2017年全国高考文科数学试题及答案-全国卷1

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则

A ．A

B =3|2x x ??

C ．A B 3|2x x ?

?=

D ．A B=R

2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是

A ．i(1+i)2

B ．i 2(1-i)

C ．(1+i)2

D ．i(1+i) 4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π 4

5．已知F 是双曲线C ：x 2-23

y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为

A ．13

B ．1 2

C ．2 3

D ．3 2

6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是

7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??

-≥??≥?

则z =x +y 的最大值为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．.函数sin21cos x

y x

=

-的部分图像大致为

9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则

A ．()f x 在（0,2）单调递增

B ．()f x 在（0,2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称 10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框

中，可以分别填入 A ．A >1000和n =n +1 B ．A >1000和n =n

+2

C ．A ≤1000和n =n +1

D ．A ≤1000和n =n +2

11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，

则C =

A ．

π12

B ．

π6 C ．π4 D ．π3 12．设A 、B 是椭圆C ：2213x y

m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°

，则m 的取值范围是

A ．(0,1][9,)+∞

B ．[9,)+∞

C ．(0,1][4,)+∞

D ．[4,)+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________. 14．曲线2

1

y x x

=+

在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 15．已知π(0)2

a ∈，,tan α=2，则π

cos ()4α-=__________。

16．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，

SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 三、解答题：

（一）必考题：60分。 17．（12分）

记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

18．（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为

8

3

，求该四棱锥的侧面积.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并

经计算得16119.9716i i x x ===∑，

0.212s ==≈，18.439

≈，16

1

()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，

其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． （1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系

统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的

零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑0.09≈．

20．（12分）

设A ，B 为曲线C ：y =2

4

x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.

（1）求直线AB 的斜率；

（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.

21．（12分）

已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2

x ． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l a .

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2

+ax +4，g （x ）=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：

1. A

2. B

3. C

4. D

5. A

6. A

7. D

8. C

9. C 10. D 11. B 12. A 二、填空题： 13. 7

14. 1y x =+

15.

10

16. 36π

三、解答题：

17. 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设可得

12

2(1)2,

(1) 6.

a q a q q +=??++=-? 解得12,2q a =-=- 故{}n a 的通项公式为(2)n

n a =-

（2）由（1）可得1

1(1)22(1)133

n n n n a q S q +-=

=-+-- 由于321

2142222(1)2[(1)]23333

n n n n n n n n S S S +++++-+=-+-=-+-= 故12,,n n n S S S ++成等差数列 18.解：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=，得,AB AP CD PD ⊥⊥ 由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E

由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD

设AB x =

，则由已知可得,2AD PE x ==

故四棱锥P ABCD -的体积3

1133

P ABCD V AB AD PE x -=??=

由题设得318

33

x =，故2x =

从而2,PA PD AD BC PB PC ======可得四棱锥P ABCD -的侧面积为

21111

sin 6062222

PA PD PA AB PD DC BC +++=+19.解：（

1）由样本数据得(,)(1,2, (16)

i x i i =的相关系数为

16

()(8.5)

0.18i

x x i r --=

=

≈-∑

由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。 （2）

（i ）由于9.97,0.212x s =≈

，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查。

（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为

1

(169.979.92)10.0215

?-= 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02

16

2

221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑，

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈

0.09≈ 20.解：

（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则22

12121212,,,444

x x x x y y x x ≠==+=，

于是直线AB 的斜率

12121214

y y x x k x x -+===- （2）由2

4

x y =，得2x y '=

设33(,)M x y ，由题设知312

x

=，解得32x =，于是(2,1)M

设直线AB 的方程为y x m =+代入24

x

y =得2440x x m --=

当16(1)0m ?=+>，即1m >-时，1,22x =±

从而12|||AB x x =-=

由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m = 所以直线AB 的方程为y x =+ 21.解：

（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()x x x x

f x e ae a e a e a '-∞+∞=--=+-

①若0a =，则2()x

f x e =，在(,)-∞+∞单调递增

②若0a >，则由()0f x '=得ln x a = 当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>；

故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增 ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2

a x =- 当(,ln())2

a x ∈-∞-时，()0f x '<； 当(ln(),)2

a x ∈-+∞时，()0f x '>；

故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2

a -+∞单调递增

（2）①若0a =，则2()x

f x e =，所以()0f x ≥

②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，

最小值为2

(ln )ln f a a a =-，

从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥

③若0a <，则由（1）得，当ln()2

a x =-时，()f x 取得最小值，

最小值为23(ln())[ln()]242

a a f a -=--， 从而当且仅当23[ln()]042

a a --≥，即342a e ≥-时，()0f x ≥

综上，a 的取值范围是3

4[2,1]e -

22.解：

（1）曲线C 的普通方程为2

219

x y +=

当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=

由22

430,1

9x y x y +-=???+=??解得3,0x y =??=?或21,

25

2425x y ?

=-????=??

从而C 与l 的交点坐标为2124(3,0),(,)2525

-

（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

d =当4a ≥-时，d

=8a =； 当4a <-时，d

=16a =-； 综上8a =或16a =-

23.解：

（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于

2|1||1|40x x x x -+++--≤ ①

当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；

当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；

当1x >时，①式化为240x x +-≤

，从而112

x -+<≤ 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2

x x -+-≤≤ （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =

所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥ 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥， 得11a -≤≤

所以a 的取值范围为[1,1]-