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复变函数论__第三版 钟玉泉_答案_高清版

复变函数论__第三版 钟玉泉_答案_高清版
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复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则2 2z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 22 2=- (C )z z z z 22 2≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为 i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3

7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i --43 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44--(B )i 44+(C )i 44-(D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i -(C )等于0(D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续(B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数论第三版课后习题答案解析

1.设 z 1 3i ,求 z 及 Arcz 。 解:由于 z 1, Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2.设 z 1 i , z 3 1 ,试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解:由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3.解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解: z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4.证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明:由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是: z 2 ) 2 2 ,并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设 z 1, z 2,z 3三点适合条件: z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1,z 2, z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ,知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以, z 1z 2 z 1z 2 1 , 所以 z 1 z 2

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1. 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段; 解:连接自原点至i +3的直线段的参数方程为:()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至i +3; 解:连接自原点沿实轴至3的参数方程为:t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为:it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至i +3。 解:连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为:it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为:i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2. 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解:x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉 (1)提到复变函数,首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根,极坐标与 xy 坐标的转换,复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 (2)复变函数自然是在复平面上来研究问题,此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面,从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式,这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 (3)明白解析函数的定义以及性质之后,就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中,定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后,就会有出现复分析中的重要的定理:Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 (4)既然是解析函数,那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数,也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在,奇点根据性质分成可去奇点,极 点,本性奇点三类,围绕这三类奇点,会有各自奇妙的定理。(5)复变函数中,留数定理是一个重要的定理,反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 (6)除了积分,导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外,正规族里面有一个非常重要的定理,那就是Arzela 定理。 (7)以上都是从分析的角度来研究复分析,如果从几何的角度来说,最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换,就是Mobius 变换,把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 (8)椭圆函数,经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论,是研究Weierstrass 函数的,有经典的 微分方程,以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍,如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0,其中C取单位圆周|z| = 1. 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析,故 C1/(z+ 2)dz= 0. 设C: z()= ei ,[0, 2]. 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =

[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d. 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0. 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期,故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0;因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数,故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0. 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析,,是D内两点,试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz. 【解】因f(z),g(z)区域D内解析,故f(z)g’(z),g(z)f’(z),以及(f(z)g(z))’都在D 内解析.因区域D是单连通的,所以f(z)g’(z),g(z)f’(z),以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关.[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1. 下列数列{}n a 是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1) mi ni a n -+= 11; 2) n n i a -?? ? ? ?+=21; 3) ()11++ -=n i a n n ; 4) 2i n n e a π-=; 5) 21i n n e n a π-= 。 2. 证明:??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在, 3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性: 1) ∑∞ =1n n n i ; 2) ∑∞ =2n n n i ln ; 3) ()∑∞=+0856n n n i ; 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4. 下列说法是否正确?为什么? 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点; 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5. 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散? 6. 求下列幂级数的收敛半径: 1) ∑∞ =1n p n n z (p 为正整数); 2) ()∑∞=12n n n z n n !; 3) ()∑∞=+01n n n z i ; 4) ∑∞=1n n n i z e π; 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ; 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7. 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ,证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示:()n n n n z c z c

(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A) 1.1 -i 一.填空题(每小题3 分,共计15 分) 的幅角是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1 );3.f (z) =1 +z 2 , z - sin z f (5)(0) =(); f (z) = 1 , 4.z = 0 是 z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=(); 二.选择题(每小题3 分,共计15 分) 1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为(); (A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y; (C) f '(z) =u x +iv y ; (D) f '(z) =u y +iv x. 2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 . 3 ;(B)3(z -1) ;(C) 3(z -1) ;(D) 3 . (A) z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛,则级数在 n=1 (A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛; (C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点一定发散.4.下列结论正确的是( ) (A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点一定解析; 得分

e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ? C f (z )dz = 0 (C ) 如果 ? C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析; (D ) 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是( ). (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为 的孤立奇点. sin z 三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共计 40 分) (1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求 a , b , c , d . z (2).计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ; 得分

复变函数论第四版第四五章练习

复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛,绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛,是否绝对收敛。 (1)2ln n n i n ∞ =∑ (2)01cos 2n n in ∞=∑ (3)0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛,且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数,及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散;在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证:黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑,在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数,并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径: (1)0()n n n n a z ∞=+∑ (2)0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ (3)(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明:0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛,试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明:若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. (这里ln(1)z +取主值支) 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--(3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=--

2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2 )1-+ (3)(sin cos )r i θθ+ (4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解:(1)2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= (2 )1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--

复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答 (一) 1 .设z ,求z 及Arcz 。 解:由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 .设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解:由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3.解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 : 解:1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4.证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。 证明:由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3 是内接 于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ,知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= ] 2 1212z z z z ++= 所以, 12121-=+z z z z , 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数.

复变函数论文

复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名:何缘鸽学号:092410101 学院(系):电气与电子工程系 专业:自动化 指导教师:秦志新 评阅人:

复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】: 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用,是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展,丰富了它的内容。我们在学习的过程中,要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法,逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】:线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】: 提出问题: 众所周知,复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展,因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新,一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展,自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的,如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了

我们的首要问题。 分析问题: 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的,,但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处,究竟其有什么好处呢?下面就介绍一些例子,从中就能看出。 例1: 如图1所示电路,原处于稳态,开关S 于t=0时由1端转向 2端,R=10 Ω ,L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解:因换路前电路已达稳态,故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后,电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换,得

《复变函数论》试题库及答案

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________.

