高三数学阶段性测试卷(附答案)
高三数学阶段性测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)
A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}
B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}
C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}
D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}
(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)
A.
a
1＋a2
B.－
a
1＋a2
C.
1
1＋a2
D.－
1
1＋a2
(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)
A.66
B.99
C.144
D.297
(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )
A.(－∞，－4) (1，∞)
B.[－4，1]
C.(－∞，－4] [1，∞)
D.(－4，1)
(5)设函数f(x)＝1－x2＋log1
2
(x－1)，则下列说法正确的是( D)
A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值
B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值
C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值
D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值
(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)
A.－1
B.0
C.－1或0
D.－1或4
(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域
y( C)
A B C D
(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )
(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f
(x ＋1)＝x 2
＋2，则f －
1(x ＋1)的表达式是 ( B )
A.2x －2
B.2x －1
C.2x ＋2
D.2x ＋1
(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π
6
]时的值域是 ( D )
A. [0，
6
2] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q
中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2） ． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o
＝
(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －
1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．
(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与y
B C
D
＝(1
a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f
－1
(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．
三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝1
2(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (
π3
－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)． （I ）求f (x )的解析式；
（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π
6
)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．
解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．
∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋?），其中sin ?＝a a 2＋1，cos ?＝1a 2＋1，
∴
2π
|ω|
≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1． 又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π
3
），
即 12（sin0＋a cos0）＝1
2（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．
令u ＝x ＋π
3
，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，
由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1． 同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0． 又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m
2
∈（－1，1）．
又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－
π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6
））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π
6
）内有两个不等实根．
∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π
6）内有两个不等实根”的充
分条件．
令m ＝56，n ＝16，由于方程t 2＋56t ＋16＝0有两个不等的实根－13，－12，且－13，－1
2∈(－1，1)，
∴ 方程sin 2（x ＋π3）＋56sin （x ＋π3）＋1
6＝0在（－5π6，π6）内有两个不等的实根，
但 ｜m ｜＋｜n ｜＝56＋1
6
＝1，
故“｜m ｜＋｜n ｜＜1”不是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π
6）内有两个不等实根”的必
要条件．
综上，“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π
6）内有两个不等实根”的
充分不必要条件．
(18)（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1).
(I)求函数f (x )的定义域、值域；
(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.
(I)解：由4－a x ≥0,得a x ≤4．当a ＞1时，x ≤log a 4；当0＜a ＜1时，x ≥log a 4．
即当a ＞1时，f (x )的定义域为(－∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为[log a 4，＋∞)． 令t ＝4－a x ，则0≤t ＜2，且a x ＝4－t 2，∴ f (x )＝4－t 2－2t －1＝－(t ＋1)2＋4， 当t ≥0时，f (x )是t 的单调减函数，∴f (2)＜f (x )≤f (0)，即－5＜f (x )≤3， ∴ 函数f (x )的值域是(－5，3]．
(II)若存在实数a 使得对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a ＞1不满足条件；若0＜a ＜1，则log a 4＜2，且f (x )是x 的减函数．
当x ＞2时，a x ＜a 2．由于0＜a 2＜1，∴t ＝4－a x ＞3，∴f (x )＜0，即f (x )≥0不成立． 综上，满足条件的a 的取值范围是 ．
(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边
长为a 的正方形，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ． (Ⅰ)求证：直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小．
D
B
A
C
P
(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA 中，AD ＝a ，PD ＝a ，P A ＝2a ，)
∴ AD 2＋PD 2＝P A 2，即 PD ⊥AD ．同理，PD ⊥CD ． (第19题) 又AD 、CD ?平面ABCD ，AD CD ＝D ，∴ 直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)解：如图，连接AC 和BD ，设AC BD ＝O ．由(I)知AC ⊥PD ．
又 AC ⊥BD ，且PD 、BD ?平面PBD ，PD BD ＝D ，
∴ 直线AC ⊥平面PBD ．
过点O 作OE ⊥PB ，E 为垂足，连接AE ．
由三垂线定理知 AE ⊥PB ，∴ ∠AEO 为二面角A －PB －D 的平面角． ∵ AB ⊥AD ，由三垂线定理知 AB ⊥P A ，
∴ 在ΔPAB 中，AE ＝P A ·AB PB ＝23
a ，在ΔABD 中，OA ＝22a ，
在ΔAOE 中，sin ∠AEO ＝AE
OA
＝2
2a 23
a ＝32，即 ∠AEO ＝60o ，∴ 二面角A －PB －D 为60o ．
(20)（本小题满分12分）
以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：
①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；
②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的3
2倍；
③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；
(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b （k ＜0）， 则旺季的最高价格为－b
k
元/件，利润函
L （x ）＝（x －100）·（kx ＋b ）＝kx 2－（100k －b ）－100b ，x ∈[100，－b
k
]，
D B
A
C
P O
E