一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置

题目一：

考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

图倒立摆系统

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定

是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的

分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状

态变量的时间响应图。

解：

1 建立一级倒立摆系统的数学模型

1.1 系统的物理模型

如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。

图1 一级倒立摆物理模型

1.2 建立系统状态空间表达式

为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。

在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到

u l y dt

d m dt d M =++)sin (y 22

22θ （1）

对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到

θθsin )sin y (m 22

mg l dt

d =+ （2）

方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则sin θ≈θ，cos θ≈1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒

u ml M =++..

..y m θ）（ （3）

θ

θmg l m =+..

..m y （4）

对于（3）（4）两个式子联立求解，得到

u M

1

M mg -y ..

+=θ （5）

u Ml

g M 1M m θ..

-+=θ）（ （6）

如果选择位移y 、速度.

y 、角度θ和角速度.

θ为系统的状态变量，位移y 为系统的输出，控制力u 为输入量，并令x 1=y,.

.

12x y x ==,θx 3=,.

.34θx ==x ,则得到 系统的状态表达式为：

u

1010000100000000

1

4321.4.3

.2.1??

????

????????-+??????????????????????

???

?+-=????????????????Ml M x x x

x g

Ml m M g

M

m

x x x x ）（ （7-a ）

][???

?

?

?

??????=43210001y x x x x （7-b ）

2 分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性

设系统的参数为M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s 2

,于是

1981.0mg ≈=M

1179.10l

m)g

≈=+M M （

11

=M

1l

1

=M 故

u

101001100

1000010000

1

04321.4.3.2.1?

????

?

??????-+?????????????????????

???-=???????

?????????x x x x x x x x （8-a ）

][???

?

?

???????=43210001y x x x x （8-b ）

故而有：

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0]; 2.1 能控性

在MA TLAB 中，输入

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0];

Qc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] 得到 Qc =

0 1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 -11

-1 0 -11 0 再输入 rank(Qc)，得到 ans = 4

于是系统是能控的。 2.2 能观测性

在MA TLAB 中，输入

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0];

Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A];

得到

Q0 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

再输入rank(Q0)

ans =

4

于是系统是能观测的。

2.3稳定性

计算det[λI-A]=0；

求得的结果是λ1=0；λ2=0；λ3=11；λ4=-11。

因为结果不全是负实部，故而该系统不稳定。

3 状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵

3.1 状态反馈阵极点配置

因为我们知道，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。可以通过状态反馈来任意配置极点。

希望的极点为s1=-6，s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。

3.2 求状态反馈阵

在MA TLAB中输入命定

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];

B=[0;1;0;-1];

P=[-6 -6.5 -7 -7.5];

K=place(A,B,P)

得到计算结果为:

K=

-204.7500 -122.1750 -488.5000 -149.1750

4 MATLAB程序设计

利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如图所示

运行仿真程序，得到的仿真曲线如下图所示

从上图可以看出，可以将倒立摆的杆子控制在与竖直方向偏角θ=0°的位置。

题目二：

根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。 解：

塑料球漂浮分析

仿真目标：小球在空中受重力mg ，在竖直向上的风中保持漂浮在空中的稳定状态。

1 建模分析

小球在风向（如图所示）下保持稳定的状态。小球质量为m ，风速为0v ，简化风对球的阻

y 球 风向

力正比于相对速度，比例系数为f ，球下落正向坐标为y ，输入u 为与风速相关的控制力。 数学模型：

my fy u -=

11222x y x x y f u f u x y y x m m m m

=====

+=+

11220

1010

x x u f x x m m ????

???? ? ?=+ ? ? ? ? ? ?????????

()1210x y x ??= ???

由数学模型可知可设：

0101A ??= ???，01B ??

= ???

,()10C =,()34P =--,()1

2K K K =

2 控制分析

2.1 能控性分析：rank （()B AB ）=2，系统能控

2.2 能观性分析：rank （C CA ??