复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0,其中C取单位圆周| z | = 1. 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析,故?C1/(z + 2) dz = 0. 设C : z(θ)= e iθ,θ∈[0, 2π]. 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ. 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0. 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期,故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0;因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数,故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0. 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析,α, β是D内两点,试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz. 【解】因f(z), g(z)区域D内解析,故f(z)g’(z),g(z) f’(z),以及( f(z)g(z))’都在D 内解析.因区域D是单连通的,所以f(z)g’(z),g(z) f’(z),以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关. ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz. 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数,所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]. 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β], 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz. 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线,f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0,w = f(z)将曲线C映成曲线Γ,求证Γ亦为光滑曲线. 【解】分两种情况讨论. (1) 当z(α) ≠z(β)时,C不是闭曲线.此时z(t)是[α, β]到D内的单射,z(t)∈C1[α, β],且在[α, β]上,| z’(t) |≠ 0. 因Γ是曲线C在映射f下的象,所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β). ?t∈[α, β],z(t)∈D.因f于区域D内解析,故f在z(t)处解析, 因此f(z(t))在t处可导,且导数为f’(z(t))z’(t). 显然,f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的,所以f(z(t))∈C1[α, β]. 因为f(z)于区域D内是单叶的,即f(z)是区域D到 的单射,而z(t)是[α, β]到D 内的单射,故f(z(t))是[α, β]到 内的单射. 因在D内有f’(z) ≠ 0,故在[α, β]上,| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0. 所以,Γ是光滑曲线. (2) 当z(α) = z(β)时,C是闭曲线.此时z(t)∈C1[α, β];在[α, β]上,有| z’(t) |≠ 0;z’(α) = z’(β);?t1∈[α, β],?t2∈(α, β),若t1 ≠t2,则z(t1) ≠z(t2).

复变函数论复习提纲

复变函数论 一、复数与复变函数 一、要求 (一)明确复数、区域、复平面、扩充复平面,逐段光滑曲线等概念。 (二)明确复变函数概念和几何意义,掌握一些简单函数的变换性质。 (三)掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。 (四)熟练掌握复数的有关计算,会作点集的图形。 二、考试内容 (一)复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。 (二)平面点集基本概念,曲线(连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线)、区域(单连通区域、复连通区域)、 复平面。 (三)复变函数的概念及其几何意义,复变函数的极限与连续性。 (四)无穷远点,扩充复平面。 二、解析函数 一、要求 (一)掌握导数、解析函数的概念。 (二)掌握C——R条件,并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。 (三)掌握复基本初等函数的定义和基本性质。 (四)掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质,了解根式函数单值解析分支的取法。 二、考试内容 (一)导数、解析函数、C——R条件。 (二)初等函数:正整幂函数与根式函数,指数函数与对数函数,三解函数与反三角函数,双曲函数,一般 幂函数和一般指数函数。 三、复变函数的积分 一、要求 (一)明确复积分的概念及其基本性质。 (二)会证柯西积分定理和柯西积分公式;理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。 (三)熟练地掌握复积分的计算方法。 (四)理解刘维尔定理,会证代数基本定理。 (五)掌握解析函数与调和函数的关系。 二、考试内容 (一)复积分的概念、基本性质及其计算方法。

(二)柯西积分定理(在f'(z)连续的条件下,用格林公式证明)。不定积分,复连通区域上的柯西积分 定理。 (三)柯西积分公式,解析函数的无限可微性。 (四)柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。 (五)莫勒拉定理。 (六)解析函数与调和函数的关系。 四、解析函数的幂级数表示法 一、要求 (一)明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。 (二)了解一致收敛的函数项极数的分析性质。 (三)掌握解析函数的零点孤立性定理和唯一性定理,了解最大模原理的含义。 (四)会求幂级数的收敛半径,了解幂级数的和函数在收敛圆周上必有奇点。 (五)会求简单初等函数的泰勒展开式。 二、考试内容 (一)复数项极数、收敛、绝对收敛。 (二)复变函数项级数、收敛、一致收敛、内闭一致收敛、一致收敛的函数项级数的分析性质。 (三)幂级数、阿贝尔定理、收敛半径、收敛圆、幂级数和函数的解析性。 (四)泰勒定理。基本初等函数的泰勒展开式。 (五)解析函数零点的孤立性、唯一性定理,最大模原理。 五、罗朗级数、孤立奇点 一、要求 (一)明确罗朗级数、孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点等概念。 (二)会求简单函数的罗朗展式。 (三)会判别孤立奇点的类型。 二、考试内容 (一)解析函数的罗朗展式。 (二)解析函数的孤立奇点的概念、分类以及函数在孤立奇点领域内的性质。 (三)解析函数在无穷远点的性质。 六、残数及其应用 一、要求 (一)掌握残数概念和残数的求法。 (二)掌握残数定理的证法并会用残数定理计算曲线积分。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20分): 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛,则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析,且 0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ,则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________,其中n 为自然数.

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 31i -的幅角是( 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ) ; 2.)1(i Ln +-的主值是( i 4 32ln 21π + ); 3. 2 11)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ), 4.0=z 是 4 sin z z z -的( 一级 )极点; 5. z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s (-1 ); 二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为(B ) ; (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周 3=z ,如果函数=)(z f ( D ) ,则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2 ) 1(3--z z ; (C ) 2)2()1(3--z z ; (D ) 2 )2(3 -z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在(C ) (A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C ) i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( B ) (A )如果函数 )(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析,则 0)(=? C dz z f (C )如果0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v

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