N角星的尖角度数之和

N角星的尖角度数之和

有一道这样的数学题：如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问

图1

（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；

（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．这道题实际并不难，只要利用三角形内角和定理及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的知识就可以解答。解答过程如下：

1.证明:如图①。设BD、EC的交点为F，AC、BD的交点为G；

∵∠BFC=∠B+∠E,∠DGC=∠A+∠D;

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BFC+∠DGC+∠C

∵∠BFC+∠DGC+∠C=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

2，能；如图③，设蜕变前的五角星为ABCDF,连结BC;

证明一: 在△ FBC中，∵∠F+∠FBC+∠ FCB=180 °

∴∠F+∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180 °

△EBC 中∵∠E+∠EBC ∠ECB=180 °

∴ ∠E+∠1+∠2+∠3+∠4=180 °

∴∠F+∠1+∠2+∠3 +∠4+∠5+∠6=∠E+∠1+∠ 2+∠3+∠4 ∴ ∠F+∠1+∠2+∠3+∠4=∠E+∠1+∠2

图2

∴ ∠E+ ∠EBD+∠ECA= ∠F+ ∠FBD+ ∠FCA

∴ ∠A+ D+∠E+∠EBD+∠ECA

=∠A+ D+∠F+∠FBD+∠FCA

=180 °

证明二:设BD 、AC 的交点为G ，AC 、BE 的交点为H ；

∵∠HGD=∠1+∠BHD,∠BHD=∠E+∠2;

∴∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E

=∠A+∠1+∠2+∠D+∠E

=∠A+∠AGD+∠D

=180°

作为一道数学题，本应到此为止。但解答完之后，感觉好像发现G

A

B

C D E F

图① F E 5 1 2 3 4 A B C D

6 图③ G H

了点儿什么，所以，就对N角星图案做了一下对比研究。你还别说，还真就发现了很多有意思的内容。

首先说一下由第一个问题引发的思考：五角星的五个尖角之和为180度，那么，六角星、七角星会怎么样？八角星、九角星呢？N角星呢?为了说明这个问题，先要介绍一下一个概念：芒星。芒星是由几个完全的等腰三角形（有时是正三角形）和一个正多边形组成的平面图形。等腰三角形的个数与正多边形的边数相等。任何芒星都可以一笔画出，并且起笔点和结束点在同一位置。由五个等腰三角形和正五边形组成的图形叫“五芒星”（俗称：五角星）。由六个等腰三角形和正六边形组成的图形叫“六芒星”……依此类推。另外，还要说明一下多边形的有关概念。同一平面内的若干条线段首尾顺序相接而组成的封闭图形叫做多边形。周界不自交的多边形叫做简单多边形；简单多边形应满足三个条件：1.顶点与顶点不重合；2.任何顶点都不在其他边内；3.不相邻的边也不相交。非简单多边形叫做星形多边形。比较发现，芒星和星形多边形并不是一回事。芒星并不都是星形多边形，星形多边形也并不都是芒星。为了能够看出规律，我们不妨把两种图形或者图案都叫做多角星，图形也好，图案也罢，它有几个尖角（小于平角的角）我们就叫它几角星。我们试着列举一些简单的多角星图案（形），分别计算出它们各自的尖角度数之和，看看能不能发现规律。

边数最少的正多边形应是正三角形，三芒星的图案如图3○1所示，其三个尖角之和为1800。其次是四芒星，图案如图3②，四个尖

角之和为3600。

五角星就有两种：如图4所示左边为5400、右边为1800.

.六角星两种、七角星三种如下：图下是其尖角度数之和。

7200 3600 1800 5400 9000 八角星三种，九角星四种：图下是其尖角度数之和。

3600 7200 10800 12600 9000 5400 1800 十角星四种：

3②

图

4 3①

14400 10800 7200 3600

十一角星有五种，十二角星有五种；十三角星六种，十四角星六种…，…。

设多角星的尖角个数为N ，观察上述列举结果可知，若N 为奇数，则N 角星有2

1（N-1）种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，…，…，（N-2）×1800.若N 为偶数，则N 角星有（21N-1）种，其尖角度数之和分别为2×1800,4×1800，…，…，（N-2）×1800.按此规律推算，二十九角星应该有14种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，…，…，27×1800。三十角星也应该有14种，其尖角度数之和分别为2×1800,4×1800，…，…，28×1800。

以上说的N 角星都是指正N 角星,因为正N 角星相邻各顶点所连线段组成的图形都是正多边形，只要画出N 角星的外接圆，然后数出每一个尖角的两边与圆的两个交点之间的其他尖角的顶点个数，再利用圆周角的知识很容易求出N 角星的尖角度数之和，所以上述结论不证自明。

如果N 角星发生了蜕变，即不再是正N 角星了，或者说N 角星的顶点不一定共圆了，那么，上述结论是否还成立？这时应怎样求N 角星的尖角度数之和？这是由前述蜕变的五角星问题引发的第二个思考。由于N 角星数量众多，且随着N 的增大，尖角个数相同的N

角星的种类也会越来越多，所以不能一一列举。下边仅以七角星为例，说明一下多角星尖角度数之和的求法。

七角星有三种，其中最简单的一种其实就是简单的七边形，利用三角形内角和的知识很容易求出其内角和为9000。其次是如下图（1）所示的七角星：借鉴本文开始的问题（1）中五角星的几个尖角度数之和的求法可以求出来其尖角的度数和为1800。还有一种就是下图

（2）

所示的七角星。由于此时七角星发生了蜕变，再用圆周角的知识就求不出来了。五角星的那种尖角度数和的求法也不能用了。不过，只要按照AD 、DG 、GC 、CF 、FB 、BE 、EA 的顺序添加辅助线，就会得到七个以尖角的顶点和这个角的两边与其他尖角的边的交点为顶点的三角形，同时得到一个与图（1）类似的七角星。（1）图七角星尖角度数之和为1800，所以图（2）七角星的尖角度数之和由图可知为：2