???

）=2，系统能观 2.3 稳定性分析：12det()0,0,1I A λλλ-===,不全为复实数，故系统不稳定

3 求状态反馈阵K

在matlab 中输入K=place （A,B,P ）,可求得反馈阵()128K =。

4 MATLAB 仿真

4.1 Matlab 中simulink 建立

4.2 Matlab中simulink仿真结果

由仿真结果可知，小球会逐渐趋于稳定，模型得到验证。

基于MATLAB(矩阵实验室)的倒立摆控制系统仿真

基于MATLAB（矩阵实验室)的倒立摆控制系统仿真 摘要 自动控制原理（包括经典部分和现代部分）是电气信息工程学院学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。本文以一级倒立摆为被控对象，用经典控制理论设计控制器（PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，通过MATLAB仿真软件的方法来实现。 关键词：一级倒立摆PID控制器极点配置

Inverted pendulum controlling system simulation based on the MATLAB ABSTRACT Automatic control theory (including classical parts and modern parts) is a compulsory specialized fundamental course of the students majored in electrical engineering. Some of the curriculum concept is relatively abstract, such as the stability, controllability, convergence rate and the anti-interference ability of system. Inverted pendulum system is a typical nonlinear, strong coupling, multivariable and unstable system. It is an ideal teaching experimental equipment as a controlled object, by which many abstract control concepts can be came out directly. This paper chose first-order inverted pendulum as the controlled object. First, the PID controller was designed with classical control theory. Then pole-assignment method was discussed with modern control theory. At last, the effectness of the two methods was verified by MATLAB simulation software. KEY WORDS: First-order inverted pendulum PID controller pole-assignment

实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计(优.选)

实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计 一、实验目的 1. 加深对状态反馈作用的理解。 2. 学习和掌握状态观测器的设计方法。 二、实验原理 在MATLAB 中，可以使用acker 和place 函数来进行极点配置，函数的使用方法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。 K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。 [K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。 三、实验内容 1.已知系统 （1）判断系统稳定性，说明原因。 （2）若不稳定，进行极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。 （3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进行极点配置？ （4）使用状态反馈进行零极点配置的前提条件是什么？ 1. （1） （2） 代码： a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1]; b=[1,1,1]'; p=[-1,-2,-3]'; K=acker(a,b,p) K = -1 2 4 （3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进行极点配置?

在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律，即状态反馈。从状态空间模型输出方程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进行简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。 (4)使用状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。 2.已知系统 设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。 （1）给出原系统的状态曲线。 （2）给出观测器的状态曲线并加以对比。（观测器的初始状态可以任意选取）观察实验结果，思考以下问题： （1）说明反馈控制闭环期望极点和观测器极点的选取原则。 （2）说明观测器的引入对系统性能的影响。 （1）A=[0 1;-3 -4]; B=[0;1]; C=[2 0]; D=[]; G=ss(A,B,C,D); x=0:0.001:5; U=0*(x<0)+1*(x>0)+1*(x==0); X0=[0 1]'; T=0:0.001:5; lsim(G,U,T,X0);

基于matlab的一级倒立摆自适应仿真

第一章绪论 1.1倒立摆系统的简介 1.1.1倒立摆系统的研究背景及意义 倒立摆系统的最初分析研究开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例[1]。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还将控制理论涉及的相关主要学科：机械、力学、数学、电学和计算机等综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程中，存在一种可行性的实验问题，将其理论和方法得到有效的验证，倒立摆系统可以此提供一个从控制理论通过实践的桥梁。近些年来，国内外不少专家、学者一直将它视为典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立摆系统的稳定性和镇定问题进行了大量研究，都在试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法的严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力，其控制方法在军工、航天、机械人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如精密仪器的加工、机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、导弹拦截控制、航空对接控制、卫星飞行中的姿态控制等方面均涉及到倒置问题。因此，从控制这个角度上讲，对倒立摆的研究在理论和方法论上均有着深远意义。倒立摆系统是一个典型的自不稳定系统，其中摆作为一个典型的振动和运动问题，可以抽象为许多问题来研究。随着非线性科学的发展，以前的采用线性化方法来描述非线性的性质，固然无可非议，但这种方法是很有局限性，非线性的一些本质特征往往不是用线性的方法所能体

