弧度制
第一章三角函数
1.1任意角和弧度制
课题：1.1.2 弧度制
学习目标：（1）理解并掌握弧度制的定义,领会弧度制定义的合理性；(2）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(5) 通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
学习重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 学习难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.
助学过程：
【温故知新】
角度制的定义:用作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制.
1度的角=周角的
【自主学习】
1.弧度制的定义: 叫做1弧度角. 记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2.填写教材P6探究的表格.
3.任意角的弧度数与实数的对应关系:正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 , 零角的弧度数是 .
4.换算关系:
360= rad π2rad = 度
180= rad πrad = 度
1= rad≈ rad 1 rad = 度≈
5．扇形的弧长与面积公式：
弧长l= =
面积S= =
【合作探究】
一、关于弧度制的定义
例1 判断下列说法是否正确：
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
（2）1 rad的角比 1的角要大；
（3）有弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关；
（4）1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径；
（5）长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度。
二、角度与弧度的换算
例2 （1）把'3067 化成弧度；
（2）把π12
5-化成角度；
例3 将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
（1） 2010-
（3）
π4
31 三、扇形的弧长及面积公式
例4 教材P8 例3
例5 A 已知某扇形的圆心角为
75，半径为15 cm ，求扇形的面积。
B 已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【知识小结】
本节课我学到了：
【课堂练习】教材P9 练习1、2、3、5、6
【当堂检测】（组内互评：评卷人： 得分： ）
1、在下列各命题中，真命题是（ ）
A ．1弧度是长度为半径的弧；
B ．1弧度是1度的圆心角所对的弧；
C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角；
D ．1弧度是1度的弧长与半径的积
2、π6
29-是第（ ）象限角 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 ３、与4
π角终边相同的角的表达式是（ ） A ．πk 245+ B ．Z k k ∈?+,3604
π
C ．Z k k ∈?+-,360315
D ．Z k k ∈+,45ππ ４、已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的弧度数是 。
５、若圆的半径为6cm ，则15 的圆心角所对的弧长是 ；所在扇形的面积是 。
６、时针指到3点后，当分针在1小时内走55分钟时，时钟到分针的夹角是 度= 弧度。
７、用弧度制写出终边落在x 轴上的角的集合是 ；终边落在y 轴上的角的集合是 。
８、用弧度制写出第一、二、三、四象限角的集合。
【拓展提升】 １、已知集合{|,}32A x k x k k Z π
π
ππ=+≤≤+∈，2{|40}B x x =-≥，求A B 。
２、用弧度制写出终边落在如图所示各图中阴影部分的角的集合。
【基本方法】
【课后作业】教材P9习题1．1
【课后反思】
人教版高中数学必修四 1.1.2弧度制教案
1.1.2弧度制 【学习目标】 1. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算. 2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用. 【新知自学】 知识回顾： 1．角的概念 一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。 按__________方向旋转所形成的角叫正角； 按_______方向旋转所形成的角叫负角； 如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角. 2．象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________, 新知梳理： 1. 角度制规定 将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度， 直角等于90度. 2. 弧度制的定义 长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？ 3．弧度数的求法 一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么角α的弧度数的绝对值是：α________.α的正负由__决定. =
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 4．角度与弧度的换算 （1）3600=________rad ； （2）________=πrad ； 度数0 180π?=弧度数； 弧度数π 0180?=度数. 【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 对点练习1： 填写下表 12 5. 扇形的公式: (1)l R α=; (2)212 S R α=; (3)12 S lR = . 对点练习2： 若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 c m ，求扇形圆心角的弧度数．
1.1.2 弧度制 (1)
1.1.2 弧度制（1） 一、课题：弧度制（1） 二、教学目标：1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。 三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。 四、教学过程： （一）复习： 初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？ （初中时把一个周角的1360 记为1） （二）新课讲解： 1．弧度角的定义： 规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。 思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？ 2．弧度的推广及角的弧度数的计算： 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是r l =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。 说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。 例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-． 3．角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 4．例题分析： 例1 把'3067?化成弧度． 解：因为6730'67.5=，所以 3671567.51808rad ππ'=?= rad ． 例2 把3 5 πrad 化成度。 解：35 π rad 31801085=?=． 例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。 （1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。 （2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。 解：（1）终边落在x 轴的非正半轴的角的集合为{}|2,k k Z ββππ=+∈； 非负半轴的角的集合为{}|2,k k Z ββπ=∈； 终边落在y 轴的非正半轴的角的集合为3|2,2k k Z πββπ??=+∈???? ； 非负半轴的角的集合为|2,2k k Z πββπ??=+∈???? ；
