初中数学竞赛辅导资料(55)
未知数比方程个数多的方程组解法
甲内容提要
在一般情况下,解方程或方程组,未知数的个数总是与方程的个数相同的,但也有一些方程或方程组,所含的未知数的个数多于方程的个数,包括在列方程解应用题时,引入的辅助未知数.
解这类方程或方程组,一般有两种情况:
一是依题意只求其特殊解,如整数解,或几个未知数的和(积)等,无需求出所有的解; 二是在实数范围内,可运用其性质,增加方程或不等式的个数. 例如,利用取值范围,非负数的性质等.
乙例题
例1. 在实数范围内,解下列方程或方程组: ①021
112
2=++--+-y x x x ; ②x 2+xy+y 2-3x -3y+3=0; ③???=-=++4
222z xy z y x 解:① 根据在实数范围内,二次根式被开方数是非负数,分母不等于零.
得不等式组 ??
???≠-≥-≥-01010122x x x
解得x 2=1而x ≠1, ∴?
??-=-=21y x ② 整理为关于x 的二次方程,利用方程有实数根,则判别式 △≥0.
x 2+(y -3)x+(y 2-3y+3)=0.
∵x 是实数, ∴△≥0.
即( y -3)2-4(y 2-3y+3)≥0 .
解得 (y -1)2≤0 .
而(y -1)2≥0. ∴y=1.
∴???==1
1y x 是原方程的解.
③消去一元后,利用实数平方是非负数性质.
由①得z=2-x -y .
代入②得2xy -(2-x -y)2-4=0.
整理配方,得(x -2)2+(y -2)2=0.
∵相加得0的两个数,只有是互为相反数.
而 x, y 是实数,
∴(x -2)2≥0,(y -2)2≥0.
∴满足等式的条件只能是:???=-=-0
202y x . ∴方程组的解是 ??
???-===222z y x
本题在消去z 后,也可以仿②,写成关于 x 的二次方程,用判别式求解.
例2. 一个自然数除以4余1,除以5余2,除以11余4,求适合条件的最小自然数.
分析:本题有多种解法:①交集法, ②设三元,消去一元,用二元一次方程求整数解,
③设二元,求二元一次方程的整数解.
解法一:除以4余1的自然数集合:{1,5,9,13,17,21,…37…};
除以5余2的自然数集合:{2,7,12,17,…37…};
除以11余4的自然数集合:{4,15,26,37,…}.
三个集合的公共元素中最小的自然数是37.
解法二:设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c 都是自然数).
得方程组 ??
?+=++=+)2(41114)1(2514c a b a 由(1)得 a=
41415++=+b b b . 设k b =+4
1 (k 为正整数), 那么 b=4k -1, a=5k -1. 由(2)得 c=11
7911720113)15(41134-+=-=--=-k k k k a . 要使11
79-k 为整数,k 取最小正整数2. 这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.
解法三:设所求的自然数为x, 则
41-x ,52-x , 114-x 都是自然数. ∵41-x >52-x >11
4-x . ∴41-x +114-x -5
2-x 也是自然数. 设y=41-x +114-x -5
2-x . 去分母,得 200y=31x -47. x=
31
163173147200+++=+y y y . y 取最小正整数5,能使31163+y 为整数. ∴x=37, 即最小的自然数是37.
例3. 有甲,乙,丙三种货物.若购买甲3件,乙7件,丙1件共需3.15元;若购买甲4件,乙10件,丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元?
(1985年全国初中数学联赛题)
解:设甲,乙,丙每件分别为x, y, z 元.
根据题意,得
?
??=++=++)2(20.4104)1(15.373z y x z y x ( 依题意只要求出x+y+z 的值) (1)×3-(2)×2:x+y+z=1.05(元).
答:买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.