现的。非线性是造成混乱、无序或混沌的核心因素，造成混乱、无序或混沌并不意味着需要复杂的原因，简单的非线性就会产生非常的混乱、无序或混沌。在倒立摆系统中含有极其丰富和复杂的动力学行为，如分叉、分形和混沌动力学，这方面的问题也值得去探讨和研究。 无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性[2]： (1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统。实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 (2)不确定性主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的减速齿轮间隙等非线性因素所导致的难以量化的部分。 (3)欠冗余性一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构，比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控制性能。 (4)耦合特性倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。 (5)开环不稳定性倒立摆系统有两个平衡状态：垂直向下和垂直向上。垂直向下的状态是系统稳定的平衡点(考虑摩擦力的影响)，而垂直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开垂直向上的状态而进入到垂直向下的状态中。 (6)约束限制由于实际机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立

倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料

第1 页共11 页 倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远 动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??①

绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有． 第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点， 另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点 距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其

7状态空间设计法极点配置观测器解析

第7章线性定常离散时间状态空间设计法 7.1引言 7.2状态反馈配置极点 7.3状态估值和状态观测器 7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5扰动调节 7.6无差调节

7.1 引言 一个被控对象： (1)()()()() ():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n +=+?? =?????? 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声 ● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。 给d L (k )扰动 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。 7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。

7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 ()()()u k v k Lx k =+ 7.2 如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得 (1)()()()() ()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+?? =??=+? 7.3 整理得 ()(1)()() ()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++?? =? 7.4 (k ) v (k ) 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 闭环系统的特征方程为 []det ()0zI F GL -+= 7.5 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有 []1det ()()0n i i zI F GL z λ=-+=-=∏ 7.6 定理：状态反馈配置极点

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时 间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&& ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有

θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直 立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。 选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=?????? ? ???????-+?????????? ??? ? +- =???? ????????=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到： [][]0,0001,1010,01100 1000010000 1 0==-=? ? ??? ? ??? ???-=D C B A T

基于极点配置的控制器设计与仿真

计算机控制理论与设计作业 题目：基于极点配置方法的直流调速系统的控制器设计

摘要 本文目的是用极点配置方法对连续的被控对象设计控制器。基本思路是对连续系统进行数学建模，将连续模型进行离散化，针对离散的被控对象，用极点配置的方法分别在用状态方程和传递函数两种描述方法下设计前馈和反馈控制器，并用MATLAB仿真。文中具体以直流调速系统作为研究对象，对直流调速系统的组成和结构进行了分析，把各个部分进行数学建模，求出其传递函数，组成系统结构框图，利用自控原理的知识对结构图化简，求出被控对象的传递函数和状态方程，进一步得将其离散化。第一种是通过极点配置设计方法的原理，用状态方程设计被控对象的控制律，因为直流调速系统存在噪声，实际状态不可测，故选择了全阶的观测器，又因为采样时间小于计算延时，所以选择了预报观测器。利用所学知识对此闭环系统设计前馈和反馈控制器[1]。第二种利用传统的离散传递函数，从代数多项式的角度进行复合控制器的设计，在保证系统稳定的情况下，分析系统的可实现性，稳定性，静态指标，动态指标，抗干扰等方面性能研究前馈反馈相结合控制器设计。重点是保证被控对象的不稳定的零极点不能被抵消。最后利用MATLAB的Simulink进行仿真，观察系统的输出的y和u和收敛性，并加入扰动看其抗干扰性能，得出结论。 经研究分析，对于直流调速系统，基于极点配置设计的前馈反馈相结合的控制器，具有良好的稳定性能和抗干扰性能。运行结果符合实际情况。 关键词：极点配置；状态方程；直流调速系统；代数多项式；Matlab；