A6-高一数学-角度制与弧度制
课程名称 学生姓名___________学科_________ 年级_____________ 教师姓名___________平台_________上课时间_____________ 1.通过角度制和弧度制的对比，加强直观教学，理解弧度制的（概念、公式、定理、原理、规律） 2.通过对学生的动觉刺激，促进学生对弧度制的有效记忆 3.通过动觉对比法，引导学生建构学科知识体系，提高学生观察对比、求异创新的能力，为深入分析问题、 解决问题做基础铺垫 25分钟） 1.对数函数
学生在老师的引导下标注出关键词，包括：数字字母、公式等，可以用彩色、特殊符号等。 2.知识对比 15分钟） 至少有一道涉及知识间对比的题目
例1：(1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π 12 化成角度. （3）把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π 6； (3)－4. 考点：（学生写出本题涉及到对比的知识点） ____________________________________ 例2：已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 考点：（学生写出本题涉及 到对比的知识点） ____________________ ________________ 至少2个例题 15分钟）练习题与例题知识点内容、难度、题型匹配 1. 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π 5 ＝________度. 札记： 2.一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 札记： 至少2个习题 5分钟）
高中数学 第四章 弧度制(2)教案
4.2弧度制（二） 教学目的： 1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ） ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad
∴ 1?= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801ο οο =≈?? ? ??=πrad 在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 任意角的集合 实数集R 5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180 r n l π=；3602R n S π=扇 二、讲解新课： 1．弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221 R ππ o R S l
高三一轮复习三角函数专题(汇编)
三角函数 2018年6月 考纲要求： 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 -
高一数学教案：4.2弧度制(一)
课 题：4.2弧度制（一） 教学目的： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算. 3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. 教学过程： 一、复习引入： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 规定周角的3601 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可 A B α O 2100 -1500 6600
以计算弧长，公式为 180r n l π= 3．探究 30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比 结论：圆心角不变，则比值不变， 因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制 二、讲解新课： 1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ） ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?=rad rad 01745.0180 ≈π ' 185730.571801 =≈??? ??=πrad 三、讲解范例： 例1 把'3067 化成弧度 解： ? ?? ??=2167'3067
弧度制1
弧度制 ?教学重点： 1．理解并掌握弧度制定义； 2．熟练地进行角度制与弧度制地互化换算； 3．弧度制的运用． ?教学难点：理解弧度制定义，弧度制的运用． ?教学过程： 第一课时弧度制 一、引入新课 有人问：温州到杭州有多远时，我们回答约400公里，但也有人回答约250英里，请问哪一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公制，一个是英制．它们的长度单位是不同的，但是，它们之间可以换算：1英里=1.6公里． 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，一个是弧度制． 角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做一度，故一周等于360度，半轴等于180度，直角等于90度等等． 弧度制是什么呢？弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？ 二、新课讲授 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1．
（1）长度等于直径的弧所对的圆心角的弧度数是多少？（画图示意，并写成2R/R 的形式）再举一个负角的例子． （2）当圆心角是周角时，它的弧度数是多少？为什么？ （3）当圆心角是平角时，它的弧度数是多少？为什么？直角呢？ 2．说明 （1） 我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2 π等等，由角的旋转方向决定． （2） 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径． （3） 以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制． 3．角度制与弧度制的换算 （1）记住原理： ∵周角所对的弧是整个圆周，是2πr ，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360° ∴360°=2π rad ∴180°=π rad ∴1°=180 π rad ≈0.01745 rad （直接做4（1）（2）（3）） 1 rad=π ?180≈57.3°=57°18/ 三、例题练习： （1）把下列各角从度化成弧度：（口答，并问为什么？） 360°，180°，90°，45° 30°， 60°，120°，135°，270°． （2）把67°30/，化成弧度． （3）把各角从弧度化成度：（口答，并问为什么） 2π，π21，π32， 6π （4）把π53化成度． 说明：弧度制与角度制的转换运算，关键要抓住180°=π rad ． 四、巩固小结 1．小结 （1）圆心角的弧度数的绝对值等于它所对弧长与半径的比值：r l =α；也可写成：r l α=；
2020年高一高二数学百所名校好题分项解析汇编专题01 弧度制与三角函数的定义(必修4)(解析版)
