高考数学真题汇编专题排列组合二项式定理理

【2012年高考试题】

1.【2012高考真题重庆理4】8

21???? ?

?+x x 的展开式中常数项为

A.

1635 B.835 C.4

35

D.105

2.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A.60种

B.63种

C.65种

D.66种

3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实

践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

()A 12种()B 10种()C 9种()D 8种

【答案】A

【解析】先安排老师有222=A 种方法，在安排学生有62

4=C ，所以共有12种安排方案，选A.

4.【2012高考真题四川理1】7(1)x +的展开式中2

x 的系数是（ ） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D

【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==，所以2

x 的系数为21，选D.

5.【2012高考真题四川理11】方程22

ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A 、60条 B 、62条 C 、71条 D 、80条

6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种

7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为

（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484 【答案】C

【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有64

1

41414=??C C C 种，若2色相同，则有1441

4241223=C C C C ；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有192

14142314=???C C C C 种，如同色则有72

2

42314=C C C ，所以共有

4727219214464=+++，故选C 。

8.【2012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同

的坐法种数为

(A)3×3！ (B) 3×(3！)3

(C)(3！)4

(D) 9！

9.【2012高考真题湖北理5】设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =

A ．0

B ．1

C ．11

D ．12

【答案】D 【解析】由于

51=52-1，152...5252)

152(1201120122011120122012020122012

+-+-=-C C C ,

又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.

10.【2012高考真题北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24

B. 18

C. 12

D. 6

11.【2012高考真题安徽理7】2

521

(2)(

1)x x

+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3-()B 2-()C 2()D 3[

【答案】D

【解析】第一个因式取2

x ，第二个因式取

2

1x

得：14

51(1)5C ?-=， 第一个因式取2，第二个因式取5

(1)-得：5

2(1)2?-=- 展开式的常数项是

5(2)3+-=．

12.【2012高考真题安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）

()A 1或3()B 1或4()C 2或3()D 2或4

13.【2012高考真题天津理5】在5

2

)12(x

x -的二项展开式中，x 的系数为

（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40

14.【2012高考真题全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种 【答案】A

【解析】第一步先排第一列有63

3=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，

如图

，所以共有1226=?种，选A.

15【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化

课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.

16.【2012高考真题浙江理

14】若将函数

()5f x x =表示为

()()()()2

5

0125111f x a a x a x a x =+++++++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝

______________．

17.【2012高考真题陕西理12】5()a x +展开式中2

x 的系数为10，则实数a 的值为. 【答案】1．

【解析】根据公式r r n r n r b a C T -+=1得，含有3

x 的项为22

325310x x a C T ==，所以1=a .

18.【2012高考真题上海理5】在6)2

(x

x -的二项展开式中，常数项等于。 【答案】160-

【解析】二项展开式的通项为k k k k k k k x C x

x C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(33

6

4-=-=C T 。

19.【2012高考真题广东理10】6

2)1(x

x +

的展开式中x 3的系数为______．

（用数字作答）

20.【2012高考真题湖南理13】(2x -x

)6

的二项展开式中的常数项为.（用数字作答） 【答案】-160 【解析】(2x -

x

)6的展开式项公式是663166C (2)()C 2(1)r r r r r

r r r T x x x ---+=-=-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为333

46C 2(1)160T =-=-.

21.【2012高考真题福建理11】（a+x ）4的展开式中x 3

的系数等于8，则实数a=_________. 【答案】2．

【解析】根据公式r r n r n r b a C T -+=1得，含有3x 的项为3

3

3

448x ax C T ==，所以2=a .

22.【2012高考真题全国卷理15】若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，

则该展开式中

的系数为_________.

【2011年高考试题】 一、选择题:

1.(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

3．(2011年高考天津卷理科5)在6

x x ?-?的二项展开式中，2

x 的系数为（ ） A ．154-

B ．154

C ．38-

D ．3

8

【答案】C

【解析】因为1r T +=66

6(

()2r

r x C x

-??,所以容易得C 正确. 4.(2011年高考陕西卷理科4)6

(42)()x

x x R --∈的展开式中的常数项是 （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20

解析：基本事件：2

6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==?=从选取个，.其中

面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故

51153

m n ==. 7．(2011年高考福建卷理科6)（1+2x ）3

的展开式中，x 2

的系数等于

A ．80

B ．40

C ．20

D ．10

【答案】B 二、填空题:

1. (2011年高考山东卷理科14)若62

(a x x

-

展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .

4. (2011年高考广东卷理科10)72()x x x

-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答). 【答案】84

5. (2011年高考湖北卷理科11)18(3x x

的展开式中含15x 的项的系数为（结果用数值表示）

答案：17

解析：由318182118

181()()33r r

r

r

r r r T C x

C x x

--+=??=-??令3

18152r -=，解得r=2，故其系数为

22

181()17.3

C -?= 6. (2011年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

n=1 n=2 n=3 n=4

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个

黑色正方形相邻的着色方案共有种.（结果用数值表示）

7.(2011年高考全国卷理科13)x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9

的系数之差为.

【答案】0

【解析】2

120

20

(1)(1)r r r r

r r r T c x c x +=-=-，令

12,91822

r r

r r ====得得 所以x 的系数为2222020(1)c c -=，9182

2020x c c =18的系数为(-1)

故x 的系数与9x 的系数之差为220c -2

20c =0

8．(2011年高考北京卷理科12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样

的四位数共有__________个。（用数字作答）

【答案】14 三、解答题:

1．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）

设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈>

（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3

a b -是整数的点P 的个数，求n B

【2010年高考试题】

（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种

（2010江西理数）6.(

)

8

2x -

展开式中不含．．4

x 项的系数的和为（ ）

A.-1

B.0

C.1

D.2 【答案】B

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难

则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4

x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为

0.

（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种

（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8

2

89A A （B ）8

2

89A C （C ） 8

2

87A A （D ）8

2

87A C 答案：A

（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144

（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种

（2010天津理数）（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为

-7，则判断框内可填写 (A)i ＜3? （B ）i ＜4?

（C ）i ＜5? （D ）i ＜6? 【答案】 D

【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。 第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i<6?”,选D.

【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。

（2010全国卷1理数）(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

（2010全国卷1理数）(5)35

3(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B.126 C.90 D.54

（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.

解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题

（2010全国卷2理数）（14）若9()a x x

-的展开式中3

x 的系数是84-，则a =． 【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

【解析】展开式中3

x 的系数是3339()8484,1C a a a -=-=-∴=.

（2010辽宁理数）（13）2

6

1(1)()x x x x

++-的展开式中的常数项为_________. 【答案】-5

【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法

【解析】2

1()x x

-的展开式的通项为6216(1)r r r r T C x -+=-，当r=3时，34620T C =-=-，当r=4时，4

5615T C =-=，因此常数项为-20+15=-5

（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。

（2010四川理数）（13）6

3(2)x

-

的展开式中的第四项是. 解析：T 4＝33

363

1602()C x x

-

=- 答案：－160

x

（2010天津理数）（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。

【答案】24，23

【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。

甲加工零件个数的平均数为

191820221222331235

2410

++?++++?+=

乙加工零件个数的平均数为191711212224230232

2310

+++++?+?+=

【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口。

（2010湖北理数）11、在（x+43y ）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。

【2009年高考试题】

5.（2009·广东理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

6.（2009·浙江理）在二项式2

51()x x

-的展开式中，含4

x 的项的系数是( )A ．10- B ．10C ．5- D ．5答案：B

解析：对于()251031551()

()1r

r r

r r r r T C x C x x

--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是22

5(1)10C -=

7.（2009·辽宁理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种

解析：直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41

＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C 93

＝84种,其中都是男医生有C 53

＝10种,都是女医生有C 41

＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 答案：A

3.（2009·宁夏海南理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。

解析：33

74140C C =，答案：140

4.（2009·天津理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答） 考点定位：本小题考查排列实际问题，基础题。

5.（2009浙江理）观察下列等式：

1535522C C +=-，

159

7399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-， 1591317

157171717171722C C C C C ++++=+，

………

由以上等式推测到一个一般的结论： 对于*

n N ∈，1

5

9

41

41414141n n n n n C C C C ++++++++

+=．

6.（2009·浙江理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．

答案：336

解析：对于7个台阶上每一个只站一人，则有3

7A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1

2

37C A 种，因此共有不同的站法种数是336种． 【2008年高考试题】 2、（2008·山东理）（X -3

1

x

）12

展开式中的常数项为

（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)220

3、（2008·海南、宁夏理）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种

B ．30种

C ．40种

D ．60种

4．（2008·山东理7）在某地的奥运火炬手传递活动中，有编号为1,2,3,...,18的18名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为

A ．

151B ．168C ．1306 D ．1

408

答案： B 。

分析：属于古典概型．．．．

问题，基本事件总数为3

1817163C =??。 选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，

11a =时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法；

12a =时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法； 13a =时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。

4441

.1716368

P ++=

=??

2、（2008·广东理）已知26

(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8

x 的系数小于120，

则k =．

【2007年高考试题】

1．（2007·广东理第7题、文第10题）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、

C 、

D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只

能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为（ C ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15

1．（2007·宁夏理第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有240种．（用数字作答）

解析：根据题意必有两个班去了同一个工厂，故应有24

54240N C A ==