2014北京高考理科数学总复习 专题13《统计与概率、随机变量及其分布》

专题十三 概率与统计、随机变量及其分布

北京市2011各区

1、甲、乙两名运动员的5

设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 （A ）12x x =，12s s < （B ）12x x =， 12s s > （C ）12x x >， 12s s >

（D ）12x x =， 12s s =

2、从4名男同学和3名女同学中，任选3名同学参加体能测试，则选出的3名同学中，既有男同学又有女同学的概率为

（A ）

35

12 （B ）

35

18

（C ）76 （D ）87

3、在一盒子里装有i 号球i 个（1i =，2，3），现从盒子中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码之积为6的概率是

（A ）12 （B ）15 （C ）13 （D ）16

4、某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为 （A ）27 （B ）36 （C ）54 （D ）81

5、某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ．

6、某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的

汽车有 辆.

7、从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知

m = ，所抽取的学生中体重在50~45kg 的人数

是 ．

40 50 60 70 80 90 体重(kg)

频率

8．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到。那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.

9、右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

（A ）

5

2 （B ）

10

7 （C ）

5

4 （D ）

10

9 10、某次测试成绩满分为150分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤）

，k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则

（A ）12150

b b b M n

+++=

（B ）12150

150

b b b M +++=

（C ）12150

b b b M n

+++>

（D ）12150

150

b b b M +++>

11、从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为 kg ；若要从身高在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项

活动，再从这12人选两人当正负队长，则

这两人身高不在同一组内的概率

为 ．

12、某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4

13

则这种卉的平均花期为_ __天．

14、为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，

则它们的大小关系为 .

（用“>”连接）

x

y

O

A

C y x

2y x =

(1,1)

B

15、已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ 。

16、把某校高三．5班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图（如下左图），由此判断甲的平均分 乙的平均分。（填：>，= 或<）

17、某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出16人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是 （A ）8人，8人 （B ）15人，1人 （C ）9人，7人 （D ）12人，4人 18、记集合2

2

{(,)4}A x y x y =+≤和集合{(,)|20,0,0}B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为 （A ）

21

π

（B ）

1π

（C ）

4

1 （D ）

π-2

4π

19、从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为

（A ）29 （B ）13 （C ）49 （D ）59

20、从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为

甲 乙 7 8 9 10 11

37 248 4 0

9

50 941 2

乙

丙

甲

8 4 4 6 4 7m 9 3

5 4 5 5 10 7 9

乙

甲（A ）

12

（B ）

13

（C ）

14

（D ）

16

北京市2012各区

1、某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，

[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到

右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学

生人数是_____．

2、某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参

由此预测参加面试所画的分数线是 ．

3、在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、

乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平

均数中较大的一组是 组．

4、如图，圆2

2

2

:O x y π+=内的正弦曲线sin

y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 ．

5、某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：

从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为??4055.25y

bx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数（%）为______．

6、将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为

2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为 （A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40

7、在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ?的面积大于等于1

4

的概率是_________．

8、右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么

（注：标准差s =

x 为12,,,n x x x 的平均数） （A ）12x x >，12s s > （B ）12x x >，12s s < （C ）12x x <，12s s <

（D ）12x x <，12s s >

9、盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是 （A ）

18125

（B ）

36125

（C ）

44125

（D ）

81125

10、已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ?∈，()0f x ≥的概率是 （A ）

1

3

（B ）

12

（C ）

23

（D ）

34

11、某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是 （A ）42 （B ）41 （C ）40 （D ）39

北京市2013各区

1、在等边△ABC 的边BC 上任取一点P 则2

3ABP ABC S S ≤△△的概率是 （A ）

13

（B ）

12

（C ）23 （D ）56

2、用数字0，1，2，3组成的可以重复的四位数中，其中有且只有一个数字出现过两次的四

位数的个数是 （A ）144 （B ）120 （C ）108 （D ）72

3、某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 （A ）140种 （B ）120种 （C ）35种 （D ）34种

4、从装有2个红球和两个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 （A ）

13

（B ）

12

（C ）

23

（D ）

56

5、某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采

用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 。

6、将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是

（A ）

221

（B ）

463 （C ）121 （D ）263

7、平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则M 在△ABE 内部的概率为 。

8、若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有

（A ）60种 （B ）63种 （C ）65种 （D ）66种

9、某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。

10、将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点

数为n ，则向量(,)p m n = 与向量(3,6)q =

共线的概率为（A ）

13

（B ）

14

（C ）

16

（D ）

112

11、一个盒子里有3个分别标有1，2，3的小球，每次取出一个，记下标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 （A ）12种 （B ）15种 （C ）17种 （D ）19种