高一数学（必修4）百所名校速递分项汇编 专题01 弧度制与三角函数的定义 一、选择题 1．【黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年高一上学期期中考试】终边在直线y=上的角α的集合是( )． A．{α|α=?360°+45°，∈}B．{α|α=?360°+225°，∈} C．{α|α=?180°+45°，∈}D．{α|α=?180°-45°，∈} 【答案】C 2．【四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考】与（）终边相同的角是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 因为,所以选B. 3．【四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考】已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 ,选C. 4．【四川省三台中学实验学校2017-2018学年高一1月月考】已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则
其面积为 A．3B．6C．9D．12 【答案】B 【解析】 设扇形的半径为，由题意可得：，则， 扇形的面积. 本题选择B选项. 5．【江西省上饶市上饶县中学2017-2018学年高一下学期期末考试】《九章算术》是我国古代数学成就的杰 出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现 有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 A．平方米B．平方米 C．平方米D．平方米 【答案】B 【解析】 如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4， 在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=， 可得：矢=4﹣2=2， 由AD=AO?sin=4×=2， 可得：弦=2AD=2×2=4， 所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米． 故答案为：B．
人教版高中数学高一A版必修4 弧度制
课后训练 1．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 2．下列转化结果错误的是( ) A ．67°30′化成弧度是3π 8 B ．10π 3-化成度是－600° C ．－150°化成弧度是7π 6- D ．π 12化成度是15° 3．把11π4-表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( ) A ．3π 4- B ．π 4- C ．π 4 D ．3π 4 4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ． B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} C ．{α|－4≤α≤4} D ．{α|0≤α≤π} 5．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( ) A ．ππ43αα?? ≤≤???? B ．π5π43αα?? ≤≤???? C ．π π2π2π,43k k k αα?? +≤≤+∈????Z
D． π5π 2π2π, 43 k k k αα ??+≤≤+∈ ???? Z 6．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__________． 7．若角θ的终边与8π 5 的终边相同，则在[0,2π]内终边与角 4 θ 的终边相同的角是 __________． 8．扇形的周长是16，圆心角是2 rad，则扇形的面积是__________． 9．设两个集合M＝ ππ , 24 k x x k ?? =+∈ ?? ?? Z，N＝ π π, 4 x x k k ?? =-∈ ?? ?? Z，试判断M与 N之间的关系． 10．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB＝2π 3 ，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D．若 CD的长为a，求ACB的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积．
高中数学必修4112弧度制和弧度制与角度制的换算
人大附中分校高一数学导学学案 一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题： ① 角的弧度制是如何引入的？ ② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？ ④ 角度制与弧度制的区别与联系。 1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 2．平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad 3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算： 1．∵ 360 =2 rad ∴180= rad ； ∴ 1= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α?=r l ，由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。 ②扇形面积公式 lR S 2 1 =，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 o R S l
1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案 例题 例1：（1）把11230'化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230'化成弧度（用π表示） 解：（1）α=1.969 rad （2）58 π； 例2： 把3 rad 5 π化成度 解：33 rad 18010855 π= ?= 例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3 ⑵ 165 解： cm r 10= ⑴ )(3 401034cm r l ππα=?=?=; ⑵ rad rad 12 11)(165180 165π π = ?= 例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2 ，求扇形中心角的弧度数． 解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ， 由题意：?????=?=+62 1102r l r l ?0652 =+-r r ∴ ???==62l r 或?? ?==4 3l r ∴ r l =α=3 或34 随堂练习 1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题． 2．把－8π 3 化成角度是( ) A ．－960° B ．－480° C ．－120° D ．－60° 解析：选B.－8π3＝－8 3 ×180°＝－480°. 3．把－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－7π6 解析：选B.－300°＝－300×π180＝－5 3π. 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π 12 的扇形面积是________ cm 2. 解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π. 答案：3 2π
弧度制1
