4
≥a 时，表示的平面区域也是一个三角形．选D ．
例7．解析：由??
?-=-=????=+=+4
2442s y s x x y s y x 交点为A （2，0），B （4s -，24s -），C （0，s ），
C '（4，4），如图2：当43<≤s 时可行域是四边形OABC 此时，87≤≤z ；当54≤≤s 时可行域是OAC '?，此时， 8max =z ．故选
D ．
点评S 的函数关系来求解．
例8．解析：如图12所示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别
是21，3
1
-，所以圆心角α即为两直线
的夹角．由1|031(211||
)31
(21|
tan =-?+--=α，得4πα=．所以弧长是42π?例9．解析：作出线性规划区域图，22
0x y x y +--≤22111
()()222
x y -+-≤求出第所围成的图像的面积为12
π
+．
速作出图像求出面积．
例10．解析：不等式组所表示的平面区域如图13所示
阴影部分．因为B 的坐标为（0，3
4
），故直线
34
+=kx y 过点B ．因为平面区域被直线
34
+=kx y 分为面积相等的两部分，所以直线
34+=kx y 过AC 的中点（21，25）．将（21，2
5
）
代入直线方程，即25=3421+?k ，得=k 3
7
．故选A ．
二、强化训练
1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．B
11．B 12．D 13．A 14．A 15．B 16．D 17．C 18．D 19．B 20．A
y y
128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=
第三讲 线性规划
第三章 不等式 第三讲 线性规划问题 科目 高三数学 班级 姓名 时间 2015-10-02 一．复习目标： 1.能用二元一次不等式(组) 表示平面区域，会求表示区域的面积 2.会求目标函数最值及约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 3.能利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案． 二．学习过程： (一)知识梳理：阅读课本，自主梳理总结以下几个问题： 1.如何用二元一次不等式(组)表示平面区域？ 2.线性规划的相关概念 (1)什么是约束条件？目标函数？线性规划问题？ (2)什么是可行域？可行解？最优解？ 3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 第一步：设出 ，列出 ，确立 ， 第二步：根据约束条件，画出 ， 第三步：作出目标函数的等值线(等值线是指 )． 第四步：求出 ．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有 ，或者是有 ，或是 ． 思考： (1)点P 1和P 2位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧(或异侧)的充要条件是什么？ (2)可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？ (二）题型分析与研究 考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域 例1.不等式组?? ???≤≥-+≤-+203062y y x y x 表示的平面区域的面积为 考点二 求目标函数的最值 (常见的目标函数有哪些？) 例3.(1)设变量x ，y 满足约束条件?? ???≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值 为
(2)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组?? ???≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x ，所表示的区域上一动 点，则直线OM 斜率的最小值为 (3)变量x ，y 满足?? ???≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,(1)设z ＝y x ，求z 的最小值;(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围． 考点三 求线性规划中的参数问题 例3.(1)x ，y 满足约束条件?? ???≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．一． ，则实数a 的值为 (2)当实数x ，y 满足?? ???≥≤--≤-+101042x y x y x 时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范 围是________． 考点四 线性规划的实际应用 例4.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y ，表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
第10章 资源分配模型与线性规划
第10章资源分配模型与线性规划 线性规划是运筹学中研究的比较早，理论上已趋向成熟并且应用广泛是解决最优化问题非常有效地工具。早在20世纪30年代末，前苏联数学家康托洛维奇首先提出了资源分配模型的线性规划，于1947年由美国人丹茨格提出了线性规划的单纯算法，较好的解决了线性规划的求解问题，从而奠定了线性规划作为一门学科的基石。 线性规划研究的对象大体可分为两大类： （1）在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理的计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等。 （2）在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使生产成本、费用自小等。 （3）线性规划中研究的问题要求目标与约束条件函数均是线性的，并且只有一个目标函数。在经济管理问题中，大量的问题是线性的，有的可以转化为现行的，从而线性规划有着极大地应 用价值。 §10.1 线性规划问题 在经济管理中，经常遇到一类如何合理的使用有限的劳动力、设备、资金等资源，异化的最大的效益的问题。 例 1 某工厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品要消耗某种原料。生产每吨产品所需要的原料量及所占设备时间，见表10-1.该厂每周所能得到的原料为16吨，每周设备能多开15个台班，且根据市场需要，甲种产品每周产量不应超过4吨。已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为15万元及6万元。问：该厂应如何安排两种产品才能是每周获得的利*最大？ 简历数学模型社该厂每周安排生产甲种产品的产量为x1吨，乙种产品为x2吨，则每周所能获得的利润总额为z=15x1+6x2（万元）。但生产量的大小要受到原料量技术倍的限制及市场最大需求量的制约，即x1，x2要满足一下一组不等式条件： 3x1+2x2≤16， 5x2+x2≤15，（10—1） x≤4， 此外，产品x1，x2还应是非负的数： x1≥0，x2≥0. （10—2） 因此从数学角度看，x1，x2应在满足资源约束（10-1）及非负约束（10-2）条件下，使利润z取最大值： Max z=15x1+6x2. （10—3） 经过以上分析，可将一个生产安排问题抽象为满足一组约束条件下，寻求变量x1，x2，使目标函数达到最大值得一个线性规划。 同样，在经济生活中为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使消耗为最少，一下给出一个求目标函数最小化的线性规划问题。 例2某公司需要生产某产品，需要Ⅰ，Ⅱ两种原料至少35吨，其中原料Ⅰ至少购进10吨。但由于Ⅰ，Ⅱ两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨原料Ⅰ需要2个小时，加工每吨原料Ⅱ需要1小时，而公司总共有60个加工小时。又知道每吨原料Ⅰ的价格为4万吨，每吨原料Ⅱ的价格为6万元，试问：在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买Ⅰ，Ⅱ两种原料，是的购进成本最低？