例4. 甲、乙两车分别从A 、B 两站同时出发,相向而行,当甲车走完全程的一半时,乙车
距A 站24公里;当乙车走完全程的一半时,甲车距B 站15公里.求A 、B 两站的距离. 解:设A 、B 两站的距离为x 公里,并引入辅助未知数V 甲,V 乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意,得
?????????=--=)2(215)1(242乙甲
乙甲V x V x V x V x ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得2
2415
2x x x x
-=-. 解得, x=40;或 x=12 (不合题意 舍去).
答:A 、B 两站的距离为40公里.
丙练习55
1. 甲,乙,丙,丁,戊做一件工程,甲,乙,丙合作需7.5小时,甲,丙戊合作需5小时,甲,丙,丁合作需6小时,乙,丁,戊合作需4小时.问五人合作需几小时?
2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布,共付42.9元,售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了,退给厂方1.6元,厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺?
3. 两只船分别从河的两岸同时对开,速度保持不变,第一次相遇时,距河的一岸700米,继续前进到达对岸后立即返回,第二次相遇时,距河的另一岸400米,求河的宽.
4. 游泳运动员自闽江逆流而上,在解放大桥把水壶丢失,继续前游20分钟才发现,于是返回追寻,在闽江大桥处追到,已知两桥相距1000米,求水流的速度.
5. 已知长方形的长和宽均为整数,且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少?
6. 有一队士兵,若排成3列纵队,则最后一行只有1人;若排成5列纵队,则最后一行只有
7. 人;排成7列纵队,则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人?
7. 求下列方程的实数解:
① 0311221=++-+-y x x
② 5x 2+6xy+2y 2-14x -8y+10=0
③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy
④ 052312=+-+-+y x y x
8. 一件工程,如果甲单独完成所需的时间是乙,丙合做,完成这件工程所需时间的a 倍;如果乙单独完成所需的时间是甲,丙合做,完成这件工程所需时间的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲,乙合做,完成这件工程所需时间的多少倍?
(1990年泉州市初二数学双基赛题 )
9. 甲,乙两车从东站,丙,丁两车从西站,同时相向而行.甲车行120公里遇丙车,再行20公里遇丁车;乙车在离西站126公里处遇丙车,在中途遇丁车.求东西两站的距离.
10. 三辆车A ,B ,C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟,出发后20分钟追上C ;A 比B 迟开10分钟,出发后50分钟追上C.求A 出发后追上B 的时间.
11. 学生若干人住宿,如果每间4人,有20人没房住;如果每间8人,则有一间不满也不空.求学生人数.
12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时,由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时?
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初中数学竞赛专题选讲观察法 一、内容提要 数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法),但都要经过严谨的论证,才能确定是否正确. 观察是思维的起点,直觉是正确思维的基础. 观察法解题就是用清晰的概念,直觉的思维,根据题型的特点,得出题解或猜测其结论,再加以论证. 敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握. 例如:用观察法写出方程的解,必须明确方程的解的定义,掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时,必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时,则有一个根是-1;n 次方程有n 个根,这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时,可判定它是恒等式. 对题型的特点的观察一般是注意已知数据,式子或图形的特征,分析题设与结论,已知与未知这间的联系,再联想学过的定理,公式,类比所做过的题型,试验以简单的特例推导一般的结论,并探求特殊的解法. 选择题和填空题可不写解题步骤,用观察法解答更能显出优势. 二、例题 例1. 解方程:x+x 1=a+a 1. 解:方程去分母后,是二次的整式方程,所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义,易知 x=a ;或x= a 1. 观察本题的特点是:左边x 11=? x , 右边a 11=?a . (常数1相同). 可推广到:若方程f(x)+a m a x f m +=)((am ≠0), 则f(x)=a ; f(x)= a m . 如:方程x 2+22255a a x +=, x 2+3x -83202=+x x (∵8=10-1020). 都可以用上述方法解. 例2. 分解因式 a 3+b 3+c 3-3abc. 分析:观察题目的特点,它是a, b, c 的齐三次对称式. 若有一次因式,最可能的是a+b+c ;若有因式a+b -c,必有b+c -a, c+a -b ; 若有因式a+b, 必有b+c, c+a ; 若有因式b -c,必有c -a, a -b. 解:∵用a=-b -c 代入原式的值为零, ∴有因式a+b+c. 故可设 a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)[m(a 2+b 2+c 2)+n(ab+bc+ca)]. 比较左右两边a 3的系数,得m=1, 比较abc 的系数, 得 n=-1. ∴a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca) 例3. 解方程x x =++++3333.