弧度制 一、复习回顾： 1、角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 2、在角度制下 360 n 180 2 r l r n S ππ= = 扇扇 二、新课学习： 弧度制的定义 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。 在这种规定下，圆周长所对的圆心角为π2rad,半圆所对的圆心角为π rad ，?90=2 π rad,你能继续往下推吗？ 请你填写书上第6页的表格。 注：1、一般地，正角的弧度数是一个正数（正实数），负角的弧度数是一个负数（负实数），零角的弧度数是零。这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。 2、用角度制和弧度制度量零角，单位不同，数量相同；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同。 练习：请你填下列表格。 角度 0° 15° 45° 弧度 角度 90° 270° 弧度 更进一步，我们可以得到： ' 185730.57)180 ( 101745.0180 1180?=?≈?=≈= ?? =π π πrad rad rad rad 利用上面的方法，我们可以把任意一个角度转换成弧度，或将任意一个弧度转化成角度。 例：按照下列要求，把67°30′化成弧度。 1）精确值； 2）精确到0.001的近似值。 例：将3.14rad 转换成角度。 练习：书上第9页1、2题。 提问：当圆心角α一定时，它所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关，这句话对吗？为什么？ 公式1：1)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l = α.
任意角和弧度制专题
命题人 王满意 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k 2360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－43360° B ．－45°－43360° C ．－45°－53360° D ．315°－53360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k 2180°<α<180°＋k 2180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k 2180°<α<－180°＋k 2180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k 2360°<α<－180°＋k 2360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 {}Z k k ∈±?=,90360| αα={}Z k k ∈+?=,90180| αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 8.若α是第一象限的角，则2 α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 9.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角
高一数学教案[苏教版]弧度制教案
弧度制 教学目标： 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。 4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。 教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。 2.弧长公式、扇形面积公式的应用。 教学过程： 一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？ 二．新课讲解： 1．弧度角的定义： 规定： 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。 思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？ 2．弧度的推广及角的弧度数的计算： 规定： 说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的 度量。 3．角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 例题分析： 例1 把'3067?化成弧度． 例2 把35 πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。 （1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。 （2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。 例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。 （1 ）193 π； （2）315-； （3）1485-． 5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° （练习）写出阴影部分的角的集合： 4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？ 圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为： 扇形面积为 ： 5．弧长公式： 在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？ 6．扇形面积公式：扇形面积公式为： 说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；
三角函数专题 (一)
年级：辅导科目：数学课时数： 课题三角函数 教学目的 教学内容 一、知识网络 二、命题分析 1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大． 2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角
切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为 ，以比值为 的函数． 3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T (T ′)，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT (或AT ′)叫做α的 ． （三）基础自测 1．与610°角终边相同的角可表示为( ) A ．k ·360°＋230°，k ∈Z B ．k ·360°＋250°，k ∈Z C ．k ·360°＋70°，k ∈Z D ．k ·360°＋270°，k ∈Z [答案] B [解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B. 11π6 C.5π 6 D.3π 4 [答案] B [解析] ∵sin α＝－12＝－1 2 ，且α的终边在第四象限， ∴α＝ 116 π. 3．若－π>θ>－3π 2 ，则点(tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B [解析] 易知θ在第二象限，则tan θ<0，sin θ>0. 4．若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.1 2 B ．－12 C ．－32 D ．－ 3 3 [答案] C [解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)，∴r ＝2，故sin α＝－3 2 ，故选C. 5．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3 cos α ＝________. [答案] 0 [解析] 设α终边上任一点P (k ，－3k )， 则r ＝x 2 ＋y 2 ＝k 2 ＋－3k 2 ＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝ －3k 10k ＝－ 310 ，cos α＝ k 10k ＝ 1 10 ， ∴10sin α＋3 cos α＝－310＋310＝0. 当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝ 310 ，cos α＝－ 1 10 ，∴10sin α＋3 cos α＝0.
