初中锐角三角函数专题
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目录
课题：锐角三角函数课件 ........................................................................................................................................ 1 解直角三角形应用题 ................................................................................................................................................ 5 解直角三角形的方法技巧 ...................................................................................................................................... 10 锐角三角函数考点 .................................................................................................................................................. 15 锐角三角函数 课后检测 . (18)
课题：锐角三角函数课件
【引题】
例题1：操作与探究
（1）度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （2）度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （3）猜想：当∠A 取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否定值？为什么？ （4）用同样的方法探讨∠A 的邻边与斜边、∠A 的对边与邻边的比有什么规律？为什么？
45?
45?
45?
C 2
B 2
A 2
A 1
B 1
C 1B
★【归纳与总结】
三角函数的定义：如图，在RtΔABC 中,∠C=90°，
例题2：如图：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。
（1）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求30°角、60°角的三角函数，并填出表格。 （2）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，求45°角的三角函数，并填出表格。 （3）分析上面特殊角的三角函数，你能从表格中发现什么规律？
A
C
B
45?
60?
C B
A
30?
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★【归纳与总结】
例题3：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 、cosA 和tanA 的值．
13
54
3
C
B A
C
B A
例题4：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，5
3
sin =
A ，求A cos 、
B tan 的值． B
A
C
★【归纳与总结】
例题5：计算： （1）
cos 45sin 301
cos60tan 452
?-??+?
（2）?-?++?-?+?30tan 365sin 160cos 260cos 25sin 2
22
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P(a,b)
α
y
x https://www.wendangku.net/doc/4617332983.html,
O
★【基础与训练】
1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）
A．a
b
B．
b
a
C
D
2．在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）
A．3
4
B．
4
3
C．
3
5
D．
4
5
（1）
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
5
13
，则sinB等于（）
A．12
13
B．
13
12
C．
5
12
D．
5
13
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=2
5
，BC的长是（）．
A．
.4
50 B C D
★【巩固与提高】
1．如图1，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）．
A．
11
.
sin cos
B
a a
C．sina D．
1
https://www.wendangku.net/doc/4617332983.html,
D
C
B
A
αD
C
B
A
C
B
A
(1) (2) (3) (4)
2．如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD=
3
5
，sin∠DBC=
12
13
，则AB，BC，CD长分别为（）．
A．4，12，13 B．4，13，12 C．5，12，13 D．5，13，12
3．如图3，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，∠ABD=a，则下列结论正确的是（）．A．sina=
4
5
B．cosa=
3
5
C．tana=
4
3
D．tana=
3
4
4．如图4，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点17米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（）．
A．17sin50°米B．17cos50°米C．17tan50°米D．34cot50°米
5．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD=2，利用此图求tan75°和tan15°．
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图6
6．如图，∠POQ=90°，边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 为CQ 上，且∠OBC=30°，分别求点A ，D 到OP 的距离．
★【提高与拓展
1．如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，则t a
n EFC ∠的值为( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．4
5
2．如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1，则
点1A 的坐标是____________．
3．如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若1
tan 5
DBA ∠= ， 则AD 的长为____________． 4．已知sina+cosa=m ，sina·cosa=n ，则m ，n 的关系是_______________． 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a+b=4
S △ABC =2，则c=_______．
6．将cos21°，cos37°，sin41°的值按从小到大的顺序排列为_____________________________． 7．tan1°tan2°tan3°…tan89°=___________．
8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，得
AB AC
CD CD
-的值为_______． 9．在△ABC 中，∠C=90°，且AC>BC ，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB 于F ，若CD=4，AB=10，则EF ：AF 等于_______．
A
D E C B
F
图4
图5
30?
Q
P
https://www.wendangku.net/doc/4617332983.html,
O D
C
B
A
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解直角三角形应用题
1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）
2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡
角∠BAD=
60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F=
45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据:
414.12≈,732.13≈).
3．
棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17c m
(2题图)
（第3
题）
图1
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A
B
E F Q
P
4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察
站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A
相距
的C 处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正
好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，
使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；
（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：
2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，
6≈2.45)
第5题
6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．
（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，
cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
东
l
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7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB 与地面EH 平行，测得A 点到楼顶D 点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE 、BF 、CH 都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH 的长．
8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？ （2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.