1×（7×180-180）0=5400。 当N ≥3时，任意N 角星不外乎两大类：一类是有公共边的两角的另外两边相交，另一类是不相交。求各种N 角星的尖角度数之和，相交的可以用图（1）的方法，不相交的可以用图（2）的方法。由上述计算过程可知，任意N 角星或者说蜕变N 角星与正N 角星的尖角度

数之和相等，仍然满足上述规律。这是为什么？

实际上，这一现象的背后隐藏着一个简单的规律，还以七边形为例；蜕变以后的七角星非常复杂，，但复杂的事实背后总隐藏着简单普遍的规律。物理学中有个控制变量法。即物理学中对于多因素（多变量）的问题，常常采用控制因素（变量）的方法，把多因素的问题转化成多个单因素的问题，而只改变其中的某一个因素，从而研究这个因素对事物的影响；先分别对每一个因素加以研究，最后再综合解决；这种方法叫控制变量法。它是科学探究中的一种重要思想方法，被广泛地运用在各种科学探索和科学实验的研究之中。现在我们不妨拿来一用。

如图（3），假设正七角星的顶点A蜕变到A′的位置，而其他顶点不动；从图中明显能够看出，在∠CAF蜕变到∠CA′F的同时，

∠ACF和∠AFC也在蜕变，但无论怎样蜕变，总有∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6；∠CA′F-∠CAF=∠5+∠6.也就是说，无论点A′处在什么位置，只要不在△ACF的外部，都有∠CAF+∠ACF+∠AFC=∠C A′F+∠A′FC+∠A′CF, 所以七个尖角的度数总和并没发生变化。

实际上即使点A退化到了图（4）、图（5）所示的位置时，也很容易证明七个尖角的度数之和并没有发生变化；因为△ACF和△A′CF

的内角和始终相等，都等于180°。其他顶点发生蜕变时，情形一样。

最后的结论是，任意N角星的尖角度数之和与与其对应的正N 角星的尖角度数之和相等。要求任意N角星的尖角度数之和，只需求出与其对应的正N角星的尖角度数之和。而一般情况下，利用圆周角的有关知识，正N角星的尖角度数之和是比较好求的；这也算体现了数学中的化归思想吧。

数学的殿堂总是那么绚烂多彩，引人入胜。复杂的事实背后总隐藏着简单普遍的规律。同时，看似简单问题的背后也往往透视着高深莫测的科学原理。作为一名教师，我的一贯看法是做数学题是为了学好数学，但学好数学并不是单单为了做数学题。数学从它诞生的那天起，就紧紧伴随着人类的生活、生产。一道新型的数学问题的产生，往往具有复杂的现实背景，遇到一个问题，我们不但要知道它是什么，还要知道是为什么；了解问题产生的根源，尽量研究与此有关的一系列的问题、现象；这样不但能提高我们自身分析问题、解决问题的能力，还能拓宽我们的知识面，扩大我们的知识视野；这样才能使我们对问题的理解达到举一反三、对知识的掌握达到融会贯通的效果。

时针与分针夹角的度数及例题教学文案

?如何计算时针与分针夹角的度数 一、知识预备（1）普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角； （2）钟表上的每一个大格对应的角度是：?=?3012360； （3）时针每走过1分钟对应的角度应为：?=??5.06012360； （4）分针每走过1分钟对应的角度应为：?=?660360。 二、计算举例 例1. 如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。 解析：依据常识，我们应该以时针、分针均在12点时为起始点进行 计算。由于分针在时针前面，我们可以先算出分针走过的角度，再减去 时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。 分针走过的角度为：55×6°＝330° 时针走过的角度为：?=??+??5.2375.055307 则时针与分针夹角的度数为：?=?-?5.925.237330 例2. 如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。 解析：此题中分针在时针的后面，与上题有所不同，我们应该先算出 时针走过的角度，再去减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的 度数。时针走过的角度为：?=??+??5.2175.015307 分针走过的角度为：?=??90615 则时针与分针夹角的度数为：?=?-?5.127905.217 三、总结规律 从上述两例我们可以总结出规律如下：当分针在时针前面，可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数；当分针在时针后面，可以先算出时针走过的角度，再减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。

用字母和公式表示： 当时间为m 点n 分时，其时针与分针夹角的度数为： （1）分针在时针前面： )5.0n 30m (6n ??+??-?? （2）分针在时针后面：??-??+??6n )5.0n 30m ( 依据此公式可以求出任意时刻时针与分针夹角的度数，计算起来非常便捷。如果题目中涉及到秒，我们可以先把秒换算为分，再套用上述规律和公式进行计算即可。 综合以上可得：当时间为m 点n 分时，其时针与分针夹角的度数为：|30m -5.5n | 当|30m -5.5n |结果大于180°时，时针与分针夹角的度数为360-|30m -5.5n |。 例1.如图，点C 在线段AB 上，AC = 8 cm ，CB = 6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点。 （1）求线段MN 的长； 满足AB CB acm +=，其它条件（2）若C 为线段AB 上任一点， 不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由。 （3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC CB bcm -=，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜 想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。 例2．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．⑴比较EOM ∠与FON ∠ 的大小，并说明理由；⑵EON ∠与MOF ∠的和为多少度？为什么？ 例3．如图，∠AOB 是平角，OD 、OC 、OE 是三条射线，OD 是∠AOC 的平分线， 请你补充一个条件，使∠DOE=90°，并说明你的理由。 例4.如图，∠AOB 为直角，∠AOC 为锐角，且OM 平分∠BOC ， ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数． E O F N M O D C A E B

