材料力学讲解作业
作下图所示梁的剪力图和弯矩图。
2m
1m
1m
m
1kN 2kN
2kN 2kN
A B
C
D
梁分三段，AB 、BC 为空荷载段，CD 段为均布荷载段，均布荷载q=2kN/2m=1kN/m 。
A ，
B ，D 三处剪力有突变，说明有集中力作用，在A 截面有向上集中力2kN ，在B 截面有向下集中力2kN ，在D 截面有向上集中力2kN 。荷载图如图 (b)。 根据荷载图作弯矩图，如图 (c)所示。
如下图所示机构中，1,2两杆的横截面直径分别为cm d 101= ，cm d 202= ，P=10kN 。横梁ABC ，CD 视为刚体。求两杆内的应力。
p D
C
B
A
1
22m
2m
1.5m
1m
1m
CD 杆的D 支座不受力，CD 杆内也不受力，所以p 可视为作用于ABC 杆的C 端。取ABC 为受力体，受力图如图(b)所示。
MPa
MPa A N MPa
MPa A N kN N kN N 7.6310204
103203.12710
1041010202101622226
23111=????==
=????====--πσπσ，
如图所示的阶梯形圆轴，直径分别为cm d 41=,cm d 72=。轮上三个皮带轮，输入功率为kW N 171=，kW N 132=，kW N 303=。轴的转速为n=200r/min ，材料的许用剪应力[τ]=60MPa 。试校核其强度。
1
计算各轮处的扭转外力偶矩。
m
kN m kN m m kN m kN n N m m kN m kN n N m ?=??=?=??=?=??==433.1200
30
55.9621
.02001355.9255.9812.02001755.9155
.9321 (c)
(b)
kN m 3
1
图3
传动轴可简化为图3(b)，⑦扭矩图如图3(c)。 AD 段的最大剪应力为 []τπτ>=???==
-MPa Pa W M T TAD 6.6410416
8126
311max BC 段的最大剪应力为
[]τπτ>=???==
-MPa Pa W M T TBC 3.2110716
14326
322max AD 段的单位长度扭转角为
[]
θπθ>=??????==-m m
GI M p TAD /1.23/104108018032812842911
BC 段的单位长度扭转角为
[]
θπθ<=??????==
-m m GIp MINC
/44.0/107410801803214322
2829
由此可知轴的强度与刚度都不够。
如图8所示的结构，由Q235刚制成，[σ] =160MPa ，斜撑杆外径D=45mm ，内径d=36mm ，
3=st n ，斜撑杆的1001=λ，6.612=λ，中长柱的
MPa cr )12.1304(λσ-=，试由压杆的稳定计算，确定结构的许用载荷[P]。
利用平衡关系，确定斜撑杆BD 的压力与P 的关系，即
P N P N M BD o BD A 2202145sin 0==?-?=∑，，由于杆长m l 414.1=，惯性半
径mm D d D i 41.14142
=??
?
??+=，长度系数1=μ，所以 9801441
.0414
.11=?=
=
i
l
μλ
因为12λλλ≤≤，故BD 属于中长杆。
()()
kN
N d D A P MPa
MPa b a cr cr cr cr 11110)3645(4
1061944
1949812.130462222=?-??
