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初中三角形有关知识点总结及习题大全 带答案

初中三角形有关知识点总结及习题大全 带答案
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一、三角形内角和定理

一、选择题

1.(2010·河北中考)如图,在△ABC 中,D 是BC 延长线上一点,

∠B = 40°,∠ACD = 120°,则∠A 等于( ) A .60° B .70°

C .80°

D .90° 【解析】选C.

2.(2010·凉山中考)将一副三角板按图中的方式叠放,则角α等于( )

A .75o

B .60o

C .45o

D .30o

【解析】选A,如图,由题意知, 2

∠1=45°,∠2=30°,所以α=∠1+∠2=75°

3.(2009·济宁中考)如图,ABC △中,7060A B ∠=∠=,°°,点D 在BC 的延长线上,则ACD ∠等于(

A .100°

B .120°

C .130°

D .150°

【解析】选C. ACD ∠=∠A+∠B=70°+60°=130°.

4.(2009·江西中考)如图,直线m n ∥,?∠1=55,?∠2=45,则∠3的度数为( )

A .80?

B .90?

C .100?

D .110?

【解析】选C. 如图,由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠,

由m n ∥,得010043=∠=∠ α

A

B C D

40° 120°

5.(2009·新疆中考)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130250∠=∠=°,°,

则3∠的度数等于( )

A .50°

B .30°

C .20°

D .15°

【解析】选C 在原图上标注角4,所以∠4=∠2,因为∠2=50°,所以∠4=50°,又因为∠1=30°,

所以∠3=20°;

6.(2009·朝阳中考)如图,已知AB ∥CD,若∠A=20°,∠E=35°,则∠C 等于( ).

A.20°

B. 35°

C. 45°

D.55°

【解析】选D 因为∠A=20°,∠E=35°,所以∠EFB =55o,又因为AB ∥CD,所以∠C =∠EFB =55o;

7.(2009·呼和浩特中考)已知△ABC 的一个外角为50°,则△ABC 一定是( )

A .锐角三角形

B .钝角三角形

C .直角三角形

D .钝角三角形或锐角三角形

【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°,所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°,所以此三角形为钝角三角形.

8.(2008·聊城中考)如图,11002145∠=∠=o o

,,那么3∠=( ) 6

A .55°

B .65°

C .75°

D .85°

答案:选B

二、填空题

9.(2009·常德中考)如图,已知//AE BD ,∠1=130o ,∠2=30o ,则∠C = .

【解析】由//AE BD 得∠AEC=∠2=30o ,∴∠C =180°-∠1-∠AEC=180°-130o -30o =20o

答案:20o

10.(2009·邵阳中考)如图,AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点,EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ,若∠PEF=300

,则∠PFC=__________。

【解析】由EP 平分∠AEF, ∠PEF=300得∠AEF=600,由A B//CD 得∠EFC=1200,由FP ⊥EP 得∠P=900,

∴∠PFE=1800-900-300=600,∴∠PFC=1200-600=600

.

答案:60°

11.(2008·长沙中考)△ABC 中,∠A=55?,∠B=25?,则∠C= .

答案:100°

12.(2008·赤峰中考)如图,是一块三角形木板的残余部分,量得100A ∠=o ,40B ∠=o ,这块三角形木板另外一个角是 度.

答案:40

13.(2008·内江中考)在如图所示的四边形中,若去掉一个50o

的角得到一个五边形,则12+=∠∠ 度.

答案:230

三、解答题

14.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合,过E 点作EF ⊥AE

交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。

【解析】提示:由∠H=∠FCE,AH=CE,∠HAE=∠FEC可证△HAE≌△CEF,从而得到AE=EF.

15.(2009·淄博中考)如图,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A=37o,求∠D的度数.

【解析】∵AB∥CD,∠A=37o,∴∠ECD=∠A=37o.

∵DE⊥AE,∴∠D=180 o–90o–∠ECD=180 o–90o–37o=53o.

16.(2009·嘉兴中考)在四边形ABCD中,∠D=60°,∠B比∠A大20°,∠C是∠A的2倍,求∠A,∠B,∠C的大小.