二十八星宿值日吉凶歌诀作者

二十八星宿值日吉凶歌诀作者：道立乾坤 角木蛟半吉凶！ 角星造作主荣昌，外进田财及女郎。嫁娶婚姻生贵子，文人及第见君王。 惟有埋葬不可用，三年之内主瘟疾。起工修筑坟墓地，堂前立见主人亡。 亢金龙凶！ 亢星造作长房当，十日之中主有殃。田地消磨官失职，投军定是虎狼伤。 嫁娶婚姻用此日，儿孙新妇守空房。埋葬若是用此日，常时灾祸主重丧。 氐土貉凶！ 氐星造作主灾凶，费尽田园仓库空。埋葬不可用此日，悬绳吊颈祸重重。 若是婚姻离别散，夜招浪子入房中。行船必定遭沉没，更生聋哑子孙穷。 房日兔大吉！ 房星造作田园进，血财牛马遍山岗。更招外处田和宅，荣华富贵子孙康。 埋葬若然用此日，高官进职拜君王。嫁娶桓娥归月殿，三年抱子主朝堂。 心月狐凶！ 心星造作大为凶，更遭刑讼狱囚中。将逆官非田宅退，埋葬暴卒死相

婚姻若是逢此日，子死犯亡泪满腮。三年之内逢遭祸，事事教君没始终。 尾火虎大吉！ 尾星造作得大恩，富贵荣华福寿宁。进财进宝招田地，婚姻和合贵子孙。 若然埋葬逄此日，男清女正子孙兴。开门放水招田宅，代代公仆远播名。 箕水豹大吉！ 箕星造作最高强，岁岁年年大吉昌。埋葬修墙大吉利，田蚕牛马遍山岗， 开门放水招财谷，箧满金银谷满仓。福阴高官增禄位，六亲丰禄足安康。 斗木槲大吉！ 斗星造作主招财，文武官员位鼎台。田宅钱财千万进，坟莹修筑富贵来。 开门放水招牛马，男女旺财主和偕。遇此吉星来照护，时时福庆永无灾。 牛金牛凶！ 牛星造作主灾危，九横三灾不可推。家宅不安人口退，田蚕不利主人衰。 嫁娶婚姻皆自损，金银财谷渐不来。若是开门井放水，牛猪羊马亦伤

女土蝠凶！ 女星造作损婆娘，兄弟相嫌似虎狼。埋葬生灾逢鬼怪，颠邪疾病更瘟疾。 为事遭官财失散，泻利留连不可当。开门放水逢此日，全家散财主离乡。 虚日鼠凶！ 虚星造作主凶殃，男女孤眠不一双。内乱风声无血泪，儿孙媳妇伴人床。 开门放水招灾祸，虎咬蛇伤人卒亡。三年五载连疾病，家破人亡不可当。 危月燕凶！ 危星不可造高堂，自吊遭刑见血光。三岁孩儿遭水厄，后生出外不还乡。 埋葬若还逢此日，周年百日卧高床。开门放水遭刑杖，三年五截一悲伤。 室火猪大吉！ 室星修造进田牛，代代儿孙近王侯。富贵荣华天上至，寿如彭祖八百秋。 开门放木招财帛，和合婚姻生贵儿。埋葬若能逄此日，门庭兴旺福无休。 壁水偷大吉！

角的计算专项练习题

乘岗马中心学校2019年秋学期角的计算专项练习题 （整理人：金大雷审题人：七年级数学组） 类型1 直接计算. 1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数． 2．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求 ∠COB的度数． 3．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线． (1)如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求 ∠COD的度数； (2)如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数． 类型2 方程思想 4．一个角的余角比它的补角的 2 3 还少40°，求这个角的度数． 5．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝ 2∶3，求∠BOC的度数． 6．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD. (1)若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数． (2)若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数． 类型3 分类思想 7．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程： 题目：在同一平面上，若∠BOA＝75°，∠BOC＝22°，求∠AOC的度数， 解：根据题意可画图，所以∠AOC＝∠BOA－∠BO C＝75°－22°＝53°. 如果你是老师，能判小明满分吗若能，请说明理由；若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确 的解法．

8．已知：如图，OC是∠AOB的平分线． (1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数； (2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数； (3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示) 类型4 角度的旋转 9．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. (1)如图1. ①若∠AOC＝60°，求∠DOE的度数； ②若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数(用含α的式子表示)； (2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 七年级数学上册角的比较与运算同步练习 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5分）1°等于（） A．10′ B．12′ C．60′ D．100′ 2．（5分）下列关系式正确的是（） A．°=35°5′B．°=35°50′C．°＜35°5′D．°＞35°5′ 3．（5分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向 C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向 4．（5分）已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（） A．28° B．112°C．28°或112°D．68° 5．（5分）如图所示的是一个长方形纸片ABCD沿其上一条线EF折叠后的图形，已知∠BEF=105°，则∠B′EA等于（） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．（5分）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC=45°，则∠BOC=（）

计算角的度数.(精选)

计算角的度数 在计算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°；三角形的内角和等于180°；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形中两个锐角的和等于90°；等边三角形的每个内角等于60°． 下面我们学习如何计算角的度数． 例1如图6—1，求∠1，∠2，∠3的度数． 分析：因为∠1与130°的和 是一个平角，用180°减去130°就是∠1的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠1的度数，可以求出∠2的度数；∠2与∠3的和是180°，由此得到∠3的度数． 解：∠1=180°-130°=50° ∠2=90°-∠1=90°-50°=40° ∠3=180°-∠2=180°-40°=140° 例2如图6—2，已知∠C=25°，AD=DB=BC，求∠ADE的度数. 分析：要求∠ADE的度数，只须求∠ADC的度数，因为BD=BC，所以∠BDC=∠C，根据三角形内角和等于180°，可以求出∠DBC的度数，由于∠DBC与∠ABD的和是180°，所以∠ABD的度数可以求出，又因为AD=DB，所以∠BAD=∠ABD，再利用三角形内角和等于180°，得到∠ADB的度数，最终求出∠ADE的度数．

解：因为DB=BC 所以∠BDC=∠C=25° 在△BDC中， ∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-25°-25°=130° 又因为∠ABD+∠DBC=180° 所以∠ABD=180°-∠DBC=180°-130°=50° 因为AD=DB 所以∠DAB=∠ABD=50° 在△ADB中 ∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-50°-50°=80° 所以∠ADC=ADB+∠BDC=80°+25°=105° ∠ADE=180°-∠ADC=180°-105°=75° 说明：∠ADE=∠DAB+∠C，这并不是偶然的巧合，而是因为∠ADE与∠ADC的和是180°，∠ADC与∠C及∠DAB的和也是180°，所以∠ADE等于∠C+∠DAB．∠ADE叫做△ADC 的一个外角，由此得出一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图6—3中，∠DAC、∠ABE、∠ACF都分别叫三角形ABC的外角，而