高一数学弧度制学案
课题：4.2弧度制（一） 教学目的： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算. 3.熟记特殊角的弧度数 教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系 . 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的. 度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式. 但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. 教学过程： 一、复习引入： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
定义的？ 规定周角的360 1 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180 r n l π= 3．探究 30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比 结论：圆心角不变，则比值不变， 因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制 2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？ 规定周角的360 1 作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180 r n l π= 3．探究 30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比 结论：圆心角不变，则比值不变， 因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制 一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同
【高中数学必修四】复习讲义 专题1.1 任意角和弧度制
第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1．任意角 （1）角的概念 角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． （2）象限角：角的顶点与____________重合,角的始边与x轴的____________重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下： 象限角角的表示 第一象限的角{α|k·360°<α 终边在y 轴上的角 { α|α=k π+,k ∈Z } 终边在坐标轴上的角 {α|α= ,k ∈Z } （4）终边相同的角：所有与角α终边相同的角连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }={β|β=α+2k π,k ∈Z }． 2．弧度制 （1）定义：把长度等于___________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作___________,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制． （2）角α的弧度数公式：|α|= l r (弧长用l 表示)． （3）角度与弧度的换算：①1°=___________ rad;②1 rad=___________°． （4）弧长公式：弧长l =___________． （5）扇形面积公式：S =___________． K 知识参考答案： 1．（1）射线 逆时针 顺时针 零角（2）原点 非负半轴 2．（1）半径 1 rad （3）① 180π ②180π （4）|α|r （5）12l ·r =1 2 |α|·r 2 K —重点 1．理解并掌握正角、负角、零角的概念； 2．掌握终边相同的角的表示方法及判定方法； 3．了解弧度制，能进行弧度与角度的互化； 4．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数． K —难点 1．把终边相同的角用集合表示出来； 2．可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制； 弧度制【知识梳理】 1．角度制与弧度制 (1)角度制． ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的 1 360作为一个单位． (2)弧度制． ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 4．弧度与角度的互化 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则 【常考题型】 题型一、角度与弧度的换算 【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π 9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π 5； (2)－300°＝－300×π180＝－5π 3； (3)2＝2×????180π°＝???? 360π°； (4)－ 2π 9 ＝－????2π9×180π°＝－40°. 【类题通法】 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π 180＝ 弧度数，弧度数×180 π ＝度数． 【对点训练】 已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝ 3π5，β2＝－π 3 . (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π 6， α2＝750°＝750π180＝25π 6. ∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π 6， α2＝ 25π6＝2×2π＋π6 ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝3 5 ×180°＝108°， 1、角的概念·弧度制 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2 k 与)(2Z k k ∈+ ππ B ．)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5 sin ,5 (cos π π ，则α等于 （ ） A ． 5 π B ．5 cot π C ．)(10 32Z k k ∈+ππ D ．)(5 92Z k k ∈- ππ 5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－6 π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有 （ ） A ．)(2 Z k ∈-= βπ α B ．)()2 1 2(Z k k ∈-+ =βπα C ．)(2Z k ∈-=βπα D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα 7．集合A={}, 32 2|{},2|Z n n Z n n ∈±=?∈= ππααπαα， B={}, 2 1 |{},3 2|Z n n Z n n ∈+=?∈=ππββπ ββ， 则A 、B 之间关系为 （ ） A ．A B ? B ．B A ? C ．B ?A D ．A ?B ≠高中数学必修4三角函数常考题型：弧 度 制
(1)角的概念·弧度制