1绪论 1.1论文的背景及意义 在工业生产和日常生活中，自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，确定性系统是指系统的结构和参数是确定的，确定的输入下，输出也确定的一类系统。确定性系统相对于不确定性系统而言的。在确定的系统中所用的变量都可用确切的函数关系来描述，系统的运动特性可以完全确定。以确定性系统为研究对象的控制理论称为确定性控制理论。本文以直流调速系统为研究对象，利用极点配置的设计方法，包括利用状态空间模型和传递函数模型分别描述线性系统，采用闭环极点为指标的控制器设计的理论和方法，设计出前馈和反馈控制器，组建闭环控制系统，用Matlab进行仿真可以逼真地还原出实际系统。 1.2 论文的主要内容 本文直流电机的调速系统的模型作为研究对象，利用线性系统极点配置的设计方法，设计前馈反馈控制器。论文研究的主要内容: (1)阅读学习国内外期刊文献，研究了极点配置的基本原理和Matlab的实现方法。 (2)系统的说明直流电机的系统结构和工作原理并分析，建立直流调速系统的数学模型，将其进行离散化，并讨论其传递函数与状态方程之间的关系。 (3)分析极点配置控制器的设计原理，利用状态方程设计控制器。 （4）将被控对象的传递函数离散化，利用传递函数模型设计控制器。 (4)在MATLAB中建立闭环直流调速系统的模型，根据闭环极点配置的设计步骤编写程序，用Simulink搭建仿真系统，对闭环直流调速系统的输出进行仿真分析。 (5)对仿真结果分析。将仿真结果与实际直流调速系统的阶跃响应的各项参数相比较，得出结论。

Invertedpendulum倒立摆的matlab建模

ECE451 Controll Engineering Inverted pendulum 09/29/2013 Introduction: Inverted pendulum is a typical fast, multi-varaibles, nonlinear, unstable system, it

has significant meaning. We choose the PID controller to fot the inverted pendulum. Assume the input is a step signal , the gravitational acceleration g=9.8m/s^2 and linearize the nonlinear model around the operating point. 1.Mathematic Modling M mass of the car 0.5 kg m mass of the pendulum 0.2 kg b coefficient of friction for cart 0.1 N/m/sec l length to pendulum center of mass 0.3 m I mass moment of inertia of the pendulum 0.006 kg.m^2 F force applied to the cart x coordinate of cart position

θpendulum angle from vertical (down) N and F are the force from horizontal and vertical direction. ) Force analysis Consider the horizontal direction cart force, we get the equation: Consider the horizontal direction pendulum force, we get the equation: To get rid of P and N, we get this equation: Merge these two equations, about to P And N, to obtain a second motion equation: u to represent the controlled object with the input force F, linearized two motion equations Apply Laplace transform to the equation above The transfer function of angle and position

基于matlab的倒立摆仿真设计

基于matlab的倒立摆的仿真与设计姓名:贾永伟专业:测控技术与仪器学号:1123105950 年级:2011级 摘要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒 立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。 关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真 一、倒立摆模型的研究意义 倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制都有重要意义 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。 二、倒立摆模型的数学建模 质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型 分析过程如下： 如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。 现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：