二十八星宿日吉凶

二十八星宿日吉凶、论命及命诀 依其星宿可断每日之行事吉凶，逢其星宿所当之日出生之人能断一生吉凶。使用万年历查询当日所属的星宿，再分析讲解即可，也可使用以下对照表。 二十八星宿查对表 正月二月三月四月五月六月七月八月九月十月十一十二 初一室奎胄毕参鬼张角氐心斗虚 初二壁娄昴觜井柳翼亢房尾女危 初三奎胄毕参鬼星轸氐心箕虚室 初四娄昴觜井柳张角房尾斗危壁 初五胄毕参鬼星翼亢心箕女室奎 初六昴觜井柳张轸氐尾斗虚壁娄 初七毕参鬼星翼角房箕女危奎胄 初八觜井柳张轸亢心斗虚室娄昴 初九参鬼星翼角氐尾女危壁胄毕 初十井柳张轸亢房箕虚室奎昴觜 十一鬼星翼角氐心斗危壁娄毕参 十二柳张轸亢房尾女室奎胄觜井 十三星翼角氐心箕虚壁娄昴参鬼 十四张轸亢房尾斗危奎胄毕井柳 十五翼角氐心箕女室娄昴觜鬼星 十六轸亢房尾斗虚壁胄毕参柳张 十七角氐心箕女危奎昴觜井星翼 十八亢房尾斗虚室娄毕参鬼张轸 十九氐心箕女危壁胄觜井柳翼角 二十房尾斗虚室奎昴参鬼星轸亢 二一心箕女危壁娄毕井柳张角氐 二二尾斗虚室奎胄觜鬼星翼亢房 二三箕女危壁娄昴参柳张轸氐心 二四斗虚室奎胄毕井星翼角房尾 二五女危壁娄昴觜鬼张轸亢心箕 二六虚室奎胄毕参柳翼角氐尾斗 二七危壁娄昴觜井星轸亢房箕女 二八室奎胄毕参鬼张角氐心斗虚 二九壁娄昴觜井柳翼亢房尾女危 三十奎胄毕参鬼星轸氐心箕虚室 论命的讲解： 【虚】虚日鼠凶．名盖延。 虚星造作主灾殃．男女孤眠不一双．内乱风声无礼节．儿孙媳妇伴人床．开门放水遭灾殃．虎咬蛇伤又卒亡．三三五五连病疾．家破人亡不可当．忌：开门放水，不论何事，小心退守则吉。 此日出生之人薄福，又好与人争而惹祸，万事要小心谨慎，要注意。【危】危月燕凶．名坚铎。 危星不可造高楼．自遭刑吊见血光．三年孩儿遭水厄．后生出外不还乡．

角和角的比较知识归纳及经典习题

角（基础）知识讲解 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图1 图2 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 1.下列语句正确的是( C )

A．两条直线相交，组成的图形叫做角． B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角． 【答案】 【解析】根据角的定义判断 【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别． 举一反三： 【变式】判断下列说法是否正确 (1)两条射线组成的图形叫做角( ×) (2)平角是一条直线( × ) (3)周角是一条射线( × ) 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°). 【答案与解析】 解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C． (2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE． (3)图中共有7个角． 【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角． 已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？ 分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。数角的时候要按一定的顺序，从OE边开始数，这样可得到4+3+2+1个角，所以，这5条射线共组成角的个数为10个角。 公式为：2)1 ( n n 。同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101

二十八星宿值日吉凶歌

二十八星宿值日吉凶歌 角木蛟——嫁娶婚姻生贵子，文人及第见君王。 亢金龙——嫁娶婚姻用此日，儿孙新妇守空房。 氐土貉——婚姻逢此必离散，夜招浪荡适房中。 房日兔——修造埋葬家大王，婚姻合和壮人丁。 心月狐——婚姻若是逢此日，子四儿往泪满胸。 尾火虎——招财进宝田宅旺，和合婚姻生贵子。 萁水豹——福禄高官加禄位，六亲逢禄足安康。 斗木蟹——逢此喜星来保护，时多福护永无穷。 牛金牛——修造移徙皆不利，迎婚嫁娶主悲哀。 女土蝠——开张移徙须当忌，婚姻无子主贫穷。 虚日鼠——此星值日不用问，婚姻并子单亡身。 危月燕——葬埋必主三人死，嫁娶须妨重丧丘。 室火猪——葬埋起造多安太，婚姻偕老永和同。 璧水狳——兴工起造家富豪，祭祀婚姻和合成。 娄金狗——娄星值日妙难言，婚姻安康福寿全。 奎木狼——奎星造作得祯祥，家下荣合大吉昌。 胃土雉——婚娶开张合和顺，葬埋修造任兴工。 昴日鸡——婚姻不可逢此日，生离死休实可怨。 参水猿——婚姻定许相行克，男女朝开暮落死。 嘴火猴——婚姻定是无男女，横祸临身罪不轻。 毕月乌——婚姻若是逢此日，生得儿女福寿长。 井木干——井星造作旺田蚕，金榜显名第一先。 鬼金羊——此星起造主人亡，嫁娶夫妇不久长。 柳木獐——田园退尽守孤寒，妇人逐客流人缘。 星日马——生离死别无心恋，自要妇休外家郎。 张月鹿——开门放水招财币，婚姻和合福绵绵。 翼火蛇——祭祀葬埋俱有破，嫁娶婚姻福自消。 轸水蚓——轸星值日更可夸，祭祀婚姻人口加。 二十八宿原是二十八星宿的名稱，古代的人因晚上沒有太陽來確定方位，因此利用二十八宿星來辨認方向。 二十八宿星依序為： 虛、危、室、壁、奎、婁、胃、昴、畢、觜、參、井、鬼、柳、星、張、翼、軫、角、亢、氐、房、心、尾、箕、斗、牛、女。 週而復始從虛宿依序排列。 二十八宿四季宜忌： 春三月：宜用四木宿吉，忌用四土宿。 夏三月：宜用四火宿吉，忌用四金宿。 秋三月：宜用四金宿吉，忌用四木宿。 冬三月：宜用四水宿吉，忌用四火宿。 依其星宿可斷其日之行事吉凶，逢其星宿出生之人能斷一生吉凶。