欧拉(Euler)线: 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆: 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆; 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点: 已知P为锐角△ABC内一点,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC的值最小,这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦(Heron)公式:
塞瓦(Ceva)定理: 在△ABC中,过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F,则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1;其逆亦真。 密格尔(Miquel)点: 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF, 则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。
葛尔刚(Gergonne)点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F, 则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。 西摩松(Simson)线: 已知P为△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F为垂足, 则D、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。
黄金分割: 把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割。 帕普斯(Pappus)定理: 已知点A1、A2、A3在直线l1上,已知点B1、B2、B3在直线l2上,且A1 B2与A2 B1交于点X,A1B3与A3 B1交于点Y,A2B3于A3 B2交于 点Z,则X、Y、Z三点共线。
初中数学竞赛辅导资料(65) 图象法 甲内容提要 1. 在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数 根,有理数根,整数根的充分必要条件. 2. 要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax 2+bx+c=0中, ① 有两个实数根的充分必要条件是?? ?≥?≠0 a ②有两个正实数根的充要条件是?????? ??? >>≥?00-0a c a b (a ≠0包含在0 >a c 之中) ③有一正一负实数根的充要条件是 00均已包含在内) ④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是???????<-<00a b a c 3. 在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组. 4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象. 乙例题 例1..已知:方程7x 2-(k+13)x+k 2-k -2=0的两个实数根x 1,x 2满足:0
解这个不等式组得?? ? ??><<<->-<.30422 1k k k k k 或;;或 ∴原不等式组解集是 -2 初中数学竞赛辅导资料(12) 用交集解题 甲内容提要 1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个. 2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集. 3. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集. 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是( ) 不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3. 4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2) 乙例题 例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A ={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B ={3,8,13,18,23,28,……} 除以7余2自然数集合C ={2,9,16,23,30,……} 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数. 例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9}; 其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组; 平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组. 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组. 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人,订阅B 种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A 种、只订B 种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们 初中数学竞赛重要定理、公式及结论 代数篇 【乘法公式】 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2, 立方和(差)公式:(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4) (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5) ………… 在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … +ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知:当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式(欧拉公式) (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总能整除。当被 除式f(x)除以除式g(x),(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时,就有下列等式: f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数,或者r(x)=0。当r(x)=0时,就是f(x)能被g(x)整除。 【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。 【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和,称为将分式化为部分分式,它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有:换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。 【素数和合数】2是最小的素数,也是唯一的一个既是偶数又是素数的数. 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像 点:只表示位置,没有大小,不可再分。 线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形? E 解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。 乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个: 边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15 顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10 边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10 顶点在下▼的个数有 1+2=3 边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6 边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3 边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同 一直线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不 出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。 (1989年全国初中数学联赛题) 解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线 有4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个 点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2(因重复计算)。 要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线, 共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5, A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速 前进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相 等;又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y 米,根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法 1.添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例1因式分解:①x4+x2+1②a3+b3+c3-3abc ①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) ②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 例2因式分解:①x3-11x+20②a5+a+1 ①分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里 16是完全平方数) ②解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5) ③分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1 =a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1) 2.运用因式定理和待定系数法 定理:⑴若x=a时,f(x)=0, [即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。 例3因式分解:①x3-5x2+9x-6②2x3-13x2+3 B 14. ⊙O 的直径AB=4cm,A C 是⊙O 的弦,030,BAC O D AC ∠=⊥于 E ,则阴影部分面积为 cm 2 第12题图 第14题图 第15题图 15. 如图,已知双曲线()011>= x x y ,()042>=x x y ,点P 为双曲线x y 42=上的一点,且PA⊥x 轴于点A ,PB⊥y 轴于点B ,PA 、PB 分别交双曲线x y 11=于D 、C 两点,则△PCD 的面积为 16. 如图,抛物线y=ax 2+bx+c(与x 轴的一个交点A 在点 (-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是 矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点, 则a 的取值范围是 . 三. 全面答一答(本题有8个小题,共66分) 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以。 17. (本小题满分6分) 已知二次函数y =ax 2+bx -3的图象经过点A (2,-3),B (-1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点,应把图象沿y 轴向上平移几个单位? 18. (本小题满分6分)已知⊙O1与⊙O2交于A 、B ,AC 、AD 是两圆的 直径.求证:C 、B 、D 在同一条直线上. 19. (本小题满分6分) 如图,已知点A (-4,2)、B (n ,-4)是一次函数y=kx+b 的图象与反 比例函数x m y =图象的两个交点. (1)求此反比例函数的解析式和点B 的坐标; (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围. 20. (本小题满分8分) 为了迎接我校新校区的建成,学校对中心花坛进行了改造,改造后安装了一个大理石 初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 初三数学竞赛选拔试题(含答案)-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习 资料-初中数学试卷-试卷下载 初三数学竞赛选拔试题 一、选择题: (每小题5分,共35分) 1 .2003减去它的,再减去剩余的再减去剩余的……依次类推,一直减去剩余的则最后剩下的数是(B) (A) (B)1 (C) (D)无法计算 2. 若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b的值是(D) (A)7(B)8(C)15(D)21 3. ΔABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则ΔABC的面积是(C ) (A)12(B)16(C)24(D)30 4. DE为∆ABC中平行于AC的中位线,F为DE中点,延长AF交BC于G,则∆ABG 与∆ACG的面积比为(A) (A)1:2(B)2:3(C)3:5(D)4:7 5. 三角形三条高线的长为3,4,5,则这三角形是(C) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)形状不能确定 6. 已知关于x的方程有不同的实数根,其中m为整数,且仅有一个实根的整数部分是2,则m的值为(A) (A)–2(B)–3(C)–2或–3(D)不存在 7. 在凸四边形ABCD中,DA=DB=DC=BC,则这个四边形中最大角的度数是( A) (A)120º(B)135º(C)150º(D)165º 二、填空题: (每小题5分,共35分) 1. 若在方程y(y+x)=z+120 中,x,y,z都是质数,而z是奇数,则x= 2 .y= 11 .z= 23. 2. 将2003x2-(20032-1)x-2003 因式分解得 (x-2003)(2003x+1). 3.正三角形ABC所在平面内有一点P,使得⊿PAB、⊿PBC、⊿PCA都是等腰三角形,则这样的P 点有 10个 4.已知直角梯形ABCD中,AD⊿BC,AB=BC,⊿A=,⊿D=,CD的垂直平分线交CD于E,交BA于的延长线于F,若AD=9,则BF=9; 5.已知四边形的四个顶点为A(8,8),B(-4,3),C(-2,-5),D(10,-2),则四边形在第一象限内的部分的面积是 6.小明和小刚在长90米的游泳池的对边上同时开始游泳,小明每秒游3米,小刚每秒游2米,他们来回游了12分钟,若不计转向的时间,则他们交汇的次数是20。 7.一副扑克牌有54张,最少抽取16张,方能使其中至少有2张牌有相同的点数? 三、(本题满分15分) 下表是某学校参加一次数学竞赛中参赛同学做对题目的情况记录表,第一行的值表示做对的题目的题数,第二行的值表示做对相应题目的同学人数。 做对的题数 0 1 初中数学竞赛常用公式内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128) 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理:三角形两边的和大于第三边 16 推论:三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 18 推论1:直角三角形的两个锐角互余 19 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线初中数学竞赛辅导资料(12)
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