系统稳定性分析 、利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器

实验报告 实验名称系统稳定性分析、利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器系专业班 姓名学号授课老师 预定时间实验时间实验台号 一、目的要求 掌握系统稳定性的概念。学会使用MATLAB确定线性定常系统和非线性定常系统的稳定性。 掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。 掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。学会用MATLAB求解状态反馈矩阵。 掌握状态观测器的设计方法。学会用MATLAB设计状态观测器。 熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。 二、原理简述 函数eig()的调用格式为V=eig(A)返回方阵A的特征值。 函数roots()的调用格式为roots(den)，其中den为多项式的系数行向量。计算多项式方程的解。 函数pole()的调用格式为pole(G)，其中G为系统的LTI对象。计算系统传递函数的极点。 函数zpkdata()的调用格式为[z,p,k]=zpkdata(G,’v’)，其中G为系统LTI对象。返回系统的零点、极点和增益。 函数pzmap()的调用格式为pzmap(G)，其中G为LTI对象。绘制系统的零点和极点。 对于线性定常连续系统x Ax，若A是非奇异矩阵，则原点是其唯一的平衡状态。统在原点处大范围渐近稳定的充分条件是：存在李氏函数v(x)x T px，且v(x)正定，v(x)负定。 如果SISO线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈,将闭环系统极点配置到 任意期望的位置。 MATLAB提供的函数acker()是用Ackermann公式求解状态反馈阵K。 MATLAB提供的函数place()也可求出状态反馈阵K。 如果线性定常系统完全能观测，则可构造全维（基本）观测器。全维（基本） 状态观测器的状态方程为观测器的反馈矩阵L为 其中为系统的能观测矩阵。 其中为期望的状态观测器的极点。观测器设计是极点配置的对偶问题，故可利用函数acker()和place()进行求解。

模糊控制在倒立摆中的MATLAB仿真应用

TAIYUAN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY 题目： 院（系）： 专业： 学生姓名： 学号：

模糊控制在倒立摆中的仿真应用 1、倒立摆系统 简介 倒立摆有许多类型,例如图1-1的a和b所示的分别是轮轨式一级倒立摆系统和二级倒立摆系统的模型。倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、本质不稳定系统,它对倒置系统的研究在理论上和方法论上具有深远的意义。对倒立摆的研究可归结为对非线性多变量本质不稳定系统的研究,其控制方法和思路在处理一般工业过程中也有广泛的用途。近些年来国内外不少专家学者对一级、二级、三级、甚至四级等倒立摆进行了大量的研究,人们试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制,以便检查或说明该方法的严重非线性和本质不稳定系统的控制能力。2002年8月11日,我国的李洪兴教授在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制,也标志着我国学者采用自己提出的控制理论完成的一项具有原创性的世界领先水平的重大科研成果。 图1-1 倒立摆模型 (a)一级倒立摆模型（b）二级倒立摆模型 倒立摆系统可以简单地描述为小车自由地在限定的轨道上左右移动。小车上的倒立摆一端用铰链安装在小车顶部,另一端可以在小车轨道所在的垂直平面内自由转动,通过电机和皮带传动使小车运动,让倒立摆保持平衡并保持小车不和轨道两端相撞。在此基础上在摆杆的另一端铰链其它摆杆,可以组成二级、三级倒立摆系统。该系统是一个多用途的综合性试验装置,它和火箭的飞行及步行机器人的关节运动有许多相似之处,其原理可以用于控制火箭稳定发射、机器人控制等诸多领域。 倒立摆系统控制原理

单级倒立摆系统的硬件包括下面几个部分：计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆和测量元件，由它们组成的一个闭环系统，如图1-2所示，就是单级倒立摆系统的硬件结构图。 图1-2 单级倒立摆硬件结构图 通过角度传感器可以测量摆杆的角度，通过位移传感器可以得到小车的位置，然后反馈给运动控制卡，运动控制卡与计算机双向通信。计算机获得实时数据，确定控制策略，发送到运动控制卡，运动控制卡执行计算机确定的控制策略，产生相应的控制量，由伺服电机转动来带动小车在水平轨道往复的运动，使摆杆保持倒立。 倒立摆系统状态方程 θ f 图1-3 单级倒立摆模型图 θ为杆与垂线的夹角，f为作用力，杆的质量m=，杆和小车的总重量m=,半杆长l=，重力加速度g=s2，采样周期T=.倒立摆的数学模型为：