12、从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A 、B 、C 、D 、四项不同的工作，每人承担一项。若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的分配方案有 （A ）60种 （B ）72种 （C ）84种 （D ）96种

13、某厂对一批元件进行抽样检测，经统计，

这批元件的长度数据（单位：mm ）全部介于93至105之间，将长度数据以2为组距分成以下6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，

[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如

图所示的频率分布直方图，若长度在

[97,103)内的元件为合格品，估计这批产品

的合格率为 。

14、某游戏规则如下，随机往半径为1内的圆投掷飞镖，若飞镖到圆心的距离大于1

2

，则成绩为及格；若飞镖到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞镖到圆心的距离大于1

4

且

小于1

2，则成绩为良好，那么在所投掷到圆内的飞镖中得到成绩为良好的概率为

（A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116

15、如图是甲、乙两同学进入高中以来5此体育测试的茎叶图，则甲5此测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差等于 。

16、从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为 。

17、有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不再两头，则这样的排法共有 种。

18、在下列命题中，所有正确的序号是 ①“2

π

α=

”是“sin 1α=”的充要条件；

②34

1()2x x

+的展开式中的常数项为2；

③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1(10)2

P p ξ-<<=- （A ）② （B ）③

（C ）②③

（D ）①③

19、在区间(0,)2

π

上随机取一个数x ，则事件“tan cos x x ?≥

”发生的概率是 （A ）

34 （B ）

23

（C ）

12 （D ）

13

20、在区间[0,]π上随机取一个数x ，则事件“1

tan cos 2

x x ?≥”发生的概率是 （A ）13

（B ）

12

（C ）

23

（D ）34

O

21、某校在2013年自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a = ；若要从成绩在[85,90)，

[90,95)，[95,100]三组内的学生中，用分层抽样的

方法选取12人参加面试，则成绩在[95,100]内的学

生中，学生甲被选中的概率为 。

22、用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72 23、已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下(0,1)，(1,2)，(2,4)，

(3,5)，其回归方程是? 1.4y

x a =+，则a 的值为 。 24、如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω的面积的估计值为

（A ）ma n

（B ）na m

（C ）2

ma n

（D ）2

na m

25、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数的个数为 （A ）32 （B ）36 （C ）42 （D ）48

26、甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计图如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是 。

第26题图 第27题图 第29题图

27、如图是某班50为学生期中考试数学成绩的频率分步直方图，则图中x 的值为 （A ）0.754 （B ）0.048 （C ）0.018 （D ）0.012

28、5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有 种。

29、有图是甲、乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，记甲，乙两组数据的平均数依次是1x 和2x ，则1x 2x （填入“>”，“<”或“=”）

频率

x

30、设a ，b 取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆2

2

1x y +=有公共点的概率是 。

31、将一个质点随机投放到关于x ，y 的不等式组341911x y x y +≤??

≥??≥?

所构成的三角形区域内，

则该质点到此三角形的三个定点的距离均小于1的概率是 （A ）

12

π （B ）

6

π （C ）112

π

-

（D ）16

π

-

32、某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的排法有 （A ）10种 （B ）12种 （C ）18种 （D ）36种

解答题 1、汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表: A 型车

B 型车

（Ⅰ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；

（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

2、某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望.

3、

生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．

频率分布表

频率分布直方图 ▓▓

4、在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；

（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值EX。

5、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率; （Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;

（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，

6、盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字-1、0、1、2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；

（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；

，，试求随机变量X=ξη?的分布列与数（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη

学期望EX．

7、国家对空气质量的分级规定如下表：

根据以上信息，解决下列问题：

（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；

（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）

中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.

8、福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.

（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.

9、某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望。

专题十三 统计与概率、随机变量及其分布 答案

北京市2011各区

1、B

2、C

3、C

4、B

5、85，3.2

6、180

7、0.1，50

8、

25

π

9、C 10、A 11、3

2 12、C 13、16 14、s 1>s 2>s

3 15、1

2

16、＜ 17、C 18、A 19、A 20、B

北京市2012各区

1、54 解析：成绩在[16,18]的学生的人数比为

20

9

3673136=

+++++，所以成绩在[16,18]的学生的人数为5420

9

120=?

。 2、80 3、84，乙 4、

3

4

π

解析：阴影部分的面积为4)cos (2sin 2

00

=-=?