?=-===?-=-=-π
π
σσλσ 代入稳定安全系数计算式，有
BD
cr
st N P n =
即 []kN kN n P P st
cr 133
2211122=?=
=
作图 6所示梁的剪力图和弯矩图。
图6
求支反力：
qa R qa R D A 4741==
， qa R Q A A 4
1== AB 段内无荷载，为水平线，B 点集中力偶矩对剪力无影响，因此BC 段剪力都为水平，且4
qa
R Q BC BA =
=。 CD 段内剪力为斜直线，截距为qa 2。D 处剪力有突变，大小为D R 。 AB 段空载荷，弯矩图为斜直线。但B 处有集中力偶作用，弯矩有突变，应分左、右两个截面计算。在截面2
4
a q a R M A BA =
=,右截面2
24
5qa qa a R M A Bc =
+=。
图1
BC 段，弯矩图应是斜直线。CD CB M qa M ==
2
2
3，即连接BC M 及CB M 。 CD 段为二次抛物线，但该段有0=Q 的点——E 点，离C 截面距离为
a q Q CD 41/=，232
49qa M E =。连接C ，E ，D 的弯矩值(用下半圆曲线)。可得弯矩图。
直径相同的铸铁圆截面直杆，可设计成图 7中（a ）、（b ）两种结构的形式，问哪种结构所承受的载荷P 大大多少
°
°p p
60
a
A
B
C
A
B
C
6
图7
由于杆件材料、截面形状相同，并且为铸铁，属于脆性材料，抗压性能优于抗拉性能，因此比较两种结构的拉应力与P的关系。图2(a)中的AC杆受拉，取A 点为受力体，受力图如图2(c)。()t bσ为拉伸的强度极限。
令
1
2
)
(P
A
N
t
b
AC
=
=σ，则
()
2
1
A
P t b
σ
=
图(b)中AB杆受拉，取A点为受力体，受力体如图2(d)。
令()
3
2
P
A
N
t
b
AB
=
=σ，()A
P
t
b
σ
3
2
=，所以
1
2
P
P?，即图(b)承受载荷P大。
又
()
()3
2
3
2
1
2=
=
A
A
P
P
t
b
t
b
σ
σ
所以图(b)承受的荷载P是图(a)承受的荷载P的3
2倍。
图2
3、简支梁承受均布载荷作用，如图 8 所示。若采用两种截面面积相等的实心
和空心圆截面，D1=40mm, α=d2/D2=3/5。试分别计算其最大的正应力，空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几
图8
图3
(1)几何尺寸。
依题意两种截面面积相等，即
)1(4
)(4
4
22
222
222
1αππ
π-=
-=
D d D D
所以 mm mm D D 505314012
2
12=??
? ??-=
-=
α
mm D d 305
3
22==
(2)最大正应力。
因简支梁受均布载荷作用，故最大弯矩： m kN m N ql M ?=???==18
2)102(8232max 实心截面
3231D W z π= ()
MPa Pa W M z 15904.0101323
3
max max =??==πσ 空心截面
[]4
32
'
132
απ-=
D W z
()MPa Pa W M
z
6.93)531(05.010132433
max 'max
=?
??
??
?-??==πσ
最大正应力发生在梁中间截面的上、下边缘。 (3)最大正应力的比较。
空心截面比实心截面的最大正应力减小了
%1.41159
6
.93159max '
max max =-=-σσσ
图9所示结构，AB 为工字截面梁，其横梁面面积为22610mm A =，抗弯截面模量为3310141mm W z ?=。已知AB 、CD 杆材料相同，其中E=160GPa ，稳定安全系数5.2=st
n ，1001=λ，校核结构是否安全。
图9
AB 、CD 杆的内力和变形形式：
AB 杆承受拉弯变形，m kN M kN N AB ?==215210max ， CD 杆位压杆，kN N CB 220=
所以，结构的安全性包括AB 杆的强度问题和CD 杆压杆的稳定性。 (1) AB 梁的强度问题：
[]σσ<=????
????+??=+=--MPa Pa W M A N 1561014110215101.2610210max 6343max 故AB 梁的强度足够。 (2) CD 杆压杆的稳定性
113303
.04
11λμλ>=??=
=
i
l
故CD 杆为细长杆。
()
kN N l EI P cr 5.78)11(6403.01032002
4
222=??????==ππμπ 工作安全系数
5.277.23
.285.78>===
CD cr w N P n 故CD 杆的稳定性也满足要求。所以，整个结构是安全的。
三根圆截面压杆，直径均为d=160mm ，材料为A3钢（E=206Gpa, 240s Mpa σ=,
200p Mpa σ=，304, 1.12a Mpa b Mpa ==），三杆两端均为铰支，长度分别为
123,,l l l ，且123245l l l m ===。试求各杆的临界压力。
1μ=，三根杆的柔度分别为：
可见：1杆适用欧拉公式，2杆适用经验公式，3杆适用强度公式。
1125
l i μλ'==262.5l i μλ''==331.25l
i μλ'''=
=1100λ==257
s
a b
σλ-==()22
112
25364cr cr E d F A KN ππσλ==='222()
47104
cr cr d F A a b KN
πσλ''==-=23348234
cr cr s
d F A KN
πσσ===
一铸铁圆柱的直径为40mm ，其一端固定，另一端受到315 的力偶矩作用。若该铸铁材料的许用拉应力为MPa t 30][=σ，试根据强度理论对圆柱进行强度校核。
解：圆柱表面的切应力最大，即：
Mpa d T W T t 25)16//(/3max max max ===πτ
圆柱表面首先破坏，其上任一点的应力状态为纯剪切，见图3。
进行应力分析可得：
MPa 25252002002
2
min max ±=+??
