再证明 ADN ∽△ABM ，利用相似比可计算出 DN ＝2，AN ＝1，则 ON ＝OA ﹣
AN ＝4，得到 D 点坐标为（4，2），然后把 D 点坐标代入 y ＝ 中求出 k 的值即可得到反比
例函数解析式；
（2）根据反比例函数 k 的几何意义和 S
＝S 四边形 ODBE
梯形 OABC △
S OCE ﹣ ﹣
解：（1）作 BM ⊥x 轴于 M ，作 DN ⊥x 轴于 N ，如图，
∵点 A ，B 的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC ＝OM ＝2，BM ＝OC ＝6，AM ＝3，
∵DN ∥BM ，
∴△ADN ∽△ABM ，
∴
＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴DN ＝2，AN ＝1，
∴ON ＝OA ﹣AN ＝4，
∴D 点坐标为（4，2），
把 D （4，2）代入 y ＝ 得 k ＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为 y ＝ ；