2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题(八) 解析版
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(八)
(时间:90分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B=()
A.{0,2}
B.{-2,4}
C.[0,2]
D.{-2,0,2,4}
2.用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.
其中真命题的序号是()
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
3.函数y=log3(x+2)的定义域为()
A.(-2,+∞)
B.(2,+∞)
C.[-2,+∞)
D.[2,+∞)
4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()
A.1
B.√5
C.5
D.25
5.直线3x+2y-6=0的斜率是()
A.3
2B.-3
2
C.2
3D.-2
3
6.不等式x2-9<0的解集为()
A.{x|x<-3}
B.{x|x<3}
C.{x|x<-3或x>3}
D.{x|-3 7.已知a>0,则3=() A.a 1 2 B.a 3 2 C.a 2 3 D.a 1 3 8.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为() A.7和5 3B.8和8 3 C.7和1 D.8和2 3 9.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,BD 1=2,则AA 1= ( ) A.1 B.√2 C.2 D.√3 10.若不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同,则p q = ( ) A.12 7 B.-12 7 C.6 5 D.5 6 11.设x ,y 满足约束条件{x -y +3≥0, x +y -1≤0,y ≥0,则z=x-2y 的最大值为 ( ) A.-5 B.-3 C.1 D.4 12.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C 的标准方程是 ( ) A.(x-5)2+(y-5)2=25 B.(x+5)2+(y-5)2=25 C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5 D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25 13.如图,△ABC 中,AB ????? =a ,AC ????? =b ,BC ????? =4BD ?????? ,用a ,b 表示AD ????? ,正确的是 ( ) A.AD ????? =14a +3 4b B.AD ????? =54a +1 4b C.AD ????? =34a +14b D.AD ????? =5 4a -1 4b 14.若数列{a n }的通项a n =2n-6,设b n =|a n |,则数列{b n }的前7项和为 ( ) A.14 B.24 C.26 D.28 15.已知函数f (x )={3+log 2x ,x >0, x 2-x -1,x ≤0, 则不等式f (x )≤5的解集为 ( ) A.[-1,1] B.(-∞,-2]∪(0,4) C.[-2,4] D.(-∞,-2]∪[0,4] 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分) 16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cos α=. 17.在等比数列{a n}中,a1=1,a2=2,则a4=. 18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是. 19.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=. 三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=3 5 ,bc=5. (1)求△ABC的面积; (2)若b+c=6,求a的值. 21.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PA=PB=PC=2,E是AC的中点,点F在线段PC上. (1)求证:PB⊥AC; (2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积. (参考公式:锥体的体积公式V=1 3 S?,其中S是底面积,?是高.) 22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6 段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率. 答案： 1.D 【解析】由并集的定义,可得A ∪B={-2,0,2,4}.故选D. 2.C 【解析】②不正确,a ,c 的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确. 3.A 【解析】要使y=log 3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A. 4.C 【解析】由a =(2,-2),b =(2,-1),可得a +b =(4,-3),则|a +b |=√42+(-3)2= 5.故选C. 5.B 【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-32x+3,故斜率为-32 .故选B. 6.D 【解析】由x 2-9<0,可得-3 【解析】√a 2 3 = a 2 3,则 2 3 =a a 23 =a 1- 23 = a 1 3.故选 D. 8.A 【解析】平均数x =1 6×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s 2=1 6[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=5 3.故选A. 9.B 【解析】在长方体中,B D 12=AB 2+AD 2+A A 12,则22=12+12+A A 12,解得AA 1=√2.故选B. 10.A 【解析】∵不等式-4<2x-3<4, ∴-12 2. ∵不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同, ∴不等式x 2+px+q<0的解集为{x |-1 2 2}, ∴-12,7 2是方程x 2+px+q=0的两个根, ∴{-1 2+7 2=-p ,-12×72=q , 解得p=-3,q=-7 4, ∴p q =-3 -74 = 12 7 .故选A . 11.C 【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示,当直线z=x-2y 过点A (1,0)时,z 取得最大值,z max =1-2×0=1.故选C. 12.D 【解析】由题意得圆C 的圆心为(5,5)或(-5,5),故圆C 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D. 13.C 【解析】由BC ????? =4BD ?????? ,可得AC ????? ?AB ????? =4(AD ????? ?AB ????? ),则AD ????? =34 AB ????? +14 AC ????? ,即AD ????? =34a +1 4 b .故选C. 14.C 【解析】当n ≤3时,a n ≤0,b n =|a n |=-a n =6-2n ,即b 1=4,b 2=2,b 3=0.当n>3时,a n >0,b n =|a n |=a n =2n-6,即b 4=2,b 5=4,b 6=6,b 7=8.所以数列{b n }的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C. 15.C 【解析】由于f (x )={ 3+log 2x ,x >0, x 2-x -1,x ≤0, 当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,解得0 当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x ≤3.又x ≤0,所以-2≤x ≤0. 综上不等式f (x )≤5的解集为[-2,4],故选C . 16.45 【解析】由题意得x=4,y=-3,r=√x 2+y 2=√42+(-3)2=5,cos α=x r =4 5. 17.8 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,由题意得q=a 2a 1 =2,则a 4=a 1q 3=1×23=8. 18.2 5 【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑2,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=4 10=2 5. 19.-x 2-4x 【解析】当x ∈(-∞,0)时,-x ∈(0,+∞),由奇函数可得f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-4(-x )]=-x 2-4x. 20.【解】(1)∵A 是△ABC 的内角,即A ∈(0,π),cos A=3 5,∴sin A=√1-cos 2A =4 5. 又bc=5,∴S △ABC =1 2bc sin A=1 2×5×4 5=2. (2)由 cos A=b 2+c 2-a 2 2bc =3 5,bc=5,可得b 2+c 2-a 2=6. 由bc=5,b+c=6,可得b 2+c 2=(b+c )2-2bc=26. ∴26-a 2=6,解得a=2√5. 21.【解】(1)∵PA ⊥PB ,PB ⊥PC ,PA ?平面PAC ,PC ?平面PAC ,PA ∩PC=P , ∴PB ⊥平面PAC. 又AC ?平面PAC ,∴PB ⊥AC. (2)∵PA ∥平面BEF ,PA ?平面PAC ,平面BEF ∩平面PAC=EF , ∴PA ∥EF. 又E 为AC 的中点,∴F 为PC 的中点. ∴S 四边形APFE =S △PAC -S △FEC =3 4S △PAC . ∵PC ⊥PA ,PA=PC=2, ∴S △PAC =1 2×2×2=2.∴S 四边形APFE =3 2. 由(1)得PB ⊥平面PAC , ∴PB=2是四棱锥B -APFE 的高. ∴V 四棱锥BAPFE =13S 四边形APFE ·PB=13×3 2×2=1. 22.【解】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02+0.03+0.025)×10×40=30. (2)由直方图可知,年龄在[20,30)的有2人,分别记为a 1,a 2;在[30,40)的有4人,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4. 现从这6人中任选两人,共有如下15种选 法:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),其中恰有1人在[30,40)的情况有8种,故这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率为P=8 15.