(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）
9． 为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如
图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．
10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，
第19题图
A
B
(第19题
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则电梯楼的高BC 为______米（精确到0.1）．（参考数据：
414.12≈ 732.13≈）
82.0
11. 首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：,
75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?
73.13≈）
12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45?，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60?． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB
（ 1.732， 结果保留整数）．
13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道
l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时
亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．
A
45°
60° 第（12）题
（第11题图）
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14. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）
（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010
≈≈≈
≈，，，
）
15.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的
M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.
第15题图
B
37° 48°
D
C
A
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解直角三角形的方法技巧
例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠==A
AE α，1，求AB 的长。
图1
思路1：所求AB 是Rt ABC ?的斜边，但在Rt ABC ?中只知一个锐角A 等于α，暂不可解。而在Rt ADE
?中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt ADE ?入手。
解法1：在Rt ADE ?中，因cos A AE
AD
=
，且∠=A α，AE ＝1 故
AD AE A =
=
cos cos 1
α
在Rt ADC ?中，由cos A AD AC =，得AC AD A ===cos cos cos cos 1
1
2
ααα 在Rt ABC ?中，由cos A AC AB =，得AB AC A ==
=cos cos cos cos 1
123ααα
思路2：观察图形可知，CD 、DE 分别是Rt ABC ?和Rt ACD ?斜边上的高，具备应用射影定理的条件，
可以利用射影定理求解。
解法2：同解法1得AD =
1
cos α
在Rt ACD ?中，由AD AE AC 2
=?，得AC AD AE ==221
cos α
在Rt ABC ?中，由AC AD AB 2
=?，得AB AC AD ==23
1
cos α
点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而
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逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。
例2.如图2，在Rt ABC ?中，∠=C
90 ，AD 是BC 边上的中线。
（1）若BD =2，∠=B 30 ，求AD 的长。
（2）若∠=∠=ABC
ADC αβ，，求证：tan tan βα=2
图2
分析：（1）由AD 是BC 边上的中线，只知DC 一条边长，仅此无法直接在Rt ADC ?中求解AD 。而在
Rt ABC ?中，由已知BC 边和∠B 可以先求出AC ，从而使Rt ADC ?可解。
（2）α和β分别为Rt ABC ?和Rt ADC ?中的锐角，且都以直角边AC 为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明tan tan β
α=2
解：（1）在Rt ABC ?中，BC BD ==222，∠=B 30
∴==?
=AC BC B tan 223326
3
在Rt ADC ?中，DC BD ==2
∴=
+=
AD AC DC 22423
（2）证明：在Rt ABC ?中，由tan ∠=
ABC
AC
BC
，∠=ABC α，得AC BC =tan α
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在Rt ADC ?中，由tan ∠=
ADC AC
DC
，∠=ADC β 得
AC DC =tan β
故BC DC tan tan α
β=，又因BC ＝2DC ，故tan tan βα=2
点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D 点在BC 边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。
例3.如图3，在Rt ABC ?中，∠=C
90 ，AD 是∠BAC 的平分线。
（1）若
AB
BD
=3，求∠B （2）在（1）的条件下，若BD ＝4，求S ABC ?