【解析】设x

C2

=

B,x

+

∠(度),则20

A=

=

∠x

.根据四边形内角和定理得,360

+

+

+x

x

x.

+

(=

60

2

20

)

解得,70

x.

=

∴?

∠90

=

∠140

C

B,?

=

∠70

=

A,?

二、特殊三角形

A.直角三角形,且∠A=90°B.直角三角形,且∠B=90°

C.直角三角形,且∠C=90°D.锐角三角形

A.20 B.16 C.20或16 D.以上都不对

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是

分析:本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.

解答:解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;

当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,

故顶角是90°﹣20°=70°.

综上,三角形的顶角度数为110°或70°.

4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D,若∠B=70°,则∠ADC=125 度.

考点:三角形内角和定理;角平分线的定义。

5.如图,△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=13,AC=5,则△ACD的周长为

考点:线段垂直平分线的性质。

分析:根据线段垂直平分线定理,△ACD的周长=AC+BC.

解答:解:在Rt△ABC中,AB=13,AC=5

由勾股定理得BC=12.

∵DE垂直且平分AB

∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).

∴BD+CD=AD+CD=12.

∴AC+CD+AD=17.

即△ACD的周长为17

6.如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,DE∥AB,交AC于点E,判断△ADE是不是等腰三角形,并说明理由.

考点:等腰三角形的判定;平行线的性质。

分析:利用等腰三角形的三线合一的性质:底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合.得到∠BAD=∠CAD,两直线平行,内错角相等,则∠BAD=∠ADE,即∠CAD=∠ADE,即可证得△ADE是等腰三角形.

解答:解:△ADE是等腰三角形.

理由如下:

∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,

∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一),

∵DE∥AB,

∴∠BAD=∠ADE (两直线平行,内错角相等),

∴∠CAD=∠ADE ,

∴AE=DE (等角对等比),

∴△ADE 是等腰三角形.

点评: 本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质;进行角的等量代换是正确解答本题的关键.

7.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,∠ABC 的平分线交AC 于D ,过C 作BD 垂线交BD 的延长线于E ,交BA 的延长线于F ,求证:BD=2CE .

考点: 等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。

分析: 根据已知条件,易证△BFE ≌△BCE ,所以BF=BC ,所以∠F=∠BCE ,根据等腰三角形三线合一这一性质,CE=

ACF ,证得BD=CF ,从而证得BD=2CE .

解答: 证明:∵∠ABC 的平分线交AC 于D ,

∴∠FBE=∠CBE ,

∵BE ⊥CF ,

∴∠BEF=∠BEC=90°,

在△BFE 和△BCE 中

∴△BFE ≌△BCE (ASA ),

∴CE=EF ,

∴CF=2CE ,

∵∠BAC=90°,且AB=AC ,

∴∠FAC=∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,

∴∠FBE=∠CBE=22.5°,

∴∠F=∠ADB=67.5°,

又AB=AC ,

在△ABD 和△ACF 中,

∴△ABD ≌△ACF (AAS ),

∴BD=CF ,

∴BD=2CE .

三:三角形全等的判定及其应用

一、选择题

1.(2009·江西中考)如图,已知AB AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC △≌△的

是( )

D A

C E

A .C

B CD = B .BA

C DAC =∠∠

C .BCA DCA =∠∠

D .90B D ==?∠∠

【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确,根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确

. 2.(2009·江苏中考)如图,给出下列四组条件:

①AB DE BC EF AC DF ===,,;

②AB DE B E BC EF =∠=∠=,,;

③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠,,;

④AB DE AC DF B E ==∠=∠,,.

其中,能使ABC DEF △≌△的条件共有( )

A .1组

B .2组

C .3组

D .4组

【解析】选C. ①②③均可.

3.(2009·太原中考)如图,ACB A CB ''△≌△,BCB ∠'=30°,则ACA '∠的度数为( )

A.20°

B.30°

C.35°

D.40°

【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠,

∴ACA '∠.30ο='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA

4.(2010·温州中考)如图,AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线,过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长

线于E ,则图中与△ABC 全等的三角形共有( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

【解析】选D.在矩形ABCD 中,△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等,由题意不难得出

四边形ACED为平行四边形,得出△DCE也和△ABC 全等.

