文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细

原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细

1.原子的基本状况

1.1解:根据卢瑟福散射公式:

2

02

22

442K Mv ctg

b b Ze Ze

αθ

πεπε== 得到:

21921501522

12619

079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)

Ze ctg ctg b K ο

θαπεπ---??===??????米 式中2

12K Mv

α=是α粒子的功能。 1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为

2202

1

21

()(1)4sin m

Ze r Mv θπε=+ ,

试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大? 解:将1.1题中各量代入m r 的表达式,得:2min

202

1

21

()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929

619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75

ο

--???=???+???14

3.0210-=?米 1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最

解:当入射粒子与靶核对心碰撞时,散射角为180ο。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时,两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得:

22

0min

124p Ze Mv K r πε==,故有:2min 04p Ze r K πε=

192

9

13619

79(1.6010)910 1.141010 1.6010

---??=??=???米 由上式看出:min r 与入射粒子的质量无关,所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时,其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-?米。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-?的银箔上,α粒

解:设靶厚度为't 。非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ,而是ο60sin /'t t =,如图1-1所示。

因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体

角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为:

dn

Ntd n

σ= (1) 而σd 为:2

sin )()41

(4

2

2

22

πεσΩ=d Mv

ze

d (2)

把(2)式代入(1)式,得:

2

sin

)()41(422220θπεΩ

=d Mv ze Nt n dn ……(3) 式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds d

N 为原子密度。'Nt 为单位面上的原子数,10')/(/-==N A m Nt Ag Ag ηη,其中η是单位面积式上的质量;Ag m 是银原子的质量;Ag A 是银原子的原子量;0N 是阿佛加德罗常数。

将各量代入(3)式,得:

2

sin )

()41(324

2222

0θπεηΩ=d Mv ze A N n dn Ag

由此,得:Z=47

第二章 原子的能级和辐射

2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解:电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件,

π

φ2h

n

mvr p == 60o

t ,

t

20o

60°

图1.1

可得:频率 21

211222ma h ma nh a v πππν===赫兹151058.6?= 速度:6

1

110188.2/2?===ma h a v νπ米/秒 加速度:2

22122/10046.9//秒米?===a v r v w

2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子,问受激发的氢原子向低能基跃迁时,会出现那些波长的光谱线?

解:把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是:

)111(

22n

hcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特 2.10)21

1(6.1321=-?=E 电子伏特

1.12)31

1(6.1322=-?=E 电子伏特

8.12)41

1(6.1323=-?=E 电子伏特

其中21E E 和小于12.5电子伏特,3E 大于12.5电子伏特。可见,具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去,所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为:

ο

ο

ο

λλλλλλA

R R A

R R A

R R H H H H H H 102598

)3

111(

1

121543)2

111(1

656536/5)3121(

1

32

23

222212

21

==-===-===-=

91

,41111

1==+

++H

Li H H e λλλλ 2.5 试问二次电离的锂离子+

+i L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子,是否有可

能使处于基态的一次电离的氦粒子+e H 的电子电离掉?

解:++i L 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为:

+e H 的电离能量为:

Li

He He Li He Li He

He He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)1

1

1(42++?

===∞-=++++

由于Li H e Li H e M m M m M M /1/1,+>+<所以

, 从而有+++>He Li hv hv ,所以能将+e H 的电子电离掉。

2.9 Li 原子序数Z=3,其光谱的主线系可用下式表示:

解:与氢光谱类似,碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量,所以+Li 离子电离成+

+Li 离子时,有电子伏特35.5)

5951.01()5951.01(2

21=+≈∞-+=

∞hc R Rhc

Rhc E ++Li 是类氢离子,可用氢原子的能量公式,因此+++++→Li Li 时,电离能3E 为:

电子伏特4.1221

22

23=≈=∞hc R Z Rhc Z E R

。 设+++→Li Li 的电离能为2E 。而+++→Li Li 需要的总能量是E=203.44电子伏特,所以有

电子伏特7.75312=--=E E E E

2.10 具有磁矩的原子,在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同? 答:设原子的磁矩为μ,磁场沿Z 方向,则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z μ,于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为Z B F Z ??=μ,其中Z

