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小学奥数(植树问题)

植树问题

课前回顾

一、用简便方法求积:

①17×100 ②1112×5 ③23×9 ④23×99 ⑤12345×11 ⑥56789×11 ⑦36×15 二、速算下列各题:

①123×25×4 ②456×2×125×25×5×4×8 ③478-128+122-72 ④464-545+99+345

⑤ 996+599-402 ⑥7443+2485+567+245

要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题,首先要牢记三要素:

①总路线长.

②间距(棵距)长.

③棵数.

只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。

关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。

1.不封闭路线

例:如图

小学奥数(植树问题)

①若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵。

全长、棵数、株距三者之间的关系是:

棵数=间隔数+1

全长=株距×(棵数-1)

株距=全长÷(棵数-1)

②如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为:

全长=株距×棵数;

棵数=全长÷株距;

株距=全长÷棵数。

③如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵。

小学奥数(植树问题)

棵数=段数-1=全长÷株距-1.

如右图所示.段数为5段,植树棵数为4棵。

株距=全长÷(棵数+1)。

2.封闭的植树路线

小学奥数(植树问题)

例如:在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。

棵数=段数=周长÷株距.

例1有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆,可栽多少根电线杆?

分析要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆,所以电线杆的根数比分成的段数多1。

解:以10米为一段,公路全长可以分成

900÷10=90(段)

共需电线杆根数:90+1=91(根)

答:可栽电线杆91根。

例2马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米?

分析张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了;只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.

解:5分钟汽车共走了:

9×(501-1)=4500(米),

汽车每分钟走:4500÷5=900(米),

汽车每小时走:

900×60=54000(米)=54(千米)

列综合式:

9×(501-1)÷5×60÷1000=54(千米)

答:汽车每小时行54千米。

例3、一个圆形池塘,它的周长是150米,每隔3米栽种一棵树.问:共需树苗多少株?

分析根据四周人数和每边人数的关系可以知:

每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解:方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人)

整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)

答:方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。

例4 有一正方形操场,每边都栽种17棵树,四个角各种1棵,共种树多少棵?

分析方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。

解:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=52(个)

第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个)

第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个).

摆这个方阵共用棋子:

52+44+36=132(个)

还可以这样想:

中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4进行计算。

解:(14-3)×3×4=132(个)

答:摆这个方阵共需132个围棋子。

例5 在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时,乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问:甲每分钟走多少米?

分析①在圆形花坛上栽花,是封闭路线问题,其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则每6米之中共有3棵花,且月季花棵数是芍药的2倍。

解:共可栽芍药花:180÷6=30(棵)

共种月季花:2×30=60(棵)

两种花共:30+60=90(棵)

两棵花之间距离:180÷90=2(米)

相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花,所以月季花的株距是2米或

答:种芍药花30棵,月季花60棵,两棵月季花之间距离为2米或4米。

例6一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?

小学奥数(植树问题)

分析①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵数为

9×2-1=17(棵)。

②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花

(17-1)×3=48(棵)。

③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7(棵)

解:大三角形三条边上共栽花:

(9×2-1-1)×3=48(棵)

中间画斜线小三角形三条边上栽花:

(9-2)×3=21(棵)

整个花坛共栽花:48+21=69(棵)

答:大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。

课堂过手训练

1.从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路,在小路的两侧,从头到尾每隔15米栽1棵树,需要多少棵数?

2.有12名小学生站成一排,要求在每两名小学生中间放2盆花,需要摆放几盆?

3、城中小学在一条大路两边从头至尾栽树56棵,每隔6米栽一棵。这条大路长多少米?

4、一个鱼塘的周长是1500米,沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树,需要种多少棵杨树?

5、在圆形的水池边,每隔3米种一棵树,共种树60棵,这个水池的周长是多少米?