图3
分析：在（1）中已知AD 是∠BAC 的平分线，又知AB 、BD 这两条线段的比为3，应用三角形内角
平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt ADC ?中，先求出∠DAC 即可求得∠B 。
解：（1）由AD 是∠BAC 的平分线，得
AB AC BD CD =，即AB BD AC
CD
==3 在Rt ADC ?中，由cot ∠=
=DAC
AC
CD
3，得∠=DAC 30 ∴∠=∠=BAC DAC 260 ，∠=-∠=B BAC 9030
（2）由
AB
BD
BD ==34，，得AB BD ==343
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由∠=B 30 ，得AC AB =
=1
2
23。又BC AB B ==cos 6 ∴=
?=??=S BC AC ABC ?121
2
62363 点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。
例4.如图4，在Rt ABC ?中，∠=C 90 ，D 为BC 上一点，∠=ABC 45 ，∠=ADC 60 ，BD ＝1，求
AB 。
图4
分析：已知的角告诉我们，Rt ABC ?和Rt ADC ?都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根
据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解
解：在Rt ADC ?中，设DC x =，由∠=ADC 60 ，可知∠=DAC 30 ，得AD x =2，AC x =3
在Rt ABC ?中，由∠=ABC
45 ，BD ＝1，BD DC BC AC +==，得13+=x x
得x =
+312
∴===
+AB AC x 26326
2
点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。
第14页
训练题：
如图5，在?ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB AC ⊥，AF BC ⊥，BD
DC FC ===1，求AC 。
图5
（提示：?ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 又为所求，已知的另外两边都在?BDC 中，且，即?BDC 是等腰三角形，因此，可以过D 作DE BC ⊥，
从而找到解题思路。由于D E 、A F 同垂直于B C ，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得A C ）
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锐角三角函数考点
考查重点与常见题型
1． 求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现，如：
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则∠A ＝ ，sinA ＝ 2． 考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现，如： (1) sin53° cos37°＋cos53° sin37°＝
(2) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中正确的是（ ） (A) sinA ＝sinB (B)sinA ＝cosB (C)tanA ＝tanB (D)c0tA ＝cotB 3． 求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现，如： 1－2sin30° cos30°＝
考点训练
1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sinA ＝（ ）
（A ） 13 （B ）23 （C ）23 2 （D ）2
3
2．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3
5
，则tanA ·cosA 的值是（ ）
（A ）
35 （B ）45 （C ）925 （D ）1625
3．已知∠A ＋∠B ＝90°，则下列各式中正确的是（ ）
（A ）sinA ＝sinB (B)cosA ＝cosB (C)tanA ＝cogB (D)tanA ＝tanB 4．若0° （A ）sina>cosa (B)cosa>sina (C)cota<1 (D)tana>cota 5．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶ 3 ，则cosA= ，cotA ＝ 6．设a 为锐角，若sina ＝ 32 ，则a ＝ ，若tana ＝3 3 ，则a ＝ 7．查表得cot56°42ˊ＝1.5224，2ˊ的修正值为0.0019，则cot56°44ˊ＝ 8．已知a 为锐角，若cosa ＝1 2 ，则sina ＝ ，tan(90°－a)＝ 9. 已知sina=12 13 , a 为锐角，则cosa ＝ ，tana ＝ ，cota ＝ 10．用“>”或“<”连结： cos18° cos18°3ˊ； tan31° tan32°； tan29°30ˊ cot60°29ˊ sin39° cos51°；cot30° sin89°；sina ＋cosa 1（a 为锐角） 第16页 11．计算：（1）12 sin60°＋2 2 cos45°＋sin30°·cos30° （2）3 tan30°－1－2 tan60°＋tan 2 60° ＋cos0°·cos45° 12．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BD ＝9，tanB ＝4 3 ，求AD 、AC 、BC 13．已知方程x 2 －5x ·sina ＋1＝0的一个根为2＋ 3 ，且a 为锐角，求tana 的值。 解题指导 1． 计算：（1）sin45°·cos45°＋ sin60°·cot45° cos0°·tan60° ＋3cot 2 60°+cos90°cos30° （2）－tan 260°＋2 cos45°－cot 2 30°＋tan10°·tan80° sin 223°＋sin 2 67° 2． 若a 为锐角，tga ＝3，求 cosa －sina cosa ＋sina 的值。 3． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：a 3 cosA ＋b 3 cosB=abc 4． 方程x 2 － 2 x ＋m ＝0的两根是一个直角三角形中两锐角的余弦cosA 和cosB ，求A 、B 的度数和m 的值。 5． 若方程2x 2 －2x ·cosa ＋12 错误！未指定书签。cosa （cosa ＋4）＝0的两个根x 1、x 2满足（x 1－1）（x 2－1） ＝109 100 ，求sina 的值。 6．△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，AD 是BC 边上的高，BE 是∠ABC 的平分线，BC ＝1，试利用这个三角形求出sin18°的值。 7．已知sin θ和cos θ是方程a 2x 2 ＋a 3 x ＋1＝0的两根，求a 的值。 独立练习 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ∶sinB ＝3∶4，则ctgA 的值（ ） （A ） 34 （B ）43 （C ）35 （D ）45 2．若2cosa － 3 ＝0，则锐角a ＝（ ） （A ） 30°（B ）15° （C ）45°（D ）60° 3． 