B

??是磁场沿Z 方向的梯度。对均匀磁场,

0=??Z

B

,原子在磁场中不受力,原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动,且对磁场的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场,0≠??Z

B

原子在磁场中除做上述运动外,还

受到力的作用,原子射束的路径要发生偏转。

2.11 史特恩-盖拉赫实验中,处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场,磁场的梯度为

310=??Z

B

解:银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线;在

2L 区域粒子不受力作惯性运动。

经磁场区域1L 后向外射出时粒子的速度为'

v ,出射方向与入射方向间的夹角为θ。θ与速度间的关系为:v

v tg ⊥

=

θ 粒子经过磁场1L 出射时偏离入射方向的距离S 为:

Z v

L Z B m S μ2

1)(21??=

……(1) 将上式中用已知量表示出来变可以求出Z μ

2212

2

121

12'2'/,,v L L Z B m d S d S v L L Z B m tg L S v

L Z B m v v L t Z B m m f a at v Z

Z

Z

??-=-=??==??=∴=??==

=⊥⊥μμθμμ

把S 代入(1)式中,得:

2

2

1

22122v

L Z B m v L L Z B m d Z Z ??=??-μμ 整理,得:

2

)2(2212

1

d

L L v L Z B m Z =

+??μ 由此得:特焦耳/1093.023-?=Z μ

第三章 量子力学初步

3.1 波长为ο

A 1的X 光光子的动量和能量各为多少? 解:根据德布罗意关系式,得:

动量为:12410

34

1063.610

1063.6----???=?==秒米千克λh

p 能量为:λ/hc hv E ==

焦耳151083410986.110/1031063.6---?=???=。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质

子束的德布罗意波长是多少?

解:德布罗意波长与加速电压之间有如下关系:

meV h 2/=λ 对于电子:库仑公斤,19311060.11011.9--?=?=e m

把上述二量及h 的值代入波长的表示式,可得:

οο

ολA A A V 1225.010000

25.1225.12===

对于质子,库仑公斤,19271060.11067.1--?=?=e m ,代入波长的表示式,得:

ο

λA 3

19

27

34

10862.210000

1060.110

67.1210626.6----?=??????=

3.3 电子被加速后的速度很大,必须考虑相对论修正。因而原来ο

λA V

25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为:

ο

λA V V

)10489.01(25.126

-?-=

其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。

证明:德布罗意波长:p h /=λ

对高速粒子在考虑相对论效应时,其动能K 与其动量p 之间有如下关系:222022c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为:eV K =

2

2002

2

2

/)(22)(c eV eV m p eV m c

eV p +=+=∴

因此有:

2

002112/c m eV eV

m h p h +

?=

一般情况下,等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。所以,可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项,得:

)10489.01(2)41(26

02

00V eV

m h c m eV eV

m h -?-=-

=

λ 由于上式中ο

A V

eV m h 25.122/0≈,其中V 以伏特为单位,代回原式得: ο

λA V V

)10489.01(25.126

-?-=

由此可见,随着加速电压逐渐升高,电子的速度增大,由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

第四章 碱金属原子

4.1 已知Li 原子光谱主线系最长波长ο

λA 6707=,辅线系系限波长ο

λA 3519=∞。求锂原子第一激发电势和电离电势。

解:主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为1V ,电离电势为∞V ,则有:

伏特。伏特375.5)11(850.111=+=

∴+===

∴=∞

∞∞

∞λλλλ

λλ

e hc V c

h

c h eV e hc

V c

h eV

4.2 Na 原子的基态3S 。已知其共振线波长为5893ο

A ,漫线系第一条的波长为8193ο

A ,基线系第一条的波长为18459ο

A ,主线系的系限波长为2413ο

A 。试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值。

解:将上述波长依次记为

ο

ο

ο

ο

λλλλλλλλA

A A A p f d p p f d p 2413,18459,8193,5893,

,,,max max max max max max ====∞∞即

容易看出:

1

6max

3416max

331

6max

316310685.01

10227.11

10447.21

1

10144.41

~---∞-∞

∞?=-

=?=-=?=-

=

?===米米米米f D F d p D p P P P S T T T T T v T λλλλλ

4.3 K 原子共振线波长7665ο

A ,主线系的系限波长为2858ο

A 。已知K 原子的基态4S 。试求4S 、4P 谱项的量子数修正项p s ??,值各为多少?

