数列(教师卷)1

数列综合测试

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )

A ．是公比为2的等比数列

B ．是公差为2的等差数列

C ．是公比为1

2的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列

解析 由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…

由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D

2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12

D ．－6

解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D

3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )

A ．a n －1

B ．na

C ．a n

D ．(n －1)a

解析 由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B

4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )

A ．63

B ．64

C ．127

D ．128

解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－27

1－2＝128－1＝127.

答案 C

5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )

A ．－8

B ．8

C ．－98

D.98

解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝8

3， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×8

3＝－8. 答案 A

6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析 依题意，得－10＝－12＋8

2(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B

7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )

A ．4 B.1

4 C ．－4

D ．－14

解析

由a 4＝15，S 5＝55，得???

a 1＋3d ＝15，

5a 1＋5×4

2d ＝55.

解得?

????

a 1＝3，d ＝4.

∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.

答案 A

8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．190

解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝10

2×19＝95.

答案 B

9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )

A ．S 7

B ．S 4

C ．S 13

D ．S 16

解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1

＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．

∴S 13＝a 1＋a 13

2×13＝13a 7为常数． 答案 C

10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5

＋a 6＝62，则通项是( )

A ．2n －1

B ．2n

C ．2n ＋1

D ．2n ＋2

解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)

1－2＝31.

∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A

11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )

A ．4或5

B ．5或6

C ．6或7

D ．不存在

解析 由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大． 答案 B

12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根

C ．无实数根

D ．无法确定

解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.

解析 设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.

答案 ±2 3

14．若数列{a n }满足a n ＋1＝?????

2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，

且a 1＝6

7，则a 2013

＝________.

解析 由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝3

7，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.

答案 5

7

15．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.

解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17

＋S 33＋S 50＝1.

答案 1

16．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4

a 4

＝________.

解析 S 4a 4

＝a 1????

?

?1－? ????124?

????1－12a 1? ???

?123＝15. 答案 15

三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.

(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．

解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 2

1，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，

∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1， 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 即a n ＝2n －1.

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.

记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得

－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .

18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .

(1)证明{b n }为等差数列；

(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q ， 则a 1＝81，a n ＋1

a n

＝q ，由a n >0，可知q >0，

∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1

a n ＝log 3q (为常数)，

∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，

∴????? b 11≥0，b 12<0，即?????

b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.

???

d ≥－b 110＝－25，

d <－b 1

11＝－411.

∴－25≤d <－411.

19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ；

(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n

<3

4.

解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n

＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有

????? b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得?????

d ＝2，q ＝8，

或?????

d ＝－65，

q ＝403，

(舍去)．

故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)证明：由(1)知S n ＝

3＋2n ＋1

2

×n ＝n (n ＋2)， 1S n ＝1n (n ＋2)＝12? ???

?1

n －1n ＋2，

∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)

＝12? ?

???1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12? ?

???1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)

∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1

＋1S 2

＋…＋1S n

<34.

20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .

解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，

∴a n ＝a 1q n －1＝2n .

(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.

设{b n }的公差为d ，则有????? b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得?????

b 1＝－16，

d ＝12.

从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项

和S n ＝n (－16＋12n －28)2

＝6n 2

－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.

(1)求a n ，b n ；

(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .

解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .

∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.

故T n ＝(4n －5)2n ＋5.

22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．

(1)求证：数列{a n

2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n . 解 (1)∵a n －2a n －1－2

n －1

＝0，∴a n 2n －a n －12

n －1＝1

2，

∴{a n 2n }是以12为首项，1

2为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1

2， ∴a n ＝n ·2n －1，

∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得

－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1

－n ·2n

＝1·(1－2n

)1－2

－n ·2n ＝2n －1－

n ·2n ，

∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.