北师大版七年级数学上册《角的比较》典型例题(含答案)

《角的比较》典型例题 例1 如图，求解下列问题： （1）比较AOC ∠、 、 、的大小，并找出其中的锐角、直 ∠ AOE AOD AOB∠ ∠ 角、钝角、平角； （2）在图中的角中找出三个等量关系． 例2 如图，求解下列问题 （1）比较COD ∠的大小； ∠和COE （2）借助三角尺，比较EOD ∠和COD ∠的大小； （3）用量角器度量，比较BOC ∠的大小． ∠和COD 例3 根据图，回答下列问题 （1）AOC ∠是哪两个角的和？ （2）AOB ∠是哪两个角的差？ （3）如果COD ∠的大小关系如何？ ∠与DOB AOB∠ = ∠，那么AOC

例4 李明这样给直角定义：“小于钝角而大于锐角的角”，你认为对吗？为什么？ 例5 下列三个说法是否正确？ （l）两条射线组成的图形叫做角； （2）平角是一条直线； （3）周角是一条射线。

参考答案 例1 分析A O B ∠是直角，AOE ∠是锐角这就 ∠是钝角，AOD ∠是平角，AOC 找到了这几个角的大小关系；相等关系通过观察图也容易找到，如：∠ = ∠ + EOD DOC . COE∠ 解（1）由图可以看出，AOE ∠ > ∠； > > ∠ AOC AOD AOB∠ （2）等量关系有： ∠ ∠ ∠ = + = = 2 , 2 ∠ ∠, ∠ BOD AOD AOB ∠ AOE EOD DOC AOD = ∠ + EOD COE∠，…． 说明：（1）如果已知角是锐角、直角、周角、平角，我们就以直接由它们之间的关系比较出它们的大小；（2）如果两个直角有一条公共边，并且另一边都在公共边的同侧，根据图形也能观察出两个角的大小． 例 2 分析（1）是显然的；（2）通过度量也容易得出结论；（3）我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角大的度数，就可以达到比较的目的．解（1）由图可以看出，COE ∠； < COD∠ （2）用三角尺中30°的角分别和这两个角比较， 可以发现? , EOD，所以COD ∠30 30COD < ? > ∠ ∠； BOD∠ < （3）通过度量可知：? , 46COD = ∠44 BOC，所以，COD ∠ ? = ∠． > BOC∠说明：当借助三角尺比较两个角的大小时我们选择的三角尺的角要适当；当两个角的大小非常接近时，我们可以借助量角器来比较这两个角的大小． 例3 解：（1）AOC ∠的和. ∠与BOC ∠是AOB （2）AOB ∠与BOD ∠是AOD ∠的差. ∠的差，或AOB ∠是AOC ∠与BOC （3）因为COD ∠， AOB∠ = 所以BOC ∠，即DOB + AOC∠ ∠ ∠. = BOC = AOB∠ COD + ∠ 说明：等式的性质也适用于几何中的量，如长度、角度等等. 例4 解：不对！因为我们是按这样的顺序来定义角的概念的：由角→平角与周角→直角→锐角与钝角. 几何里我们是用前面已学的概念来说明后面未学的概念，一环扣一环，形成按角的大小分类的各个概念的结构. 锐角、钝角已经用直角的概念来说明它们的特征了，故再用锐角、钝角的概念来描述直角，就犯了循

角的计算专题

角的计算专题 例1.如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针方向旋转．当OC与OA成180°时，OC与OD 同时停止旋转． （1）当OC旋转10秒时，∠COD= °． （2）当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间． （3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间． 例2.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． （1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=??__??；若∠AOC=135°，则∠ BOD=????____； （2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD=????___； （3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由． （4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由 例3.（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平 分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数； （2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD 与∠BOC．求∠EOF的度数； （3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线 OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD 与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC= _______ ．（用含α与β的代数式 表示） 例4.如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE 上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB=30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD 上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由． （2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE=140°． ①则当旋转时间t= 秒时，边AB所在的直线与OC平行？

线段和角经典习题

练习 一、直线、射线、线段 1.(1) 直线L 上任取两个点最多有几条线段（2）任取 3 个点最多有几条线段 （3）任取n 个点，最多有几条线段呢(3) 平面上有 3 条直线最多能把平面分成几部分 (4)n 条直线呢 3、观察图中的图形, 并阅读图形下面的相关文 变式：线段上有n 个点，可以得到多少条线段两条直线相交, 最多有1个交点. 三条直线相交, 最多有3个交点. 字: 四条直线相交, 最多有6个交点. 2、平面上有一个点，过这一点可以画条直线． 若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是； 若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．若平面上有n 个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．像这样,10 条直线相交, 最多交点的个数是( ) 个个个个 4、与线段中点有关的问题 线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这 A M B 个点叫做线段的中点 3、(1) 平面上有 1 条直线把平面分成几部分图形语言：几何语言：∵M 是线段AB的中点 (2) 平面上有 2 条直线把平面分成几部分∴AM BM 1 AB ，2 AM 2 2BM AB