解:由题意知:P

P s p p v T A A λλλο

ο

/1~,2858,76654max ====∞∞ 由2

4)

4(s R

T S ?-=

,得:S k T R s 4/4=?- 设R R K ≈,则有max

41

1,229.2P P P T s λλ-

=

=?∞

与上类似 764.1/44=-≈?∞P T R p

4.4 Li 原子的基态项2S 。当把Li 原子激发到3P 态后,问当3P 激发态向低能级跃迁时可能产生哪些谱线(不考虑精细结构)?

答:由于原子实的极化和轨道贯穿的影响,使碱金属原子中n 相同而l 不同的能级有很大差别,即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n 有关,而且与角量子数l 有关,可以记为),(l n E E =。理论计算和实验结果都表明l 越小,能量越低于相应的氢原子的能量。当从3P 激发态向低能级跃迁时,考虑到选择定则:1±=?l ,可能产生四条光谱,分别由以下能级跃迁产生:

。S P S P P S S P 23;22;23;33→→→→

第五章 多电子原子

5.1 e H 原子的两个电子处在2p3d 电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之。已知电子间是LS 耦合。

解:因为2

1

,2,12121====s s l l ,

1

,2,3;1,0,,1,;

2121212121==∴-?-++=-+=L S l l l l l l L s s s s S ,或 所以可以有如下12个组态:

4

,3,23313,2,13

212,1,0311,1,3,0,3,1,2,0,2,1,1,0,1F S L F S L D S L D S L P S L P S L ============

5.2 已知e H 原子的两个电子被分别激发到2p 和3d 轨道,器所构成的原子态为D 3,问这两电子的轨道角动量21l l p p 与之间的夹角,自旋角动量21s s p p 与之间的夹角分别为多少?

解:(1)已知原子态为D 3,电子组态为2p3d

2,1,1,221====∴l l S L

因此,

'

212

22

12

212

22

12

222111461063

212/)(cos cos 26)1(6)1(22)1(οθθθπ

=-

=--=∴++==+==+==+=L l l l l L L L

l l l l L L l l p p p p P p p p p P L L P l l p h

l l p

(2)

121213

(1)22(1)2S s s p p s s h h

P S S h h

==∴==+==+=

'

212

22

12

212

221232703

12/)(cos cos 2οθθθ==

--=∴++=S s s s s S s s

s s s s S p p p p P p p p p P 5.3 锌原子(Z=30)的最外层电子有两个,基态时的组态是4s4s 。当其中有一个被激发,考虑两种情况:(1)那电子被激发到5s 态;(2)它被激发到4p 态。试求出LS 耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从(1)和(2)情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁?

解:(1)组态为4s5s 时 2

1

,02121====s s l l ,

1

301,1;1,001

,0,0S J S S L J S S L 三重态时单重态时,=======∴ 根据洪特定则可画出相应的能级图,有选择定则能够判断出能级间可以发生的5种跃迁:

11123131313031311014445;45;45,45S P P S P S P S P S →→→→→ 所以有5条光谱线。

(2)外层两个电子组态为4s4p 时:

2

1

,1,02121=

===s s l l , 1

3

12,1,01,0,1

01,;1

;2,1,0,L S S J L P S J P ∴=======时,单重态时三重态

根据洪特定则可以画出能级图,根据选择定则可以看出,只能产生一种跃迁,011144S P →,因此只有一条光谱线。

5.4 试以两个价电子3221==l l 和为例说明,不论是LS 耦合还是jj 耦合都给出同样数目的可能状态.

证明:(1)LS 耦合

L

J S L S ====;0,1,2,3,4,5;10时,

5个 L 值分别得出5个J 值,即5个单重态.

;1,,1;1-+==L L L J S 时

代入一个L 值便有一个三重态.5个L 值共有5乘3等于15个原子态:

6,5,435,4,334,3,233,2,132,1,03

;;;;H G F D P

因此,LS 耦合时共有20个可能的状态.

