数学分析1-期末考试试卷(B卷)

数学分析1 期末考试试卷（B 卷）

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设011

1,1n n

x x x +==

+， 则 lim n n x →∞

= 。

2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0

lim ()x x

f x →存在的充要条件是：

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、当x = 时，函数()2x f x x =取得极小值。

5、已知)(x f 的一个原函数是

cos x

x

，则()xf x dx '=?

。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。 （B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。 （D ）()f x x 为的低阶无穷小量。

2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ ）。

（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且

（C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且 3、若),()

()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，

则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()

lim

1x a

f x x a

→'=--，则（ ）

。 （A ）x a =是)(x f 的极小值。 （B ）x a =是)(x f 的极大值。

（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。 （D ）x a =不是)(x f 的极

值点，

(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。

5、下述命题正确的是（ ）

（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续； （B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0

lim

()()0x x

f x

g x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，

()()

f x

g x <，并设

lim (),x x f x a -

→=

lim (),x x g x b -

→=，则必有a b <；

（D ）设

lim (),lim ()x x x x f x a g x b

-

-

→→==，a b <，则存在0δ>，使当

00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。

三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）

1、 11cos 0sin lim x

x x x -→?? ?

??

求

2

、0

x x →求

3、给定p 个正数()

1121

2

,,,,lim .n n n n p p

n a a a a a a

→∞

+++求

4

、设sin (0)sin a x b y a b a b x +??=

>> ?

+??其中，求y '。

5

、求不定积分?

6、求不定积分

dx x x

x ?3cos sin 。

四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）

1、试用εδ-语言证明极限22

lim

4x x →=；

2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有三个实根。

3、试用拉格朗日中值定理证明：当0x ≥时 11

01ln(1)x x

<

-<+ 。

五、（本题8分）

设()(,)f x -∞+∞在上二阶导数连续，(0)0f =

()

0()0

f x x

g x x

a

x ?≠?=??=?

（1） 确定,()a g x ∞∞使在(-,+)上连续；

（2） 证明对以上确定的,()a g x ∞∞在(-,+)上有连续的一阶导函数。

六、（本题4分）

设()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界。

答案

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分）

1、设011

1,1n n

x x x +==

+， 则 lim n n x →∞

=

1

2

。 2、（归结原则）设0()(;)o f x U x δ在内有定义，0

lim ()x x

f x →存在的充要条件是：

对任何含于00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n f x →∞都存在且相等。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy

。

4、当x = 1

ln 2

-

时，函数()2x f x x =取得极小值。 5、已知

)

(x f 的一个原函数是

cos x x

，则

()xf x dx '=?cos sin 2

x

x C x

--+ 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题4分，满分20分） 1、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ B ）。

（A ）()f x x 与是等价无穷小。 （B ）()f x x 与是同阶但非等价无穷小。

（C ）()f x x 为的高阶无穷小量。 （D ）()f x x 为的低阶无穷小量。

2、设函数()f x x a =在点处可导，则函数()f x 在x a =处不可导的充分条件是（ C ）。

（A ）()0()0.f a f a '==且 （B ）()0()0.f a f a '>>且 （C ）()0()0.f a f a '=≠且 （D ）()0()0.f a f a '<<且

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，

则)(x f 在),0(+∞内有（C ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 的导数在x a =处连续，又()

lim

1x a

f x x a

→'=--，则（ B ）

。 （A ）x a =是)(x f 的极小值。 （B ）x a =是)(x f 的极大值。

（C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点。 （D ）x a =不是)(x f 的极

值点，

(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。

5、下述命题正确的是（ D ）

（A ）设)(x f 和()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x 在0x 处也不连续；

（B ）设()g x 在0x 处连续，0()0f x =，则0

lim

()()0x x

f x

g x →=； （C ）设存在0δ>，使当00(,)x x x δ∈-时，

()()

f x

g x <，并设

lim (),x x f x a -

→=

lim (),x x g x b -

→=，则必有a b <；

（D ）设

lim (),lim ()x x x x f x a g x b

-

-

→→==，a b <，则存在0δ>，使当

00(,)x x x δ∈-时，()()f x g x <。

三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）

1、解： 01

1sin 1sin ln()

lim

ln()

1cos 1cos 1cos 00

sin lim lim x x

x

x

x x

x x

x x x e

e

x →---→→??== ?

??