第一章 线性规划
第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 台乙机床时总利润最大，则 21,x x 应满足 （目标函数）2134m ax x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式 是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为
第一章线性规划
-1- 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量， （1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。
第一章线性规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题 1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。 （1）??? ??≥≥+≥++=0,42266432min 2 121212 1x x x x x x x x z (2) ??? ??≥≥+≥++=0,12432 223max 2 121212 1x x x x x x x x (3) ??? ??≤≤≤≤≤++=83105120106max 21212 1x x x x x x z (4) ?????≥≤+-≥-+=0 ,2322 265max 1 221212 1x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。 (1)????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43214321432143214321,0,,2321422 245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束 32143213213213 21,0,0232624 322min x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优 解。 (1) ??? ??? ?=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2)
??? ??=≥=+++=+++++-=)4,,1(01022274322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j 4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 (1) ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 1 221212 1x x x x x x x x z (2) ?????≥≤+≤++=0,242615 532max 1 221212 1x x x x x x x x z 5.上题（1）中，若目标函数变为21m ax dx cx z +=，讨论c,d 的值如何变化，使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。 6.考虑下述线性规划问题： ? ????≥≤+≤++=0 ,max 122221212121112 1x x b x a x a b x a x a dx cx z 式中311≤≤c ,642≤≤c , 3111≤≤-a ,5212≤≤a ,1281≤≤b , 5221≤≤a ,6422≤≤a ,14102≤≤b ，试确定目标函数最优值的下界和上 界。 7.分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解。 (1) ??? ?? ? ?=≥≥-≥+-≥+++-=)3,2,1(0022 2622max 32313213 21j x x x x x x x x x x x z j (2) ??? ??≥≥+≥++++=0,,62382432min 3 21213213 21x x x x x x x x x x x z
2019-2020年高二数学第七章 第四节线性规划的实际应用 新课标 人教版
教学目的： 1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：求得最优解 教学难点：求最优解是整数解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程： 一、复习引入： 1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2.目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解 3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线; （3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值 4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 二、讲解新课： 判断可行区域的方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 三、讲解范例 例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少? 解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费 z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－Array y)(万元) 即z=780－0.5x－0.8y.
第三讲不等式及线性规划
第三讲 不等式及线性规划 考题为证 1. 不等式1 21x x -+的解集为 （ ） A. 1(,1]2- B. 1,12??-???? C. （1 ,)2-∞-[1,)?+∞ D. 1(,][1,)2 -∞-+∞ 2.已知变量x ，y 满足约束条件21 1y x y x y ≤??+≥??-≤?，则z=3x+y 的最大值为（ ） A. 12 B.11 C. 3 D. -1 3.设1,0,a b c >><给出下列三个结论：① ;c c a b >②;c c a b <③log ()log ()b a a c b c ->- 其中所有的正确结论的序号为（ ） A. ① B. ①② C.②③ D.①②③ 4. 若函数y=2x 图象上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤??--≤??≥? ，则实数m 的最大值为 ( ) A .12 B 1 C. 32 D. 2 5. 下列不等式一定成立的是（ ） A.()21lg lg 04x x x ??+ >> ??? B.sinx+12sin x ≥ (,x k k Z π≠∈) C.()212,x x x R +≥∈ D. 211,()1 x R x >∈+ 核心考点 考点1:一元二次不等式的恒成立问题 考点2：简单分式不等式的解法
考点3：几个重要不等式 考点4:线性规划问题 热点考向聚焦 :考向1 不等式的解法 例1：不等式1 223log 1 x x --0≥的解集是（ ） A.(,2]-∞ B.(1,2] C .(3,2]2 D.3(,1)(,)2 -∞?+∞ 变式1.设函数22(1)()2(1) x x x f x x ?-≥?=?