控制系统的极点配置设计法

控制系统的极点配置设计法 一、极点配置原理 1.性能指标要求 2.极点选择区域 主导极点： 2 11 1 cos tan ξ βξ ξ -- - == 图3.22 系统在S平面上满足 时域性能指标的范围 n s t ζω 4 = ；当Δ=0.02时，。 n s t ζω 3 = 当Δ=0.05时,

3.其它极点配置原则 系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即n s s ξω5Re 5Re 13=≥（此处ξ，n ω对应于极点s 1、s 2） ；同时，极点s 1、s 2的附近不存在系统的零点。由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为 135 1 451s n s t t =?≤ ξω 式中1s t 是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。 图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。因为它衰减得最慢。其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5 所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。因此，对系统过渡过程进行近似分析时。可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。 n x o (t) （a ） （b ） 系统极点的位置与阶跃响应的关系

二、极点配置实例 磁悬浮轴承控制系统设计 1.1磁悬浮轴承系统工作原理 图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。 （a）（b） 图1 磁悬浮轴承系统的工作原理 Fig.1 The magnetic suspension bearing system principle drawing 假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。反之，当转子受到一个向上的扰动并向上运动，此时控制器使得功率放大器的输出电流由I0，减小到I0-i，电磁铁的吸力变小了，转子也能返回到原来的平衡位置。因此，不论转子受到向上或向下的扰动，都能回到平衡状态。这就是主动磁轴承系统的工作原理。即传感器检测出转子偏移参考点的位移，作为控制器的微处理器将检测到的位移信号变换成控制信号，然后功率放大器将这一控制信号转换成控制电流，控制电流在执行磁铁中产生磁力从而使转子维持其悬浮位置不变。悬浮系统的刚

基于MATLAB的倒立摆系统定性分析(1)

信息技术与信息化 自动控制 79 　基于MAT LAB 的倒立摆系统定性分析 Qualitative Analysis of I nverted Pendulu m System Based on MAT LAB 张　彬3　郭晓玉　王金凯33高军伟3 ZHAN G B in G UO X iao -yu WAN G J in -kai G AO Jun -w ei 摘　要 　倒立摆系统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段,是检验控制策略效果的不可或缺的工具,也是控制界中研究的热点。判断系统的稳定性、可控性和可观性是设计倒立摆控制器的前提。应用 MAT LAB 对倒立摆系统进行分析、研究,方法方便快捷,实用性强,尤其适用于多级倒立摆系统。 关键词　倒立摆　稳定性　可控性　可观性　MAT LAB Abstract I nverted pendulu m contr ol syste m as a theoretical study is an ideal experi m ental means .This contr ol syste m can not only test the effect of contr ol strategy as an indis pensable t ool,but als o be the hot s pots in the contr ol field .Deter m inati on of the stability,contr ollability and observability are the p re m ise of contr oller de 2sign f or the inverted pendulu m syste m.Analysis and research based on MAT LAB is convenient and p ractical es pe 2cially for multi -stage inverted pendulu m. Keywords I nverted pendulu m Stability Contr ollability Observability MAT LAB 3青岛大学自动化工程学院　山东青岛　26607133安丘市供电公司　山东潍坊　262100 引言 倒立摆(I nverted Pendulu m )是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。 对系统进行定性分析,首先要建立系统的数学模型,并对系统的特性进行分析,包括系统的稳定性、可控性以及可观性。摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点,由于关心的是系统在平衡点附近的性质,因而可以采用线性模型来分析。一般地,N 级倒立摆系统有Z (N +1)个状态变量,在分析系统特性时,可以运用MAT LAB 的矩阵计算功能来实现上述功能。 1　倒立摆系统的数学模型 为简便起见,建模时一般忽略系统中一些次要的难以建模的因素,例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。将小车抽象为质点,摆杆抽象为匀质刚体,摆杆绕转轴转动,基于以上的假设,可以用欧拉-拉格朗日方程原理建立小车倒立摆系统的动力学模型。 直线二级倒立摆线性化后的数学模型[1]: x θ1 θ2 ¨x 1 ¨θ1¨θ2 =000100000010000001000000 0K 12K 130000 K 22 K 23 0x θ1θ2 x θ1 θ2000 1 K 17K 27u y =x θ1 θ2 1000000100000 1 x 1 θ1θ2 x θ1 θ2 +000 u 其中: K 12=3g (m 1+2m 2+2m 3)(4m 1+3m 2+12m 3)l 1　K 13= 9m 2g -2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1K 22=9g (m 1+2m 2+2m 3)-(8m 1+6m 2+24m 3)l 2 　k 23= 3g (m 1+3m 2+3m 3) (4m 1+3m 2+3m 3)l 2K 17= 3(2m 1+m 2+4m 3)2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1　K 27= 3m 1 -(8m 1+6m 2+24m 3)l 2 式中参量定义及其取值: x,小车位移;θ1,摆杆1与竖直向上方向的夹角;θ2,摆杆2与 竖直向上方向的夹角;M ,小车质量,1Kg;m 1,摆杆1质量,0.05Kg ;m 2,摆杆2质量,0.1Kg m 3;,质量块质量,0.2Kg ;l 1,摆杆1转 动中心到质心的距离,0.1m;l 2,摆杆2转动中心到质心的距离, 0.25m;g ,重力加速度,9.8m /s 2 。 2　倒立摆系统的定性分析 系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性理论。