典型例题： 1. 由下列条件一定能得到“P 是线段AB的中点”的是（）5. 把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是( ) A．两点可以确定一条直线 B ．线段有两个端点 （A）AP=1 AB 2 （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB= 1 AB 2 C．两点之间，线段最短 D ．线段可以比较大小 2. 若点 B 在直线AC上，下列表达式：① AB ④AB+BC=A．C 1 AC ；②AB=BC；③AC=2AB； 2 6、如图，在平面内有A、B、C三点 C （1））画直线A C、线段B C、射线BA； A （2））取线段BC的中点D，连接AD； 其中能表示 B 是线段AC的中点的有（） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个D．4 个 3. 已知线段MN，P 是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= MN． 4. 如图所示，B、C 是线段AD 上任意两点，M是AB 的中点，N 是CD中点， 若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）（3））延长线段CB到E，使EB=CB，并连接AE。 B 6、如图，点C在线段AB上，AC = 8 厘米，CB = 6 厘米，点M、N 分别是A C、BC的中点。 （1）求线段MN的长； （2）若 C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB = a 厘米，其它条件不变，你 A M B C N D 能猜想MN的长度吗并说明理由。 A 2 （a-b ） B 2a-b C a+b D a-b 5、点A、B 是平面上两点，AB=10cm，点P 为平面上一点，若PA+PB=20cm，则P 点（） A. 只能在直线AB外 B. 只能在直线AB 上 C. 不能在直线AB上 D. 不能在线段AB上（3）若 C 在线段AB 的延长线上，且满足AC BC= b 厘米，M、N 分别为A C、BC的中点，你能猜想MN的长度吗请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

二十八星宿吉凶

二十八星宿吉凶 二十八星宿 , 又名二十八舍或二十八星 , 它把南中天的恒星分为二十八群 , 且其沿黄道或天球赤道(地球赤道延伸到天上)所分布的一圈星宿，它分为四组，又称为四象、四兽、四维、四方神，每组各有七个星宿，其起源至今尚不完全清楚。 最初是古人为比较日、月、金、木、水、火、土的运动而选择的二十八个星官，作为观测时的标记。“宿”的意思和黄道十二宫的“宫”类似，是星座表之意。表示日月五星所在的位置。到了唐代，二十八宿成为二十八个天区的主体，这些天区仍以二十八宿的名称为名称，和三垣的情况不同，作为天区，二十八宿主要是为了区划星官的归属。 二十八宿从角宿开始，自西向东排列，与日、月视运动的方向相同: 东方称青龙:角木蛟亢金龙氐土貉房日兔心月狐尾火虎箕水豹; 南方称朱雀:井木犴鬼金羊柳土獐星日马张月鹿翼火蛇轸水蚓; 西方称白虎:奎木狼娄金狗胃土雉昴日鸡毕月乌觜火猴参水猿; 北方称玄武:斗木獬牛金牛女土蝠虚日鼠危月燕室火猪壁水獝。 东方青龙七星宿 : 箕、尾、心、房、氐、亢、角 南方朱雀七星宿 : 井、鬼、柳、星、张、翼、轸 西方白虎七星宿 : 奎、娄、胃、昂、毕、觜、参 北方玄武七星宿 : 斗、牛、女、虚、危、室、壁青龙七宿:角木蛟亢金龙氐土貉房日兔心月狐尾火虎箕水豹白虎七宿:奎木狼娄金狗胃土雉昂日鸡毕月乌觜火猴参水猿朱雀七宿:井木犴鬼金羊柳土獐星日马张月鹿翼火蛇轸水蚓玄武七宿:斗木獬牛金牛女土蝠虚日鼠危月燕室火猪壁水獐

二十八宿原是二十八星宿的名称，古代的人因晚上没有太阳来确定方位，因此利用二十八宿星来辨认方向。 二十八宿星依序为: 虚、危、室、壁、奎、娄、胃、昴、毕、觜、参、井、鬼、柳、 星、张、翼、轸、角、亢、氐、房、心、尾、箕、斗、牛、女。

二十八星宿日论命吉凶

二十八星宿日论命吉凶 论命及命诀依其星宿可断每日之行事吉凶，逢其星宿所当之日出生之人能断一生吉凶。使用万年历查询当日所属的星宿，再分析讲解即可，也可使用以下对照表。二十八星宿查对表 正月二月三月四月五月六月七月八月九月十月十一十二 初一室奎胄毕参鬼张角氐心斗虚 初二壁娄昴觜井柳翼亢房尾女危 初三奎胄毕参鬼星轸氐心箕虚室 初四娄昴觜井柳张角房尾斗危壁 初五胄毕参鬼星翼亢心箕女室奎 初六昴觜井柳张轸氐尾斗虚壁娄 初七毕参鬼星翼角房箕女危奎胄 初八觜井柳张轸亢心斗虚室娄昴 初九参鬼星翼角氐尾女危壁胄毕 初十井柳张轸亢房箕虚室奎昴觜 十一鬼星翼角氐心斗危壁娄毕参 十二柳张轸亢房尾女室奎胄觜井 十三星翼角氐心箕虚壁娄昴参鬼 十四张轸亢房尾斗危奎胄毕井柳 十五翼角氐心箕女室娄昴觜鬼星 十六轸亢房尾斗虚壁胄毕参柳张 十七角氐心箕女危奎昴觜井星翼 十八亢房尾斗虚室娄毕参鬼张轸 十九氐心箕女危壁胄觜井柳翼角

二十房尾斗虚室奎昴参鬼星轸亢 二一心箕女危壁娄毕井柳张角氐 二二尾斗虚室奎胄觜鬼星翼亢房 二三箕女危壁娄昴参柳张轸氐心 二四斗虚室奎胄毕井星翼角房尾 二五女危壁娄昴觜鬼张轸亢心箕 二六虚室奎胄毕参柳翼角氐尾斗 二七危壁娄昴觜井星轸亢房箕女 二八室奎胄毕参鬼张角氐心斗虚 二九壁娄昴觜井柳翼亢房尾女危 三十奎胄毕参鬼星轸氐心箕虚室 论命的讲解： 【虚】虚日鼠凶．名盖延。虚星造作主灾殃．男女孤眠不一双．内乱风声无礼节．儿孙媳妇伴人床． 开门放水遭灾殃．虎咬蛇伤又卒亡．三三五五连病疾．家破人亡不可当． 忌：开门放水，不论何事，小心退守则吉。 此日出生之人薄福，又好与人争而惹祸，万事要小心谨慎，要注意。 【危】危月燕凶．名坚铎。危星不可造高楼．自遭刑吊见血光．三年孩儿遭水厄．后生出外不还乡． 埋葬若还逢此日．周年百日卧高床．三年五载一悲伤．开门放水到官堂． 宜：出行、纳财。 忌：起造、埋葬、开门、放水，其它要戒慎。 此日出生之人希望可达成，但中途多挫折。 【室】室火猪吉．名耿纯。室星修造进田牛．儿孙代代近王侯．富贵荣华天上至．寿如彭祖八千秋． 开门放水招财帛．和合姻婚生贵儿．埋葬若能依此日．门庭兴旺福无休． 宜：婚礼、移徒、建造、祭祀、掘井。