（2

分）

220001sin cos sin cos sin cos 1

lim

ln()lim lim 1cos sin 33

x x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===-

- （

4

分）

111cos 3

sin lim x

x x e

x --

→??∴= ???

（5分） 2、解：000lim(sin )1x x x x x e x →→→==+= （5分）

3、给定p 个正数()

1

121

2

,,,,lim .n n n n p p

n

a a a a a a

→∞

+++求

解：设{}121max ,,,j p j p

a a a a ≤≤=，则由迫敛性可知：

()()

1

1111

2

()n n n n n n n

n n j j

p

j

j

a a a a a

pa p a =≤++

≤=

（4分）

∴(

){}112

121lim max ,,

.n n n n p

p n j p

a

a a

a a a →∞

≤≤++

+= （5

分）

4、设sin (0)sin

a x

b y a b a b x +??=

>> ?+??其中，求y '。

cos (5sin cos y

x

a b x x

'=

=

+解：分）

5、求不定积分

? ()

()

22222

22

2(1)8,,(211

4ln

(1)12arctan

(5t t

t x dx dt t t t dt t t C +-=

==--∴==+--+??解：令则有分）

分）

6、求不定积分

dx x x

x ?3cos sin 。

222

332

sin (cos )cos 1()(sec sec )cos cos 22

1(sec tan )(52

x x xd x x dx xd x x xdx x x x x x C --===-=-+????解：分）

四、证明下列各题（本题共3个小题，每小题6分，满分18分）

1、试用εδ-语言证明极限22

lim

4x x →=； 22222

422,2142252

30,min 1,,254,lim 4x x x x x x x x x x x x εεδδε→-=+--≤-=+-≤-??

?>=-

所以，取当0<时，

则有所以。

（6分）

2、证明方程0(n x px q n p q ++=为正整数，、为实数），当n 为奇数时最多有

三

个

实

根

。

()()()()()()1234123412233411222333412312311(),,,()()()()0.()[,][,][,],,,,

(3n n f x x px q x x x x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x f f f n ξξξξξξξξξξ-=++====∈∈∈<<'''===证明：设，若方程有四个根，即存在使得因函数在区间，，上都满足罗尔微分中值定理条件，故必存在三点

，，且使得分）

即有1111

1231231230n n n n n p

p n p n p n n n

ξξξξξξξξ-----+=+=+=?===-

<<，由知上式是不能成立的，所以假设原方程有四个根是

错误的。（6分）

3、试用拉格朗日中值定理证明：当0x ≥时 11

01ln(1)x x

<-<+ 。

证明：令()ln(1)f x t =+，则函数在[0，x]上连续，在（0，x ）内可

导。

由拉氏定理知，ln(1)ln(10)1

,(0,)1x x x ξξ

+-+=∈+ ………（3

分）

111ln(1)1,1ln(1)111111

01(6ln(1)x x

x x x x x x

x x

ξ+<<∴<

五、（本题8分）

设()(,)f x -∞+∞在上二阶导数连续，(0)0f =

()0()0

f x x

g x x

a

x ?≠?=??=?

（3） 确定,()a g x ∞∞使在(-,+)上连续；

（4） 证明对以上确定的,()a g x ∞∞在(-,+)上有连续的一阶导函数。

解：

0()()(0)1lim ()lim

lim (0)(0)

3x x x f x f x f g x f x x

a f →→→-'==='∴=（）（分）

（2） 当

x ≠0时，2

()()

()xf x f x g x x

'-'=

002002002()

(0)

()(0)

0(0)lim lim ()(0)()(0)1lim lim (0)22

()()()()()(0)lim ()lim 22()()

(0)()1(0)(0)2

x x x x x x f x f g x g x

x g x x

f x xf f x f f x x xf x f x f x xf x f x f

g x x x xf x f x x x

g x f x →→→→→→'--'===''--''==='''''''-+-'==='-?≠??'∴=?

''=?当时，?? ∴

()

g x '在

-∞+∞（，）

连

续……………………………………………………（8分）

六、（本题4分）

设()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界。

证：f(x)在[a,+∞]上连续，且lim ()x f x A →+∞=，即给定1ε=，0M ?>，当x>M 时，

(x)|<1，以因f 在[]上连续。故存在最大值M 与最小值m 。 现取max{||1,||,||}M A M m '=+。则有(x)|≤M '. 故

f(x)

在

[a,

+∞

]上有

界。…………………………………………………（4分）