基于MATLAB矩阵实验室的倒立摆控制系统仿真

基于MATLAB矩阵实验室的倒立摆控制 系统仿真

基于MATLAB的倒立摆控制系统仿真 摘要 自动控制原理（包括经典部分和现代部分）是电气信息工程学院学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都能够经过倒立摆直观地表现出来。本文以一级倒立摆为被控对象，用经典控制理论设计控制器（PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，经过MATLAB仿真软件的方法来实现。 关键词：一级倒立摆 PID控制器极点配置

Inverted pendulum controlling system simulation based on the MATLAB ABSTRACT Automatic control theory (including classical parts and modern parts) is a compulsory specialized fundamental course of the students majored in electrical engineering. Some of the curriculum concept is relatively abstract, such as the stability, controllability, convergence rate and the anti-interference ability of system. Inverted pendulum system is a typical nonlinear, strong coupling, multivariable and unstable system. It is an ideal teaching experimental equipment as a controlled object, by which many abstract control concepts can be came out directly. This paper chose first-order inverted pendulum as the controlled object. First, the PID controller was designed with classical control theory. Then pole-assignment method was discussed with modern control theory. At last, the effectness of the two methods was verified by MATLAB simulation software.

Matlab的一倒立摆模型的仿真

深圳大学考试答题纸 (以论文、报告等形式考核专用)二○○九～二○○一零 学年度第2学期 课程编号 课程名称 计算机控制系统 主讲教师 李东 评分 学 号 姓名 专业年级 2007级光电工程学院测控技术与仪 器 教师评语： 题目： 一级倒立摆模型的仿真 一、倒立摆模型的研究意义 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。 二、倒立摆模型的数学建模 质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型

分析过程如下： 如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。 现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析： （1）对小车有：F-F’sinθ=Mx’’（a） （2）对小球有： 水平方向上运动为x+lsinθ 故水平方向受力为 F’sinθ= m（x+lsinθ）’’ =m（x’+lcosθθ’)’ = mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2（b） 由（a）、（b）两式得F= (M+m)x’’ +mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 <1> 小球垂直方向上位移为 lcosθ 故受力为F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’ =-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2 即 F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-ml cosθ(θ’)^2（c） 由（b）、（c）两式得 cosθx’’=gsinθ- lθ’’<2>