七年级角的计算的方法技巧 -

图形认识—角的计算 1.如图，OC 平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若∠AOD=114°，求∠BOC 的度数？ 2. 如图所示, 直线AB 、CD 相交于O, OE 平分∠AOD, ∠FOC=900 , ∠1=400 , 求∠2和∠3的度数. 3.如图，已知2BOC AOC =∠∠，OD 平分AOB ∠，且20COD =∠，求AOB ∠的度数． 4.如图,O 是直线AB 上一点,OC 为任一条射线,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC. ⑴指出图中∠AOD 与∠BOE 的补角; ⑵试说明∠COD 与∠COE 具有怎样的数量关系. 5．已知∠AOB = 50°，∠BOD= 3∠AOB ，OC 平分∠AOB ，OM 平分∠AOD ，求∠MOC A B C D O A C D B A B C D E

的度数。 6．已知∠COD = 30°，∠AOC = 90°，∠BOD =80°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。 7．如图，OC平分∠AOD，OE是∠BOD的平分线，如果∠AOB=130o，那么∠COE是多少度？ 8．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90o，求这个角。 9．（1）如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD 是_________度. . (2)如图，∠AOB＝600，OD 、OE分别平分∠ ∠AOC，那么∠EOD＝0． 10、如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA E A D C O B

11．如图所示，OE ，OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，且∠AOB=90°； （1）如果∠BOC=40°，求∠EOD 的度数； （2）如果∠EOD=70°，求∠BOC 的度数。 12、如图，∠AOB 为直角，∠AOC 为锐角，且OM 平分∠BOC ， ON 平分∠AOC ，求∠MON 的 度数． O A E B D C

有关角的计算题及解析

有关角的计算题及解析 一．解答题（共12小题） 1．如图，∠AOC，∠BOD都是直角； （1）求∠AOD+∠BOC； （2）若∠AOB与∠AOD的度数比是2：11，求∠AOD的度数． 2．某校研究性学习小组在学习完有关交的知识后，利用两个直角∠AOC与∠BOD开展了一下的探究性学习：（1）如图1，∠AOC=∠BOD=90°，通过观察他们发现∠COD与∠BOA互为补角，请你帮他们说明理由； （2）分别作∠AOC与∠BOD的平分线OM、ON，得到如图2，他们发现了∠COD与∠MON互为余角，请你帮他们说明理由．

∠BON= 3．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． （1）写出图中与∠AOD互补的角是：∠BOD，∠C0D；与∠BOE互补的角是：∠AOE，∠COE． （2）求∠DOE的度数． ∠COD= COD=AOC+∠COB=∠ 4．如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC=90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．

∠ BOM= AOB+ AON=∠AOC= 5．如图，OA⊥OD，OC⊥OB． （1）∠AOC与∠BOD相等吗？请说明理由．（2）若∠AOB=130°，求∠COD和∠AOC的度数．

6．如图，A，O，B在一条直线上，AB⊥OD，且∠AOC=∠EOD． （1）若∠BOE是它的余角的一半，求∠DOE的大小； （2）若∠AOC：∠COB=1：2，求∠EOB的大小． BOE=∠DOE=∠ DOE=∠ 7．如图，∠AMB=90°，∠CMD=90°，ME、MF分别是射线MA、MD的反向延长线．（1）图中哪些角是∠EMF的余角？为什么？ （2）∠EMF与∠BMC是否相等？为什么？