(2)jj 耦合:

2

1212121,...,25

27;2325;j j j j j j J j j s l j s l j -++===-=+=或

或或

将每个21j j 、合成J 得:

1

,2,3,42

5

230,1,2,3,4,525

252

,3,4,527

231,2,3,4,5,627

252

12

12

121============

J j j J j j J j j J j j ,合成和,合成和,合成和,合成和

共20个状态:1,2,3,40,1,2,3,4,52,3,4,51,2,3,4,5,6)2

5,23(;)2

5,25(;)2

7,23(,)2

7,25(

所以,对于相同的组态无论是LS 耦合还是jj 耦合,都会给出同样数目的可能状态.

第六章 磁场中的原子

6.1 已知钒原子的基态是2/34F 。(1)问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束?(2)求基态钒原子的有效磁矩。

解:(1)原子在不均匀的磁场中将受到力的作用,力的大小与原子磁矩(因而于角动量)在磁场方向的分量成正比。钒原子基态2/34F 之角动量量子数2/3=J ,角动量在磁场方向的分量的个数为412

3212=+?=+J ,因此,基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。

(2)J J P m

e

g

2=μ

h h J J P J 2

15)1(=

+= 按LS 耦合:5

2

156)1(2)1()1()1(1==++++-++

=J J S S L L J J g

B B J h m e μμμ7746.05

15

215252≈=???=

∴ 6.3 Li 漫线系的一条谱线)23(2/122/32P D →在弱磁场中将分裂成多少条谱线?试作出相应的能级跃迁图。

解:在弱磁场中,不考虑核磁矩。

2/323D 能级:,2

3

,21,2===j S l

5

4

)1(2)1()1()1(12

3

,21,21,232=

++++-++=-

-=j j s s l l j j g M

2

/122P 能级:,2

1,21,2===j S l 3

2,21,211=-=g M

L v

)30

26,3022,302,302,3022,3026(~---=? 所以:在弱磁场中由2/122/3223P D →跃迁产生的光谱线分裂成六条,谱线之间间隔不等。

2

D 3/2

2

P 1/2

无磁场

有磁场

-3/2 -1/2 M 3/2 106/3 1/2

1/2

-1/2

σ σ π πσ σ

6.5氦原子光谱中波长为)2131(1.667811

21

P p s D d s A →ο及)2131(1.70650311P p s S s s A →ο

的两条谱

线,在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条?分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应?哪个不是?为什么?

解:(1)1,0,1,2,2,0,22221=±±====g M J S L D 谱项:。

1,0,1,1,0,11111

=±====g M J S L P 谱项:

L v

)1,0,1(~+-=?。可以发生九种跃迁,但只有三个波长,所以ο

λA 1.6678=的光谱线分裂成三条光谱线,且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L ,是正常塞曼效应。

(2)对2,0,1,1,1,02213=±====g M J S L S 能级:

00

,0,0,1,1111103======g M g M J S L P ,能级:对

L v )2,0,2(~+-=?,所以ο

λA 1.7065=的光谱线分裂成三条,裂开的两谱线与原谱线的波

数差均为2L ,所以不是正常塞曼效应。

6.7 S P Na 33→原子从跃迁的精细结构为两条,波长分别为5895.93埃和5889.96

埃。试求出原能级2/32P 在磁场中分裂后的最低能级与2/12

P 分裂后的最高能级相并合时所

需要的磁感应强度B。

解:对;3

4,2

1,2

3,2

3,2

1,12/32=±±====g M j s l P 能级:

;32,21,21,21,12/12

=±===

=g M j s l P 能级:磁场引起的附加能量为:B m

he

Mg E π4=? 设,,,2/122/122/32S P P 对应的能量分别为012,,E E E ,跃迁,,2/12

2

/122/122/32S P S P →→产生的谱线波长分别为12,λλ;那么,ο

ολλA A 93.5895,96.588912==。P 2

能级在磁场中发生分裂,,,2/122/32P P 的附

加磁能分别记为12,E E ??;现在寻求1122E E E E ?+=?+时的B 。

B m

eh

g M g M E E E E π4)

(22112112-=?-?=- 由此得:mc

eB

g M g M hc E E E E π4)()()(22112112-=?-?--

即:

mc

eB

g M g M πλλ4)

(1

1

22111

2

-=-

因此,有:)1

1(141

22211λλπ--=

g M g M e mc B

其中2,3

12211-==g M g M ,将它们及各量代入上式得:

B=15.8特斯拉。