2020-2021年高二数学第七章 第四节线性规划的实际应用 新课标 人教版
2019-2020年高二数学第七章第四节线性规划的实际应用新课标人教版教学目的： 1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：求得最优解 教学难点：求最优解是整数解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程： 一、复习引入： 1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2.目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解 3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线; （3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值 4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 二、讲解新课： 判断可行区域的方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 三、讲解范例 例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，
运筹学第七章动态规划
习题七7.1计算如图所示的从A 到E 的最短路线及其长度（单位：km ）： （1） 用逆推解法；2用标号法。 7.2 用动态规划方法求解下列问题 （1） max z ＝x 12x 2 x 33 x 1＋x 2＋x 3 ≤6 x j ≥0 （j ＝1,2,3） （2）min z ＝ 3x 12＋4x 22 ＋x 32 x 1x 2 x 3 ≥ 9 x j ≥0 （j ＝1,2,3） 7.3 利用动态规划方法证明平均值不等式： n n n x x x n x x x 12121)()( ≥+++ 设x i ≥0，i ＝1，2，…，n 。 7.4 考虑一个有m 个产地和n 个销地的运输问题。设a i （i ＝1，2，…，m ）为产地i 可发运的物资数，b j （j ＝1，2，…，n ）为销地j 所需要的物资数。又从产地i 到销地j 发运x ij 单位物资所需的费用为h ij （x ij ），试将此问题建立动态规划的模型。 7.5 某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入A 或B 项工程，年末的回收及其概率如下表所示。每年至多做一项投资，每次只能投入1000万元。求出三年后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。 投 资 回 收 概 率 A 0 0.4 2000 0.6 B 1000 0.9 2000 0.1 7.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。每个工厂都有若干种方案可供选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示(单位：千万元)。现公司有资金5千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大?
7.7 某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。 7.8 设有一辆载重卡车，现有4种货物均可用此车运输。已知这4种货物的重量、容积及价值关系如下表所示。 货物代号重量（吨）容积（立方米）价值（千元） 1 2 2 3 2 3 2 4 3 4 2 5 4 5 3 6 若该卡车的最大载重为15吨，最大允许装载容积为10立方米，在许可的条件下，每车装载每一种货物的件数不限。问应如何搭配这四种货物，才能使每车装载货物的价值最大。 7.9 某警卫部门有12支巡逻队负责4个仓库的巡逻。按规定对每个仓库可分别派2－4支队伍巡逻。由于所派队伍数量上的差别，各仓库一年内预期发生事故的次数如下表所示。试应用动态规划的方法确定派往各仓库的巡逻队数，使预期事故的总次数为最少。 巡逻队数预期事故次数仓库 1 2 3 4 2 18 38 14 34 3 16 36 12 31 4 12 30 11 25 7.10 （生产计划问题）根据合同，某厂明年每个季度末应向销售公司提供产品，有关信息见下表。若产品过多，季末有积压，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费0.2万元。现需找出明年的最优生产方案，使该厂能在完成合同的情况下使全年的生产费用最低。 季度j生产能力a j（吨）生产成本d j（万元/吨）需求量b j（吨） 1 30 15.6 20 2 40 14.0 25 3 25 15.3 30 4 10 14.8 15 （1）请建立此问题的线性规划模型。（提示：设第j季度工厂生产产品x j吨，第j季度初存贮的产品为y j吨，显然y1＝0）（2）请建立此问题的动态规划模型。（均不用求解）
第1章线性规划及单纯形法
线性规划及单纯形法 一．选择 1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 A 统筹 B 量化 C 优化 D 决策 2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。 A 建立数学模型 B 进行数学分析 C 进行决策分析 D 建立管理规范 3. 运筹学研究的基本特点是（ C ）。 A 进行系统局部独立分析 B 考虑系统局部优化 C 考虑系统的整体优化 D 进行系统的整体决策 4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ） A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数 5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（ C ） A 边 B 平面 C 顶点 D 内部 6. 目标函数取极小化（Z min ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（C ）的线性规划问题求解 A Z min B )min(Z - C )max(Z - D Z max - 7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解 A 一定 B 一定不 C 不一定 D 无法确定 8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（ C ）。 A 最优解 B 基可行解 C 可行解 D 基解 9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（D ） A 管理问题 B 规划问题 C 决策问题 D 优化问题 10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（ B ）个的线性规划问题 A 1 B 2 C 3 D 4 11. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（ C ）、无可行解 A 无解B 无基解 C 无界解 D 无基可行解 12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。 A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解D 无可行解 13. 线性规划问题的基可行解()T n X X X ,,1 =为基可行解的充要条件是X 的正分量所对 应的系数列向量是（B ） A 线性相关 B 线性独立 C 非线性独立 D 无法判断 14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当0≤j σ时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ） A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解 15.如果集合C 中任意两个点21,X X 其连线上的所有点也都是集合C 中的点，称C 为（B ）
第七章 第3节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题.doc