5.(2009·黄冈中考)在△ABC 和C B A '''?中,∠C =C '∠,且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角

形( )

A.不一定全等

B.不全等

C.全等,根据“ASA”

D. 全等,根据“SAS”

【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=,b b '=,又∠C =C '∠,根据“SAS”,可得这两个三角形全等.

6.(2010·凉山中考)如图所示,90E F ∠=∠=o

,B C ∠=∠,AE AF =,结论:①EM FN =;

②CD DN =;③FAN EAM ∠=∠;④ACN ABM △≌△.其中正确的有( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

【解析】选C

∵90E F ∠=∠=o

,B C ∠=∠,AE AF =,∴△ABE ≌△ACF,

∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠

∴△EAM ≌△FAN,∴EM FN =.易证△ACN ≌△ABM.

7.(2007·诸暨中考)如图,已知△ABC 的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的

图形是( )

A .甲乙

B .甲丙

C .乙丙

D .乙

答案:选C.

二、填空题

8.(2009·清远中考)如图,若111ABC A B C △≌△,且11040A B ∠=∠=°,°,则1C ∠=

【解析】ο

οοοο3040110180180=--=∠-∠-=∠B A C ,由111ABC A B C △≌△得1C ∠=ο30=∠C

答案:ο30 A

E

F B C D

M

N

9、(2009·怀化中考)如图,已知AD AB =,DAC BAE ∠=∠,要使 ABC △≌ADE △

,可补充的条件是

(写出一个即可).

【解析】如AE=AC 或∠B =∠D .

答案:AE=AC (答案不唯一);

10、(2009·龙岩中考)如图,点B 、E 、F 、C 在同一直线上. 已知∠A =∠D ,∠B =∠C ,要使

△ABF ≌△DCE ,需要补充的一个条件是 (写出一个即可).

答案:AB = DC (填AF=DE 或BF=CE 或BE =CF 也对)

11.(2010·兰州中考)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD = 2,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ,连接AE 、CE ,△ADE 的面积为3,则BC 的长为 .

【解析】过点E 作EF ⊥AF 交AD 的延长线于点F ,过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ,因此四边形ABMD 是矩形,则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM ,从而△EDF ≌△MCD,CM=EF,因为△ADE 的面积为3,AD = 2,所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.

答案:5

12.(2008·黑河中考)如图,BAC ABD ∠=∠,请你添加一个条件: ,使OC OD =(只添一个即可).

A C E

B D

答案:C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠

三、解答题

13.(2009·宜宾中考)已知:如图,在四边形ABCD 中,AB=CB,AD=CD.

求证:∠C=∠A.

【证明】 因为AB=CB,AD=CD ,

又因为BD=BD ,

所以△ABD ≌△CBD ,

所以∠C=∠A.

14.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合,过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点,试探究线段AE 与EF 的数量关系,并说明理由。

【解析】提示:由∠H =∠FCE ,AH =CE ,∠HAE =∠CEF 可证△HAE ≌△CEF ,从而得到AE =EF.

15.(2009·武汉中考)如图,已知点E C ,在线段BF 上,BE CF AB DE ACB F =∠=∠,∥,.

求证:ABC DEF △≌△.

【证明】AB DE B DEF ∴∠=∠Q ∥,.

BE CF BC EF =∴=Q ,.

ACB F ABC DEF ∠=∠∴Q ,△≌△

16.(2009·洛江中考)如图,点C 、E 、B 、F 在同一直线上,

AC ∥DF ,AC =DF ,BC =EF ,

求证:AB=DE.

【证明】∵AC ∥DF ,∴F C ∠=∠

在中和DFE ACB ??

??

???=∠=∠=EF BC F C DF AC ?和DFE ACB ?≌中和DFE ACB ??,∴AB=DE.

17.(2010·潼南中考)如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一点,连结AG ,点E 、 F 分别在AG 上,连接BE 、DF ,∠1=∠2 , ∠3=∠4.

(1) 证明:△ABE ≌△DAF ;

(2)若∠AGB=30°,求EF 的长.

【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB=AD ,

在△ABE 和△DAF 中,

??

???∠=∠=∠=∠3412DA AB ,

∴△ABE ≌△DAF.

(2)∵四边形ABCD 是正方形,

∴∠1+∠4=90o

∵∠3=∠4,

∴∠1+∠3=90o

∴∠AFD=90o

在正方形ABCD 中, AD ∥BC,

∴∠1=∠AGB=30o

在Rt △ADF 中,∠AFD=90o AD=2 , A

B D E F 14

2

3

∴AF=3

, DF =1,

由(1)得△ABE ≌△ADF,

∴AE=DF=1,

∴EF=AF-AE=13-.

18、(2009·福州中考)如图,已知AC 平分∠BAD ,∠1=∠2,求证:AB=AD.

【证明】∵AC 平分∠BAD

∴∠BAC=∠DAC.

∵∠1=∠2

∴∠ABC=∠ADC.

在△ABC和△ADC中

,,BAC DAC ABC ADC AC AC ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ABC≌△ADC(AAS).

∴AB=AD.

19.(2009·吉林中考)如图, ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点,,平分交于点,请你写出图中三对..全等三角形,并选取其中一对加以证明.

【解析】(1)ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、

ABE ACD △≌△(写出其中的三对即可).

(2)以△ADB ≌ADC 为例证明.

证明:,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=Q °.

在Rt ADB △和Rt ADC △中,

,,AB AC AD AD ==Q

∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.

二、已知,如图,AB 、CD 相交于点O ,△ACO ≌△BDO ,CE ∥DF 。求证:CE=DF 。

三、已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。求证:BE =CD 。

7、已知,如图,四边形ABCD 是正方形,△ECF 是等腰直角三角形,其中CE=CF ,G 是CD 与EF 的交点,求证:△BCF ≌△DCE

8、 如图,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个为结论,

推出一个正确的命题。

① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF

9、 如图,EG ∥AF ,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF

F E O D C B A A E D C B

G F E

D C A B B F E

D C A

B G

10、如图,四边形ABCD 中,AB=AD ,AC 平分∠BCD ,AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,图中有没有和△ABE 全等的三角形?

请说明理由。

10、如图,正方形ABCD 的边长为1,G 为CD 边上一动点(点G 与C 、D 不重合), 以CG 为一边向正方形ABCD

外作正方形GCEF ,连接DE 交BG 的延长线于H 。

求证:① △BCG ≌△DCE

② BH ⊥DE

11、如图,△ABC 中,AB=AC ,过A 作GE ∥BC ,角平分线BD 、CF 交于点H ,它们的延长线分别交GE 于E 、G ,试在图中找出三对全等三角形,并对其中一对给出证明。

12、如图所示,己知AB ∥DE ,AB=DE ,AF=DC ,请问图中有哪几对全等三角形,并选其中一对给出证明。

13、如图,AB=AD ,BC=CD ,AC 、BD 交于E ,由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论(不

要添加字母和辅助线)。

F E D C A B ┐ F E D C

A B G H E A G F E D C A B

E

D

C A

四、多边形及其内角和

一、选择题:(每小题3分,共24分)

1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.不能作为正多边形的内角的度数的是( )

A.120°

B.(12847

)° C.144° D.145° 3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )

A.2:1

B.1:1

C.5:2

D.5:4

4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )

A.都是钝角;

B.都是锐角

C.是一个锐角、一个钝角

D.是一个锐角、一个直角

6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )

A.十三边形

B.十二边形

C.十一边形

D.十边形

7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( )

A.六边形

B.七边形

C.八边形

D.九边形

8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )

A.90°

B.105°

C.130°

D.120°

二、填空题:(每小题3分,共15分)

1.多边形的内角中,最多有________个直角.

2.从n 边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.

3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为________.

4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.

5.每个内角都为144°的多边形为_________边形.