计算角的度数

在计算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是180°；周角的度数是360°；直角的度数是90°；三角形的内角和等于180°；等腰三角形的两个底角相等；直角三角形中两个锐角的和等于90°；等边三角形的每个内角等于60°．下面我们学习如何计算角的度数．例1 如图6—1，求∠1，∠2，∠3的度数．分析：因为∠1与130°的和是一个平角，用180°减去130°就是∠1的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠1的度数，可以求出∠2的度数；∠2与∠3的和是180°，由此得到∠3的度数．解：∠1=180°-130°=50°∠2=90°-∠1=90°-50°=40°∠3=180°-∠2=180°-40°=140°例2 如图6—2，已知∠c=25°，ad=db=bc，求∠ade的度数.分析：要求∠ade的度数，只须求∠adc的度数，因为bd=bc，所以∠bdc=∠c，根据三角形内角和等于180°，可以求出∠dbc的度数，由于∠dbc与∠abd的和是180°，所以∠abd的度数可以求出，又因为ad=db，所以∠bad=∠abd，再利用三角形内角和等于180°，得到∠adb的度数，最终求出∠ade的度数．解：因为db=bc 所以∠bdc=∠c=25°在△bdc中，∠dbc=180°-∠c-∠bdc=180°-25°-25°=130°又因为∠abd+∠dbc=180°所以∠abd=180°-∠dbc=180°-130°=50°因为ad=db所以∠dab=∠abd=50°在△adb中∠adb=180°-∠dab-∠abd=180°-50°-50°=80°所以∠adc=adb+∠bdc=80°+25°=105°∠ade=180°-∠adc=180°-105°=75°说明：∠ade=∠dab+∠c，这并不是偶然的巧合，而是因为∠ade与∠adc的和是180°，∠adc与∠c及∠dab的和也是180°，所以∠ade等于∠c+∠dab．∠ade叫做△adc的一个外角，由此得出一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图6—3中，∠dac、∠abe、∠acf都分别叫三角形abc的外角，而∠dac=∠abc+∠acb∠abe=∠bac+∠acb∠acf=∠abc+∠cab例3 如图6—4，已知：∠acb=3∠a=6∠b，de⊥ab，求∠d的度数．分析：在△abc中，由∠a、∠b、∠acb的关系及它们的和等于180°，可以得出∠b的度数，在直角三形deb中，∠d 与∠b的和是90°，可以得出∠d的度数．解：在△abc中∠a+∠b+∠acb=180°因为3∠a=6∠b，所以∠a=2∠b，又∠acb=6∠b，所以2∠b+∠b+6∠b=180°9∠b=180°∠b=20°在直角三角形deb中，因为∠d+∠b=90°所以∠d=90°-∠b=90°-20°=70°．例4 同样大小的12个正方形，如图6—5那样排列起来，∠abc是多少度？分析：要求∠abc的度数，似乎无从下手，但仔细观察图形特点，如果将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°，如图6—6，点d移到点e，ab与ac重合，得到△abc是直角三角形，并且ab=ac，这样容易求出∠abc的度数．解：将直线ab经过的三个小正方形绕点a逆时针旋转90°，则△abd与△ace重合，即△abc是直角三角形，且ab=ac，所以∠abc=∠acb=45°．例5 将正方形abcd 对半折叠后，折线为ef，如图6—7，将b点利用折线移到ef上，折线为cp，求∠1、∠2的度数．分析：以cp为折线折叠后点b移到点m，如图6—8，以ef为折线折叠后，点b与c重合，所以mb=mc，又因为以cp为折线折叠后，点b与m重合，所以bc=mc，∠1=∠3，于是由mb=mc=bc知，△mbc是等边三角形，所以∠1+∠3=60°，可以求出∠1的度数．而在△abm中，由于mb=bc知，mb=ab，所以△abm是等腰三角形，由∠mbc的度数可以求出∠abm 的度数，这样便可以求出∠bam的度数，最终可以求出∠2的度数．解：因为以ef为折线折叠后，b与c重合，所以mb=mc，以cp为折线折叠后，b与m重合，所以bc=mc，∠1=∠3，由mb=mc=bc知，△mbc是等边三角形，所以2∠1=60°，即∠1=30°．在△abm中，因为mb=ab，所以，△abm是等腰三角形，所以∠abm=90°-∠mbc=90°-60°=30°∠bam=（180°-30°）÷2=75°∠2=90°-∠bam=90°-75°=15°．例 6 如图6—9，已知△abc是等边三角形，d 是ac中点，e是状．分析：由于△abc是等边三角形，所以∠3=60°，如果能设法求出∠2的度数，就可以求出∠e的度数．解：因为△abc是等边三角形，所以∠abc=∠acb=60°．因为d是ac中点，ab=bc，所以以bd为折线折叠的话，必然a与c重合，因由于∠3=∠2+∠e 由∠1=∠e知db= de，所以△dbe是等腰三角形．

二十八星宿吉凶释义

二十八星宿吉凶释义 【虚】虚日鼠凶．名盖延。 虚星造作主灾殃．男女孤眠不一双． 内乱风声无礼节．儿孙媳妇伴人床． 开门放水遭灾殃．虎咬蛇伤又卒亡． 三三五五连病疾．家破人亡不可当． 【释义】虚星造作则有灾殃，男女相克无法成双。家庭不和睦，而且儿孙媳妇都不守节操，甚至乱了伦理。假如开门放水更有灾祸，损人口，有伤亡，疾病接二连三，直至家破人亡。 忌：开门放水，不论何事，小心退守则吉。 此日出生之人薄福，又好与人争而惹祸，万事要小心谨慎，要注意。 【危】危月燕凶．名坚铎。 危星不可造高楼．自遭刑吊见血光． 三年孩儿遭水厄．后生出外不还乡． 埋葬若还逢此日．周年百日卧高床． 三年五载一悲伤．开门放水到官堂． 【释义】危星造作则有刑吊及血光之灾，三年内孩子会遭水厄，损人口，年青出外不归家。若行埋葬则更悲伤，周年或百日年长的有灾厄，要是开门放水，则会上官堂(打官司)。 宜：出行、纳财。 忌：起造、埋葬、开门、放水，其它要戒慎。

此日出生之人希望可达成，但中途多挫折。 【室】室火猪吉．名耿纯。 室星修造进田牛．儿孙代代近王侯． 富贵荣华天上至．寿如彭祖八千秋． 开门放水招财帛．和合姻婚生贵儿． 埋葬若能依此日．门庭兴旺福无休． 【释义】室星修造则大吉利，富贵荣华，而且财源广进，长寿。开门放水则可招财进宝，行婚礼则可生贵子。要是行埋葬则子孙兴旺、福禄无穷。 宜：婚礼、移徒、建造、祭祀、掘井。 忌：丧仪。 此日出生之人少年不如意，老而有望，旅行中往往有失物之虑，要注意。 【壁】壁水俞吉．名臧宫。 壁星造作主增财．丝蚕大熟福滔天． 奴婢自来人口进．开门放水出英贤． 埋葬招财官品进．家中诸事乐陶然． 婚姻吉利生贵子．早播名声着祖鞭． 【释义】璧星造作可招进财、财源广进，事业有成。开打放水则后代贤能，埋葬则可招财，并且有利于仕途，家庭生活幸福美满。如果行婚礼则大吉利，早生贵子而有名声。 宜：婚礼、建造、埋葬。 忌：往南方凶。

角的相关计算和证明(习题)

角的相关计算和证明（习题） ? 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______． 思路分析 ①读题标注： ②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°． （思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．） ? 巩固练习 1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______． A B C D E 2 1 C B A 第1题图 第2题图 2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠ 1+∠2=____________． 3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ） 80° 20° A C E D D E C A

A ．120° B ．115° C ．110° D ．105° D C B A E F E F A 第3题图 第4题图 4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠ D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ． 求证：∠A =2∠BCD ． D C B A 证明：如图， 设∠BCD =α ∵CD ⊥AB （已知） ∴∠BDC =90° （垂直的定义） ∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换） ∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD 6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ． 求证：AD ∥BC ． A D