ππ

x xdx ，圆的面积为3

π，所以

点A 落在区域M 内的概率是3

4

π。

5、31.25

6、B

7、1

2

8、C 9、B 10、C 11、C

北京市2013各区

1、C

2、C

3、D

4、C

5、20

6、B

7、

1

2

8、A 9、30 10、D 11、D 12、B 13、80% 14、A 15、84；2 16、

1

4

17、144 18、C 19、C 20、C 21、0.040；2

5

22、B 23、0.9 24、C 25、A 26、乙 27、C 28、130 29、> 30、5

9

31、C 32、C

解答题答案 1、解：

（Ⅰ）这辆汽车是A 型车的概率约为

3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数

出租天数为天的型车辆数总和300.6

3020=+

这辆汽车是A 型车的概率为0.6

（Ⅱ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，

“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”， 其中,1,2,3,...,7i j =

则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 1322311322

3()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B +

+=++ 132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++

52010203014

100100100100100100

9125

=

?+?+?=

该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125

设Y 为B 型车出租的天数，则

Y 的分布列为

()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02

=3.62

E X =?+?+?+?+?+?+?

()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =?+?+?+?+?+?+?

=3.48

一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 .

2、解：

（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．

（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有

2615C =种情况．

设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则22422

67

()15

C C P A C +==. 所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是7

15

． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，ξ的可能取值为0,1,2，则

242662(0)155C P C ξ====，1142268(1)15C C P C ξ===，2

22

61

(2)15

C P C ξ===． 所以，ξ的分布列为

所以，2812012515153

E ξ=?+?+?=．

3、解：

（Ⅰ）元件A 为正品的概率约为

403284

1005++=．

元件B 为正品的概率约为402963

1004

++=．

（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-．

433(90)545P X ==?

=； 133

(45)5420P X ==?=

； 411(30)545P X ==?=； 111

(15)5420

P X =-=?=

．

3311904530(15)66

520

520

EX =?+?+?+-?=． （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件.

依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 19

6

n ≥．

所以 4n =，或5n =．

设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，

则 44

5531381()C ()()444128P A =?+=

．

4、解：

（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A ， 则P （A ）=2114222116441

10

C C C C C C ??=，

答：甲和乙都不获奖的概率为

1

10

. （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，400，600，1000，

P(X=0)=3

8

, P(X=400)= 2526311448C C ??=, P(X=600)= 2526131448C C ??=,

P(X=1000)=1

2552266113

448

C C C C +??=

∴X 的分布列为

∴E(X)=0×8+400×8+600×8+1000×8

=500(元).

答: 甲获奖的金额的均值为500(元).

5、解：

（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A ,243

()105

P A +=

=. （Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B ,

11

242

68

()15

C C P B C ?==. （Ⅲ）ξ的可能值为0,1,2,3，

363101(0)6C P C ξ===；21643

101

(1)2

C C P C ξ?===；

12643103(2)10C C P C ξ?===；343

101

(3)30

C P C ξ=== 其分布列为：

11316

01+2+3=6210305

E ξ=?+???

6、解：

（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则21()42

P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

12

． （Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．

由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是

12

． 所以0041

344

1

11111()1[()()()]222216

P B C C =-?+?=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

11

16

． （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为-1、0、1、2，所以随机变量X 的可能取值为-2、-1、0、1、2、4。 21(2)448P X=-=

=?； 21(1)448P X=-==?；77(0)4416P X===?； 21(=1)448P X ==?；21(=2)448P X ==?； 11

(=4)4416

P X ==?．

所以随机变量X

所以()2101881688164

E X =-?-?+?+?+?+?=24． 7、解：

（Ⅰ）10

1

,51,3,6====y x b a 。

（Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P =

3

2

52154=+， 4

4

11(0),381

P X C ??==?= ??? ,81831

32)1(3

1

4=??? ?????? ???==C X P

,2783132)2(2224=??? ?????? ???==C X P ,81323132)3(3

3

4=???? ???==C X P

4

44

216

(4)381

P X C ??==?= ???。

∵X ~B (4，3), ∴3

34=?=EX .

8、解：

（Ⅰ）设至少一张中奖为事件A 则

2

()10.50.75P A =-=

（Ⅱ）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145--

ξ的分布列为

所以ξ的期望为

550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=?+?--+-?+-? 2.590%145p =--

所以当 1.61450p ->时，即

8725p <

所以当8

0725p <<

时，福彩中心可以获取资金资助福利事业

9、解：

（Ⅰ）设该年级共n 人，由题意得

5030

180120

n =

+，所以500n =． 则500(180120702030)80a =-++++=．

（Ⅱ）依题意，X 所有取值为0,1,2．

2

2251

(0)10C P X C ===，1123253(1)5C C P X C

===，23253(2)10

C P X C ===．

X

1336 EX=?+?+?=．012

105105