? ??-±+=
???σσ
∴ MPa 251=σ，02=σ， MPa 253-=σ
由第一强度理论有：
[]t MPa σσ≤=251， 满足强度条件。
25MPa
图3
所示。
（2）B 处的挠度为0，即：
由叠加法得,见图（d ）：
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[t
]＝30MPa ，
许用压应力[c
]＝120MPa 。试按立柱的强度计算许可载荷F 。已知， ，
。
F F
350
150
150
50
50
z
1
z 1y y
mm
750=z 4
7mm 1031.5?=y I F
350
)()(=+=By F B F B B y y y EI
Fa a a EI a F y F B 314)29(6)2()(32-
=--=EI
a F y By F B By 38)(3=
0383143
3=+-EI
a F EI Fa By F F By 4
7
=
（1）立柱横截面的内力
（2）立柱横截面的最大应力
（3）求压力F
()
Pa 66710151031.5075.0104253
5
3
0max .F F
F A
F I Mz N
y t =?+???=+
=---σF
F N =()()
N.m 10425107535033
--?=?+=F F M ()
Pa 93410151031.5125.0104253
5
31max .F F
F A
F I Mz N
y c =?-???=-
=---σ[]
t t F σσ≤=667max .[]N
45000667
1030667
6
=?=
≤t F σ[]
c c F σσ≤=934max .
许可压力为：
某传动轴设计要求转速n = 500 r / min ，输入功率N 1 = 500马力， 输出功率分别 N 2 = 200马力及 N 3 = 300马力，已知：G =80GPa ，[ ]=70M Pa ，
[
]=1o/m ，试确定：
①AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2 ②若全轴选同一直径，应为多少 ③主动轮与从动轮如何安排合理
解：
（1）计算外力偶矩
据扭转强度条件：，
，
[]N
128500934
10120934
6
=?=
≤c F σ45000N 45kN
F ≤=5040
N 1 N 3 N 2 A
C
B
7024(N m)
N m n =?max max []t T W ττ=≤3
16t W d π=T –
可得：
由扭转刚度条件：
可得：
综上所述，可取：
(2) 当全轴取同一直径时，
(3) 轴上扭矩的绝对值的越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,
4max ()(180/)[],/32
p p T GI I d ?πθπ'=≤=1280,67.4d mm d mm
''==1284,74.4d mm d mm
''''==1285,75d mm d mm
==185d d mm
==(kNm)
一根圆截面压杆两端固定，工作压力F=，直径为d=8mm ，材料为A 3钢，其性能
参数为：GPa E 210=，MPa s 235=σ，MPa p 240=σ，MPa a 304=，Mpa b 12.1=。杆的长度为mm l 260=，规定的稳定安全系数是5.3=st n 。试校核压杆的稳定性。 （1）21=
μ，4
d
i = ∴65==i l μλ
而 9.9221==
p
E
σπλ 1λλ<，欧拉公式不成立 （2） 6.612=-=
b
a s
σλ 2λλ>
即有 12λλλ<< ，宜采用经验公式 ∴ MPa b a cr 2.231=-=λσ KN d A F cr
cr cr 62.114
12
===πσσ
（3） 工作安全系数： st cr
n F F n >===
8.67
.162
.11 压杆稳定性满足。
求如图所示悬臂梁的内力方程，并作剪力图和弯距图，已知P=10KN,M=10KN ·m 。
解：分段考虑： 1、AC 段：
（1）剪力方程为：()10(01)Q x KN m x m =?<<
（2）弯矩方程为：()10(2)()(01)M x x KN m x m =--?≤≤ 2、CB 段：
（1）剪力方程为：()0(12)Q x m x m =<<
（2）弯矩方程为：()10(12)M x KN m x m =-?≤≤
3、内力图如下：
()Q x 10KN
⊕
x
T 型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。
已知，
()M x
x
64
7.6410m z I -=?z z
5[][]30MPa,60MPa,t c σσ==