已知a=sin25°，b=tan46°，c=cot17°，m=cos20°，则a 、b 、c 、m 的大小关系（ ） （A ） a 4．在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ） （A ） 都扩大两倍（B ）都缩小两倍（C ）没有变化（D ）不能确定 5．0° (A)cosa 6．Rt△ABC中，∠C＝90°，b∶a＝1∶ 2 ，则cosB= ,cotA＝ 7．已知锐角a的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r＝13 ,则sina= ，cosa＝ 8．查表求cos43°26ˊ的值时，先查得cos43°24ˊ＝0.7266，又查得2ˊ的修正值为0.0004，那么cos43°26ˊ＝ 9．5sin2(90°－a)＋5sin2a＝ 10．计算： （1）sin50° cos240° ＋ 1+cos45° tan230°－sin260° （2）cos21°＋cos22°＋···＋cos288°＋cos289° 11．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值。 12．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB＝8，sinA＝3 5 ，CD＝2 3 ，求∠CBD的四个三角函数值。 第17页 第18页 锐角三角函数 课后检测 第一讲 班级__________姓名__________ 1 ，则x 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．若α是锐角，tanα·tan50°=1，则α的值为（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 3．在△ABC 中，∠A 和∠B 都是锐角，且sinA= 12， cosB=2 ，则△ABC 三个内角的大小关系为（ ） A ．∠C>∠A>∠B B ．∠B>∠C>∠A C ．∠A>∠B>∠C D ．∠C>∠B>∠A 4．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC=1，cosB=5 13 ，则S 菱形ABCD =______． 5．计算： 23tan 302cos 301 ? ?-． 6．求使下列等式成立的锐角． （1）4sin 2α-3=0； （2）│tan 2α- ． 7．如图，为了测量河两岸A ，B 两点的距离，在与AB ?垂直的方向点C 处测得AC=a ，∠ACB=α，那么求AB 的长． 8．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，BE ⊥AD ，且tan ∠BAE=125 ， 求河堤的高． 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90? 初中数学锐角三角函数的基础测试题附答案 一、选择题 1．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27?（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ） （参考数据sin 270.45?≈，cos270.89?≈，tan 270.51?≈） A ．65.8米 B ．71.8米 C ．73.8米 D ．119.8米 【答案】B 【解析】 【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论． 【详解】 解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ， ∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米， ∴设DG x =，则 2.4 CG x =． 在Rt CDG ?中， ∵222DG CG DC +=，即222 (2.4)52x x +=，解得20x =， ∴20DG =米，48CG =米， ∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米． ∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥， ∴四边形EGBM 是矩形， ∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米． 在Rt AEM ?中， ∵27AEM ?∠=， ∴?tan 271000.5151AM EM ?=≈?=米， ∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米． 故选B ． 第28章锐角三角函数 同步学习检测（二） 一、选择题 1．（2009年广西钦州）sin30°的值为（ ） A B C ． 12 D 2．(2009年湖州)如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ． sin 2A = B ．1 tan 2A = C ．cos 2 B = D ．tan B =3．（2009年漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 4 B ． 43 C ．35 D ．4 5 4．（2009年兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m 5．（2009年长春）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 45AOC OC ∠==°， ） A ． B ． C ．11)， D ．1) 6．(2009年宁德市)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°， 则OB 的长为（ ） A ． B ．4 C ．．2 7．(2009年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的 高度h 是（ ） A m B ．4 m C ． m D ．8 m 8．(2009年潍坊)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得 30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离 为（ ）米． A ．25 B ． C D ．25+9．（2009年齐齐哈尔市）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的 半径为 3 2，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ． 4 3 10．（2009年吉林省）将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ） A ．cm D ．2cm 11．（2009年深圳市）如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 25 12．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7 13．（2009湖南怀化）如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ） A ．30π B ．40π C ．50π D ．60π求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
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