三、基础训练:(每小题12分,共24分)

1.如图所示,用火柴杆摆出一系列

三角形图案,按这种方式摆下去,

当摆到20层(n=20)时,需要多少

根火柴?

2.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.

四、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n 是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n 表示)及n 的值.

五、从n 边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n 边形共有多少条对角线.

n=3n=2

n=1

六、(2002·湖南)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( )

A.9

B.8

C.7

D.6

答案:

一、1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C

二、1.4 2.(n-3) (n-2) 3.9 4.11 5.十

三、1.630根 2.15

四、边数为2()

m n

n

+

,n=1或2.

五、(n-3)

(3)

2

n n-

条六、B.

解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b <

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 (3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定 (3~5分) 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 (3~8分) 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ,即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA ,即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ,即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA ,即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

第十一章三角形知识点归纳

第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形

D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是

最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若2 2 2 a b c +<,则90C >. 11、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1 (2)倒数关系:tanα·cotα=1 (3)商的关系:α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程

三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,

(完整版)数学四年级下三角形知识点总结

三角形 由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,这条对边叫做三角形的底。 三角形具有稳定性 三角形内角和是180° 组成三角形的两个条件: 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形分类 按角来分 锐角(0°

锐角三角形的三条高(三条虚线) 直角三角形的三条高(一条虚线加两条直角边) 钝角三角形的三条高(三条虚线) 按边分 底 直角边 C B A 直角边C B A C B A 底 边 等边三角形(三条边都相等,每个角都是60°) 等腰三角形(两条边相等,两个底角相等)

※已知三角形两条边各长a、b(a>=b),求第三边长度c的范围 方法:a-b5 能(等边三角形/正三角形) 例:已知三条线段分别是10cm、10cm、20cm,它们能不能组成三角形? 10+10=20 不能 ※多边形内角和问题

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

中考 三角形知识点复习归纳总结

D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形

21D C B A D C B A (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外; ③三角形三条高所在直线交于一点. ⒋ 在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意: (1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部. (2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.

中考-三角形知识点复习归纳总结

D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形

21D C B A D C B A 2.BD=DC=12 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12 ∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. (3)三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.

初三数学三角形知识点整理

2019年初三数学三角形知识点整理 【编者按】为了丰富同学们的学习生活,查字典数学网初中频道搜集整理了2019年初三数学三角形知识点整理,供大家参考,希望对大家有所帮助! 2019年初三数学三角形知识点整理 ☆内容提要☆ 三角形 分类:⑴按边分; ⑵按角分 1.定义(包括内、外角) 2.三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三角形中, 3.三角形的主要线段 讨论:①定义②线的交点三角形的心③性质 ①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线 ⑴一般三角形⑵特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质 5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS) ⑵特殊三角形全等的判定:①一般方法②专用方法 6.三角形的面积 ⑴一般计算公式⑵性质:等底等高的三角形面积相等。 7.重要辅助线 ⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8.证明方法 ⑴直接证法:综合法、分析法 ⑵间接证法反证法:①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系:加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系:延结法、截余法 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。⑹证面积关系:将面积表示出来 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让

有关三角形知识点总结

有关三角形知识点总结

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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。(判断三条线段能否组成三角形的依据) 2、已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 3、给出等腰三角形的两边长度,要求等腰三角形的底边和腰的长(提示:一定要记得分类讨论) 方法:因为不知道这两边哪条边是底边,哪条边是腰,所以要分类讨论,讨论完后要写“综上”,将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.(90°角和互余关系) 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点。

2 、三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点,这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角平分线是条线段;角的平分线是条射线。 4、方法利用:求三角形中未知的高或者底边的长度,可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达,求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°,与三角形的形状无关。

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离是 0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =, () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= (2)商数关系: sin tan cos α αα= (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成α π±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(

初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案

. A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A等于()A.60°B.70°C.80°D.90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放,则角等于()A.75B.60C.45D.30 3.如图,直线m∥n,∠1=55,∠2=45,则∠3的度数为() A.80B.90C.100D.110 【解析】选C.如图,由三角形的外角性质得 000 4125545100, 由m∥n,得34 0 100 5.(2009·新疆中考)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130°,250°, 则3的度数等于() A.50°B.30°C.20°D.15° 【解析】选C在原图上标注角4,所以∠4=∠2,因为∠2=50°,所以∠4=50°,又因为∠1=30°, 所以∠3=20°; 6.(2009·朝阳中考)如图,已知AB∥CD,若∠A=20°,∠E=35°,则∠C等于(). A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°,∠E=35°,所以∠EFB=55o,又因为AB∥CD,所以∠C=∠EFB=55o; 7.(2009·呼和浩特中考)已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是() A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.钝角三角形或锐角三角形 .

. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°,所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°,所以此三角形为钝角三角形. 4.(2008·聊城中考)如图,1100,2145,那么3() 6 A.55°B.65°C.75°D.85° 答案:选B 二、填空题 oo 5.(2009·常德中考)如图,已知AE//BD,∠1=130,∠2=30,则∠C=. 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o,∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o,∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案: 20 6.(2009·邵阳中考)如图,AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点,EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P,若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ,由AB//CD得∠EFC=120 0 ,由FP⊥EP得 ∠P=90 , ∴∠PFE=180 0-900-300=600,∴∠PFC=1200-600=600. 答案:60° 7.(2008·长沙中考)△ABC中,∠A=55,∠B=25,则∠C=. 答案:100° 8.(2008·赤峰中考)如图,是一块三角形木板的残余部分,量得A100,B40,这块三角形木板另外一个角是度.

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析: 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点. 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 (比例的有关性质): 二、有关知识点: 1.相似三角形定义: 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: 6.直角三角形相似: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质:c d a b = 更比性质:d b c a a c b d ==或 合比性质:d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a (比例基本定理)

相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A

全等三角形知识点总结

全等三角形 一、知识框架: 二、知识概念: 1.基本定义: ⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (注意对应的顶点写在对应的位置上) ⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时,其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质: (1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示: 全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理:

⑴边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边(AAS):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. (只适用于两个直角三角形) 4、学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;(3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线: ⑴画法:(课本48页,必须要掌握) ⑵性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等. (在做题时,只要满足条件就可以直接运用定理) ⑶性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法: ⑴明确命题中的已知和求(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系) ⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =,()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(

初中数学-三角形知识点归纳

初中数学湘教版八年级数学上册三角形知识点集 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. (1)三角形的表示方法:三角形ABC 用符号表示为△ABC , 三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可 用a 表示, △AB C的角可表示为∠B或者∠ABC,∠C或者∠ACB,∠A或者∠BAC, 到底用一个大写字母还是三个大写字母表示角,要看题目用一个大写字母表示角会不会产生混淆 (2)三角形一共有三个顶点,三条边,三个角,这就是三角形的三元素; (3)三角形的对边与对角:一个角对着一条边,一条边对着一个角 如图∠BAC的对边是边BC,边AB的对边是∠C或者∠ACB ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段 (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点,这一点叫做重心; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点,这一点叫做内心 三角形的角平分线的表示法: 如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示: ① AD 是?ABC 的角平分线 ② AD 平分∠BAC ,交BC 于D ; ③ ③ 如果AD 是?ABC 的角平分线,那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC . 三角形的中线表示法: 如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示: ①AE 是?ABC 的中线; ②AE 是?ABC 中BC 边上的中线; ③如果AE 是?ABC 的中线,那么BE=EC = 21BC . 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 (等边三角形三条边都相等,也叫做正三角形) 直角三角形有一个角是90度,直角三角形的两个锐角互余。 A B C D E 图1

解三角形知识点归纳总结归纳

欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b <

三角形知识点总结

第四章图形的初步认识 考点一、线段垂直平分线,角的平分线,垂线 1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 2、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理: (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。 考点二、平行线 1、平行线的概念 在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。 4、平行线的性质 (1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补。考点三、投影与视图 1、投影 投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。 平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。 中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。 俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。 左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。 第二章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 3、三角形的稳定性

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