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 知识梳理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式表示区域 Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点 组成的平面区域不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋ C)(Ax2＋By2＋C)>0. 3.线性规划的有关概念 名称意义 约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题[微点提醒] 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( ) 解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(必修5P87例2改编)不等式组? ??x －3y ＋6≥0， x －y ＋2<0表示的平面区域是( )
第二章 线性规划习题(附答案)
习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题； （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解； （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ??? ?? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解：(1)令''' 444 x x x =-，增加松弛变量5x ，剩余变量6x ，则该问题的标准形式如下所示： ''' 12344''' 12344''' 123445''' 123446'''1234456max 342554222214..232 ,,,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令' z z =-，'11x x =-，''' 333x x x =-，增加松弛变量4x ，则该问题的标准 形式如下所示：
线性规划(第三讲)
BST金牌高二（必修五）数学专题系列之线性规划（三） 一． 1. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0 2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<0 3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），则当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(A x2+By2+C)>0 2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)<0 二．二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区 域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面 区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三．判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律： 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 四．线性规划的有关概念：
第十章 线性规划建模
第十章线性规划建模 §10.1 线性规划 引例（生产规划问题）：某厂利用a、b、c三种原料生产A、B、C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的利润，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试制订适当的生产规划使得该厂的总的利 ●以、、分别表示生产A、B、C三种产品的量，称之为决策变量。 ●目标函数：利润最大化、成本最小化，表现为决策变量的一个函数； ●约束条件：资源、工期等，表现为决策变量的一些等式或不等式。 1．线性规划问题：在满足由一些线性等式或不等式组成的约束条件下，求决策变量的一组具体取值，使得一个线性目标函数实现最优（大或小） 化。 ●决策变量、、；
●、、（，）均为常数； ●整数规划：决策变量限取整数值的最优化问题； ●非线性规划：目标函数或存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的 最优化问题 2．线性规划方法建模：决策变量的提取，目标函数的合理构造，约束条件的理清。 例（纸张的切割问题）：设有60个单位长的标准玻璃纸，现需将其裁剪为三种小规格（28，20，15）的纸张，市场对三种小规格玻璃纸的需求量（30，60，80）卷，问题：用尽可能少的标准玻璃纸，通过适当的裁剪方式以满足市场的需求。 1．线性规划的标准型：称如下形式的线性规划问题为具有标准型的线性规划 ●称矩阵为以上具有标准型的线性规划问题的单纯形表，其中 ，， ●若记，则以上具有标准型的线性规划问题可记为 2．所有线性规划问题可以标准型化：
（1）; （2）且； （3）且； （4）等价于以取代，则， 等价于以取代，则； （5），即无取值限制,这等价于以取代，且附加条件 ； 称（2）、（3）中的分别为剩余、松弛变量. 5．线性规划的典型形 所有线性规划问题均可以典型形化： （1）； （2）且 6．线性规划的几何特征 设满足线性规划问题全部约束条件，则称之为此线性规划问题的一个可行解；称由所有可行解组成的集合为该线性规划问题的可行域，用表示；
1第一章线性规划讲解
目录 未找到目录项。 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式 是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min beq x Aeq =?
高中数学第七章直线和圆的方程--线性规划与圆的方程
一、线性规划 1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）王新敞 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）王新敞 2. 目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解: 不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =a x +b y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数王新敞 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就 是阴影部分表示的区域.其中可行解),(),,(1100y x B y x A (一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解王新敞 3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所 表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解 ),(),,(1100y x B y x A ;（4）最后求得目标函数的最大值及最小值王新敞 二、曲线的方程和方程的曲线 4．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）王新敞 (2)以这个 方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）王新敞 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程 的曲线王新敞 定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方 程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法王新敞 5．求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程王新敞 )（3）用坐标表示条件P （M ）， 列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞 ) 三、圆的方程 6．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞
