第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差
一、填空题
1. 同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为 2 ；
2.已知随机变量X 的分布律为:
则15)(2-+==X X X g Y 的期望=)(Y E 37.7 ；
3.已知随机变量()~,X B n p ,() 2.4,() 1.44E X D X ==,则二项分布的参数为 n = 6 , p = 0.4 ；
4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知(1)(2)2E X X --=，则λ= 2 ；
5. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望2()X E X e -+= 4/3 ；
6. 若X 、Y 是两个相互独立随机变量，且,5)(,2)(==Y E X E 则=-)53(Y X E –19 .若,5)(,2)(==Y D X D 则=-)53(Y X D 143 ；
7.已知连续型随机变量X 的概率为1
22
1)(-+-π
=x x e
X f ,则X 的数学期望为
1 ,X 的方差为 0.5 ；
8. 设随机变量X 的概率分布为{}!
C P X k k ==
，0,1,2,k = ，则2EX = 2 。
二、选择题
1. 设X 表示5次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.7，则2X 的数学期望()2
E X
= （A ）
（A ）13.3； （B ）18.4； （C ）4.55； （D ）1.05.
2. 设随机变量123,,X X X 相互独立，其中[]10,6X 服从上的均匀分布，
2
23~(0,2),~(3)X N X P ，记12323Y X X X =-+，则D Y =（A ）
（A ）46； （B ）14； （C ）4 ； （D ）100. 3. 已知随机变量X 的数学期望为μ，对任意的c μ≠，正确的是（C ） （A ）2()DX E X c >-； （B ）2()DX E X c ≥-； （C ）2()DX E X c <- ； （D ）2()DX E X c =-.
4. 设随机变量X 的分布函数()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ
???
，
其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（C ）
（A ）0; (B)0.3 ; (C)0.7; (D)1. 5. 设{}()
()1 1,2,21P X n n n n ==
=+ ，则()E X
=（D ）
（A ）0 ; （B ）1 ; （C ）0.5 ; （D ）不存在.
二、计算下列各题
1. 设球直径的测量值在[]b a ,上服从均匀分布,求球体积V 的数学期望。
解 设球的直径为X ,其概率密度为???
??<<-=其它
，
0,1
)(b x a a b x f
[]()()
2
2
4
3
3
24
4
1616
)()(,6)(b
a b a x
a b dx a
b x x g E Y E x x g Y b a
b
a
++π=
?-π
=
-?
π=
=π==?
则球的体积
2. 设随机变量X 服从??? ?
?-
21,21上的均匀分布，()==x g y ???≤>0
,00,ln x x x ,求
)(x g Y =的数学期望和方差。
解 X 的概率密度??
???
<
<-=其它 ,02
121,1)(x x f ，
()(),2
2ln 1ln )(2
1
+-
==
=?
xdx x g E Y E
()()()()4
32ln 2
12ln 4
1 ,12ln 2
2ln ln
2
2
2
10
2
2
+
+
=
++=
=?
Y D xdx Y
E 。
3. 在长度为a 的线段上任意取两个点M 与N ，试求线段MN 长度的数学期望。
解: 以线段起点为原点，X ，Y 分别表示点M 与N 的位置， ∴ ,(0,)X Y U a ，
1,(0,)()0, X x a f x a
?∈?=???其它， 1,(0,)()0, Y y a f y a ?∈?=???其它，21
,,(0,)(,)0, x y a f x y a ?∈?
=???
其它， 令,)
Z X Y Z a =-则取值于(0,，
这时
{}2
2
2
121()Z z x y z
F z P z X Y z dxdy z z a
a
a
-≤-≤=-≤-≤=
=
-
??
∴ 22
2,0()0, Z z z a
f z a a
?-<
其它
2
2
3
2
2
2121112()(
)(
)
2
3
6
3
a a a
a E Z z z dz z z a
a
a
a a
=
-
=
-
=
?
=
?
。
4. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。
解 =k A “第K 次命中目标”,2,1=K …
}{2
1(A A P k
x P =
=…k k A A 1-)=)()(21A P A P …8.0)8.01()()(11?-=--k k k A P A P
∑∑∞
=∞
=--?=??=
1
1
1
1
2
.08.08.02
.0)(k k k k k k x E ,
取 (),1,111)(2
11
1
<-='
??
?
??-='
?
??? ??==
∑∑∞=∞
=-x x x x x kx
x S k k k k
所以 25
.18
.01)
2.01(8
.0)(2
==-=
x E , ∑∑∞
=-∞
=-?=??=
1
1
2
1
1
2
2
2
.08.08.02
.0)(k k k k k
k
x E ,
取 ()
()x
x x x x kx x x
k
x g k k k k ,111)(32111
1
2
-+='
???
? ??-='
???? ??==
∑∑∞=-∞
=-＜1
故 ()()
,875.12.012
.018.03
2=-+?
=x E
从而 ()()()3125.022=-=Ex x E x D 。
5. 设轮船横向摇摆的振幅X 的概率密度为()??
??
?≤>=σ-
0 ,00
,22
2x x Axe x f x
，σ为常数
试确定常数A ,并求)()(X D X E 、和{})(X E X P >。
解
()2
2
22
21,12
22
2σ
=
=σ=σ-==∞+σ
-
∞
+σ
-∞
+∞
-?
?
A A e
A dx xe
A dx x f x
x
(
)()()()()
{}{}4
2
22
222
2
2
2
2
2
2
2
220
3
2
2
20
220
22
2
2
22
22
22
22
22
11)(1)(1)(222
2222212
2
21)(π-
σ
π
σ
-
σ
π∞
--∞
+∞
+-σ
-
∞
+∞
+σ
-
∞+σ
-
σ
-
∞
+∞
+σ
-
=σ
-
=-
=≤-=>σ
??? ?
?
π-=σ
π-
σ=-=σ
=σ
-=σ
σ
=σ
=
σ
π=
σπ=
+
-=-=σ
=
?
?
??
?
?
??
e
dx xe
dx x f X E X P X E X P X E X
E X D de
t
dt te
x
t dx
e
x X
E dx e
xe
de
x dx e
x X E x
t
t
x
x
x
x
x
令
6. 设()Y X 、的联合分布为右表
)1( 求()()Y E X E 、
)2( 设X Y Z /=、求()Z E
)3( 设()2
Y X W -=、求()W E 。
解 ()()()()011.01.01.003.001.0101.02.0)(=?+++?+++-?++=Y E
()()()2
31.03.0021.001.011.01.02.0)(=?+++?+++?++=X E
()0667
.0211.0311.011.0211.012.0)(-=?+?+?+??
?
??-?+-?=Z E
516094.043.012.001.0)(=?+?+?+?+?=W E 。
7. 设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，
求随机变量X Y -的方差。
解
令2
2
,(0,1)()z
Z Z X Y Z N f z -
=-~=
则
00
()()()()Z Z Z E Z z f z dz zf z dz zf z dz +∞+∞-∞
-∞
=
=
-+=
?
?
?
2
2
2
2
2
()()1z
E Z E Z z
dz +∞-
-∞
==
=?
2
2
2
()()()()1D X Y D Z E Z E Z π
-==-=-
。
8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2
次取出5只球．设X 和Y 分别表示这2次取出球中的白球数，则(|1)E X Y =为多少？ 解：条件期望(|1)E X Y =的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望(|1)E X Y =，先要求得1Y =条件下X 的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X 至少为2，因为红球只有1个，故
{0|1}{1|
P X Y P
X Y ==
==
==
， 2
1
31
3
4
3{2|1}4
C C P X Y C ?===
=
，
3
334
1{3|1}4
C P X Y C ==
==
， 由此可算得1Y =下的条件期望319(|1)234
4
4
E X Y ==?
+?
=
。
9. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中
的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。
解：由题设，每人在第i 层下电梯的概率均为()12,3,,109
i = ，设k A 表示第k 人在第i
层下电梯，则有()()18, (1,2,,25)9
9
k k P A P A k =
=
= ，
又125,,A A i 相互独立，因此第层无人下电梯（电梯不停）的概率为
()
25
2525
11
8 9k k
k k P A P A ==????== ? ???
??
∏∏
设1,
2,,100,
i i X i i ?==?
? 第层有人下，第层无人下
，则
()()25
25
880 ,11 ,2,3,,1099i i P X P X i ??
??
====-= ?
?
????
因此，电梯停的总次数为10
2
i i X X ==
∑
，
()
()25
1010
22
891191 9i i
i i i EX E X E X P X ==??
??
??==
=?=?=-?? ? ?????
????
∑∑。
10. 设随机变量X 的概率密度为
?
?
?<<++=.
,
010,)(2
其他x c bx ax
x f
已知: E （X ）=0.5, D （X ）=0.15, 求系数a 、b 、c 。
解：由密度函数性质及已给条件，知有
()
1
2
1()3
2
a b f x dx ax
bx c dx c ∞
-∞
==
++=
+
+??，2366a b c ?++=，
(
)
1
2
01()()2
4
3
2a b c E X xf x dx x ax bx c dx ∞
-∞
==
=
++=
+
+??，3466a b c ?++=，
(
)
1
2
2
2
2
()()5
43
a b c E X x f x dx x
ax bx c dx ∞
-∞
=
=
++=+
+??，
2
2
10.15()()()5
434
a b c D X E X E X ==-=++-，12152024a b c ?++=，
三个方程，三个变量，解之可得：12,12,
3a b c ==-=。
11. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从()2
,N μσ
，设{}max ,Z
X Y =，求()E Z 。
解：设,X Y U V μ
μ
σ
σ
--=
=
，则,X U Y V σμσμ=+=+，由于X 与Y 相互独立
()(),~0,1,~0,1U V U N V N ∴相互独立，且
{}{}()max ,max ,max ,Z X Y U V U V σμσμσμ∴==++=+
()(),~0,1,~0,1U V U N V N 相互独立，且，则有()~0,2T U V N =-
(
)2
22
t
E T
dt +∞-
?-∞
∴==
?
而()()1m ax ,2
U V U
V U V
=
++-，则有
()(
)11
max ,2
E U V EU
EV E U V
=
++-=
????。
因此{}(
)max ,max ,E X Y E U V σμμ=+=????????。
四、证明题
设随机变量X 和Y 相互独立，试证明
22
()()()()()()()
D X Y D X D Y
E X D Y E Y D X ?=++．
证明：()()2
22()()()()2()()D X Y E XY E XY E XY XYE XY E XY ?=-=-+
22222()2()()()()()E XY E XY E XY E XY E X Y E XY =-+=-， 因为X 和Y 相互独立，所以有()()()E X Y E X E Y ?=?，又
2222
2
222
()(,)()()()()X Y E X Y x y f x y dxdy x f x dx y f y dy E X E Y +∞+∞
+∞
+∞-∞-∞
-∞
-∞
=
=
=????
，
从而有 2222()()()()()D XY E X E Y E X E Y =-
2222222
()()()()()()()E X E X E Y E X E Y E X E Y ??=-+-??
2222
()()()()()D X E Y E X E Y E Y ??=+-??
2222
()()()()()()()D X E Y E Y D X E Y E X D Y ??=-++??
2
2
()()()()()()
D X D Y
E X D Y E Y D X =++。
§4.3 协方差和相关系数 §4.4 原点矩与中心矩
一、填空题
1.已知随机变量()()~3,1,
~2,1X N Y N -,且
Y
X ,相互独立,设随机变量
,72+-=Y X Z 则Z
～ )5,0(N ；
2. 已知37
)(, 85)(,4.0,36)(,25)(=
-=+=ρ==Y X D Y X D Y D X D XY 则；
3. 随机变量~(2,16),2,,X N Y X Y θ=服从参数的指数分布的相关系数
0.5XY ρ=，则28
)(=
+Y X D ；
4. 已知(,)X Y 服从二维正态分布，且10,1,4,,2X Y E X E Y D X D Y ρ=====
若
Z aX Y =+与Y 独立，则a 等于
4-；
5. 某学生做一物理实验，独立重复试验了100次，假设每次试验成功的概率为p ，则当成功次数的标准差达到最大时p 为 1/2 。
二、选择题
1. 如果X 和Y 满足)()(Y X D Y X D -=+, 则必有（B ）
(A) X 和Y 独立； (B) X 和Y 不相关； (C ))(Y D =0； (D) 0)()(=Y D X D 2. 设随机变量X 和Y 独立同分布,记Y X V Y X U -=+=,则U 和V 必然（D ） (A) 不独立； (B) 独立； (C) 相关系数不为零； (D) 相关系数为零. 3. 设随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1X Y ρ=，则（D ）
()A {}211P Y X =--=；
()
B {}211P Y X =-=；
()C {}211P Y
X =-+=；
()D {}211P Y X =+=.
4.
设随机变量321,,X X X 满足1231(,)3,(,)2
C o v X X C o v X X =-
=，则
1
23
(2,3)C o v X X X +为（D ）
（A ）16； （B ）- 9； （C ）12； （D ）-14.
5. 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.8，若2Z X =-，则Y 与Z 的相关系数为（D ） （A ）0； （B ）1； （C ）0.4； （D ）0.8.
6. 下列命题错误的是 （B ）
（A ）X 与Y 不相关则()E XY EX EY =?； （B ）X 与Y 不相关则X 与Y 相互独立； （C ）随机变量X 的方差0D X ≥； （D ）1XY ρ≤.
三、计算下列各题
1. 若随机变量()Y X ,在区域D 上服从均匀分布(){}x y x y x D <<<<=0,10,, 求随机变量X ,Y 的相关系数。
解 ??
??∈==
=
=
?
?
??
D
y x D y x y x f dy dx dy dx A x
D
),(,
0),(,
2),(,
2
10
1
()()()
()().
361313241)()()(),(,4
12,
18
13161
)(,61
2,3
12)(18
1)()(,212,322)(0
10
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
010=?-=
-==
==???
??-====
==
-==
==
=???
?
???
??
?y E x E xy E y x Cov dy y dx x xy E y D dy y dx y
E dy y dx y E x E x
E x D dy dx x
x
E dy dx x x E x
x
x
x
x
2
118
/118/1361
)
()(),cov(=
=
=
ρy D x D y x XY 。
2. 设随机变量),(Y X 的密度函数为 A y x f =),()sin(y x + 2
0π≤
≤x , 2
0π≤
≤y
求：（1）系数)()2(;x E A ,)(y E ,);(),(y D x D （3）协方差及相关系数。
解 ()5.0,
12)s i n (,)
1(20
20
===+=????
π
π
∞
+∞
-∞
+∞
-A A dy y x dx A dy dx y x f ；
()()()()()().
22
16
)(,
4
)(,;2216
)()( 2
2
8
sin cos 2
1sin 2
1)( 4sin cos 21sin 21)()2(2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
0202
-π+
π
=
π=
-π+π
=
-=-π+
π
=
+=
+=
π=
+=
+=
?
??
?
??π
π
ππ
π
π
Y D Y E Y X x E x E x D dx x x x
dy y x x dx x E dx x x x dy y x x dx x E 知的对称关系与由
()()()()()()()()()
.
32
8168,cov ,16
12
,cov 12
sin 2
1)
3(2
22
20
2
-π+π
+π-π-
==
ρπ
-
-π=
-=-π=
+=
??
π
πy D x D y x y E x E xy E y x dy y x xy dx xy E xy 于是
3. 设随机变量X 的概率密度为()1,2
x
f x e
x -=
-∞<<+∞.求：
（1）()(),E X D X ；（2）X X 与的协方差，并问X X 与是否不相关； （3）问X X 与是否独立？为什么？ 解：（1）()0
1
102
2
x
x
E X xe dx xe
dx +∞--∞
=+=??
，
()2
21
2,20 2.2
x E X
x e dx D X +∞-∞
===-=?
（2）1, 1.2
x
Y X E Y x
e
dx +∞--∞
==
=?
令则
()(
)()0
,000
.
E
X Y E X
X C o v X
Y X Y =
=∴=-=∴与不相关 （3）对于任意实数0a >，{}1012
a x
P X a e
dx --∞
<≤=
有
{}{}{}{},P X a X a P X a P X a P X a ≤≤=≤>≤≤
X X ∴与不相互独立.
4. 设随机变量(Y
X ,)的概率密度为??
?<<<<--=其它
,01
0 ,10 ,2),(y x y x y x f , 求Y X ,的相关系数。
4
1)2()( ,12
5)2()( 1
2
10
2
1
10
=
--=
=
--=
????dy y x x dx X E dy y x x dx X E 解
1441
)()()(),( ,61)2()(,144
11)( ,125)( ,1441112541
)(10102
-
=-==--====
???
??-=??Y E X E XY E Y X Cov dy y x xy dx XY E Y D Y E X D 由对称性
11
1),(: -
==
DY
DX
Y X Cov Y X XY ρ的相关系数为
和所以。
5. 设随机变量X 服从[ππ-,]上的均匀分布，令X Z X Y cos ,sin ==，求YZ ρ。
解??
?
??π≤≤π-π
=其它的密度函数为
,0 ,21
)( x x f X X
.
0)
()
(),cov ,0)()()(),cov( ,0cos sin 21)(,
0cos 21)( ,0sin 21)( ==
ρ=-==π
=
=π
=
=π=?
?
?
π
+π
-π
+π
-π
+π
-Z D Y D Z Y Z E Y E YZ E Z Y xdx x YZ E xdx Z E xdx Y E YZ 所以 6.二维随机变量(,)X Y 的分布律为
问a,b 取何值时，X Y 与不相关？此时X Y 与是否独立？
解 （1） 62118
8
4
a b a b ++=?+==，
3
212
()108
88
8
E Y a b a b =-?
+?+
++=
+-， 3
121()10()1()8888
E X a b b =-?
+?++?+=-， 121()8
8
8E XY b b =
+-=- ，
若X Y 与不相关，则11211()(),;8
8
8
8
8
b b a b b a -=-
+-
∴=
=
（2）{}{}11,118
P X Y P X ===
≠={}9164
P Y ==
不独立。
7. 已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布22
(1,3),(0,4)N N , 且X 与Y 的相关系数
2
1-
=XY ρ．设2
3
Y X Z +
=
， 求（１）Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ；（２）X 与Z
的相关系数XZ ρ；（３）问X 与Z 是否相互独立？为什么？
解：(1) ()()101()(
)323
2
323
X Y E X E Y E Z E =+=
+=+=，
()()1
()(
)(
)
2c o v (,)c o v (,)
32
32943
X Y X Y D X D Y D Z D D X Y =++=++
2
2
3
4
111
143439
4
3
3
2
XY ρ-=
+
+
?=++
?
??=，
由于X 与Y 分别服从正态分布，所以Z 也服从正态分布1
(,3)3
N ；
(2) 因为2
1()1,(),()(
)3
3
2
X XY E X E Z E XZ E ==
=+
，注意到
2
2
2
2
()()()3110E X D X E X =+=+=，且
cov(,)()()()XY X Y E XY E X E Y ρ=-=
34
()()()1062
X Y E X Y E X E Y ρ?==-+?=-，
所以 2
1
1
10
6
1
()()()
32323
E X Z E X E X Y =
+
=-=，
由协方差定义：11
cov(,)()()()10,
033
X Z X Z E X Z E X E Z ρ=-=-?=?
=；
(3)由于X 与Z 均服从正态分布2
1
(1,3),(,3)3
N N ，故“相关系数为零”等价于“相
互独立”，因此X 与Z 相互独立。
8. 设()()1,()1,()()()1E X E Y E Z D X D Y D Z ===-===，XY ρ=2
1，XZ ρ=2
1-
，YZ ρ=
2
1，
求()E X Y Z ++和()D X Y Z ++。
解：()()()()1111E X Y Z E X E Y E Z ++=++=+-=；
()2
()(
)()D X Y Z E X Y Z E X Y
Z
++
=+
+-++ [
]{[][]2
2
2
()()()E
X E
X Y E Y Z E Z
=-+
-+
- ()()()()()()}2()()2()()2()()X E X Y E Y Y E Y Z E Z X E X Z E Z +--+--+--
()()()
2c o v (,)2c o v (D X D Y D Z X Y Y Z Z X
=++
+++ 1
3242??
=+-= ???
。 9. 若随机变量X 、Y 相互独立同分布，均服从2(,)N μσ，令X Y ξαβ=+，X Y ηαβ=-（,αβ为不相等的常数），求随机变量ξ与η的相关系数ξηρ，并说明当,αβ满足什么条件时，,ξη不相关。
解：（1）依题意，有 2()(),()()E X E Y D X D Y μσ====，且(,)0Cov X Y =． 因为 ()
()
(
)
ξηρ=
=
， 而 ()()()()(E E X Y E X E Y ξαβαβαβμ=+=+=+， ()()()()(E E X Y E X E Y ηαβαβαβ
μ
=-=-=-． 2
2
22
2
2
2
()()()()
(
)
()
E E X Y X Y E X Y E X E Y ξηαβαβα
βαβ=+-=-
=-， 由方差公式可求出 22
2
()()
()E X D X E X σμ=
+=+， 同理可得 22
2
()E Y σ
μ=+，
所以 2222222222()()()()()E ξηασμβσμαβσμ=+-+=-+．
又 2
2
2
2
()()()()()D D X Y D X D Y ξαβα
β
αβσ=+=+=+，同理有2
22
()()D ηα
βσ
=+，
综合上述结果，可得 2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
)()()ξηαβσ
αβραβσ
αβ
--=
=
=++
（2）若,ξη不相关，则0ξηρ=，因此220αβ-=，又αβ≠，则αβ=-时,ξη不相关。
四、证明题
设Y X ,是随机变量，.,d cY V b aX U +=+=其中d c b a ,,,为常数，且c a ,同号.证明：XY UV
ρρ=
.
U V XY ρρ=
=
=证
随机变量的数字特征试题答案
随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10
2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy
随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）
A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-
第三章 随机变量的数字特征答案
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?
设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX
例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX
随机变量的数字特征教案
§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分
100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：
凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）
随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征归纳
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a
随机变量分布及数字特征
第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会
变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天
随机变量数字特征习题课
第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章 随机变量的数字特征 1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。 得， 0010119 1010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。 因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =?=。 2． 解：1500 3000 2220 1500 ()()(3000)5001000150015001500x x E X xf x dx dx x dx +∞ -∞ -= =+-=+=?? ?。 3． 解：1 ()(2)0.400.320.30.2k k i E X x p ∞ == =-?+?+?=-∑； 2 21 (35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞ =+=+=?+?+?=∑ 22(35)3()513.4E X E X +=+=。 4．解：（1）0 ()(2)2()2 ()22(| )2x x x E Y E X E X xf x dx x e dx xe e dx +∞ +∞ +∞ --+∞ --∞ ==== =-+=???. （2）223300 1 1 33 ()()()|X x x x E Y E e e f x dx e dx e +∞ +∞ ----+∞ -∞ == = =-=??. 5．解：（1）3 33 1 1 1 ()10.420.230.42i i i ij i i j E X x p x p ? ==== ==?+?+?=∑∑∑. 3 3 3 1 1 1 ()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p ?======-?+?+?=∑∑∑. （２） 7 1 11 ()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-?+-?++?+?=-∑。 2 2 1 ()40.400.340.3 2.8 k k i E X x p ∞ ===?+?+?=∑
第四章随机变量的数字特征单元测试题
随机变量的数字特征章节测试题 一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2 B ．8 C ．18 D ．20 2．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45 4，则n 、p 的 值分别是( ) A ．50，1 4 B ．60，14 C ．50，3 4 D ．60，3 4 . 3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( ) A ．68.26% B ．95.44% C ．99.74% D ．31.74% 4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（ ） Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零 Ｄ．相关系数为零 6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝4 3，D (X ) ＝2 9 ，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C.11 3 D ．3 7．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ) .[()]() .[()]2() .[()]0.[()]() =+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X 8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1 ()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常 数,a b 的值分别为( ) .1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b
第三章、随机变量的数字特征
第三章、随机变量的数字特征 一、选择题： 1．设随机变量X 的分布函数为4 0,1(),011,1x F x x x x ? ，则EX= （ C ） A ．140x dx ? B ．15 14 x dx ? C ．1 4 4x d x ? D ．1 40 1 x dx xdx +∞ + ?? 2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ） A ．220()()E X x E X EX -=- B ．22 0()()E X x E X EX -≥- C ．220()()E X x E X EX -<- D ．2 0()0E X x -= 3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （B ） A ．n = 4，p = 0.6 B ．n = 6，p = 0.4 C ．n = 8，p = 0.3 D ．n = 24，p = 0.1 4．设X 是随机变量，且EX a =，2 EX b =， c 为常数，则D （CX ）=（ D ） A ．2 ()c a b - B ．2 ()c b a - C ．22()c a b - D ．22 ()c b a - 5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （B ） A ．a = 0，b = 6 B ．a = 1，b = 5 C ．a = 2，b = 4 D ．a = -3，b = 3 6．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ） A ．2 B ．1/2 C ．4 D ．1/4 7．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ） A ．N （1，4） B ．N （0，1） C ．N （1，1） D ．N （1，2） 8．设随机变量X 的方 差DX =2 σ，则()D aX b += （ D ）
随机变量与数字特征练习题及答案
1 第8章 随机变量与数字特征 一、填空题 ⒈ 设随机变量X 的概率分布为 则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<< 随机变量的数字特征历年真题 数学一： 1（87，2分） 已知连续型随机变量X 的概率密度为 1 22 1 )(-+-= x x e x f π 则EX = ，DX = 。 2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。 3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。 4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0随机变量的数字特征历年真题数学