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导数与函数的零点讲义

【题型一】函数的零点个数

【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。

【例1】已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m

与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m

的取值范围。

变式：已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程

()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根，则

【答案】 -8

【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以

．

【题型二】复合函数的零点个数

复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。

【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况第二步：再判断()f x d =的零点个数情况

【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数

1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数

322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两

个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈:

【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点

【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：

如果函数()f x 在区间[]a b ，上是一条连续不断曲线，并且()()0f a f b ?<，则函数()f x 在区间()a b ，上至少有一个零点。即存在一点()0x a b ∈，，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.

（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：

如果函数()f x 在区间[]a b ，上是单调函数，并且()()0f a f b ?<，则函数()f x 在区间

()a b ，上至多有一个零点。

【例3】设函数3

9()62

f x x x x a =-

+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．

变式：设函数()ln f x x =，()a

g x x

=，()()()F x f x g x =+。

若方程()f x mx =在区间2[1

,]e 上有唯一实数解，求实数m 的取值范围；

解析：方程

()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解等价于

方程ln x m x

=在区间2

[1,]e 上有唯一实数解。

记2ln ()

[1,]x h x x e x =

∈，则2

1ln ()x

h x x

-'=，令()0h x '=，得：x e =，当[1,]x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增；

当2

[,]x e e ∈时，()0h x '<，()h x 递减。所以max 1

()()h x h e e

。易求得：(1)

0h =，22

2()h e e =

。

为使方程ln x m x

=在区间2

[1,]e 上有唯一实数解，

则直线y

m =与函数ln ()x

y h x x

的图象有唯一交点，根据()h x 的图象可知：1m e = 或 2

0m e

≤<。

故m 的取值范围是2210,e e ?

????????

???U 。

【例4】已知函数()x

f x e mx =-在上没有零点，求的取值范围；

【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点

【例5】（2013·江苏卷）设函数，，其中为实数．若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

基础练习：

1．己知()ln x

f x a x a =--e ，其中常数0a >．（1）当a =e 时，求函数()f x 的极值；

2．已知函数f （x ）＝12m （x －1）2

－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．当m ＞0时，若曲线y ＝f （x ）在

点P （1，1）处的切线l 与曲线y ＝f （x ）有且只有一个公共点，求实数m 的值．

3．已知函数1

()1x f x x e

=-+

(a R ∈,e 为自然对数的底数).若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.

4．已知函数f （x ）=13x 3+1－a 2x 2

-ax -a ,x ∈R,其中a >0．若函数f （x ）在区间（-2,0）内恰

有两个零点,求a 的取值范围；

5．设1a >，函数a e x x f x

-+=)1()(2． (1) 求)(x f 的单调区间；

(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；

参考答案与解析

【例1】解析：（1）'

()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时，对x R ∈，有'

()0,f x > 当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时，由'

()0f x >解得x

由'

()0f x <解得x <<

当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为

(。

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以'

(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴= 所以3

()31,()33,f x x x f x x =--=- 由'

()0f x =解得121,1x x =-=。

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，

(3)171f =>，

结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。【例2】令3()3f x x x d =-=，则：

()(())()h x f f x c f d c =-=-

(1)先讨论关于d 的方程()=c f d 即33d d c -=根的情况：[]2, 2c ∈-

Q 2()333(1)(1)f d d d d '=-=-+

∴()f d 在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,1-单调递减，在区间()1,+∞单调递增。

()(1)2f d f ==-极小值 ()(1)2f d f =-=极大值

描绘出函数的草图，并据草图可得：方程()=c f d 根的情况如下表所示：

(2)下面考虑方程()f x d =即33x x d -=根的情况：

据上述表格及图形()f x d =和()=c f d 的根的情况如下表

综上所述：

当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。

【例3】解：(1) '

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,

因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 2

39(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-

，即m 的最大值为34

- (2) 因为当1x <时, '

()0f x >;当12x <<时, '

()0f x <;当2x >时, '

()0f x >; 所以当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =

-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或

a >

. 【例4】方法一：当，可得，因为，所以， ①当时，，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而． ②当时，由，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以函数在上有最小值为，令，解得，所以．综上所述，．方法二：当， ①当时，显然不成立；

②当且时，，令，则，当时，，函数单调递减，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，由题意知．

【例5】≥0在上恒成立，则≤e x

，故：≤1e ．

．

（ⅰ）若0＜≤1e ，令＞0得增区间为（0，1

a ）；

令＜0得减区间为（1

，﹢∞）．

当x →0时，f （x ）→﹣∞；当x →﹢∞时，f （x ）→﹣∞；当x ＝1a 时，f （1a ）＝﹣ln a －1≥0，当且仅当＝1

e 时取等号．

故：当＝1e 时，f （x ）有1个零点；当0＜＜1

e 时，

f （x ）有2个零点．

（ⅱ）若a ＝0，则f （x ）＝﹣ln x ，易得f （x ）有1个零点．（ⅲ）若a ＜0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，

当x →0时，f （x ）→﹣∞；当x →﹢∞时，f （x ）→﹢∞．此时，f （x ）有1个零点．

综上所述：当＝1e 或a ＜0时，f （x ）有1个零点；当0＜＜1

e 时，

f （x ）有2个零点．

练习1、【答案】（1）()f x 有极小值0，没有极大值【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

（1）当e a =时，()e eln e x

f x x =--，e ()e x

f x x

'=-

，而e

()e x

f x x

'=-

在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=，当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；

当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值

(1)0f =，没有极大值．

2、【解析】由f′（x ）＝mx －m －2＋1

，得f′（1）＝－1，

所以曲线y ＝f （x ）在点P （1，1）处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2．由题意得，关于x 的方程f （x ）＝－x ＋2有且只有一个解，

即关于x 的方程12m （x －1）2

－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．

令g （x ）＝12

m （x －1）2

－x ＋1＋ln x （x ＞0）．

则g′（x ）＝m （x －1）－1＋1x ＝mx 2

－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)

（x ＞0）．

①当0＜m ＜1时，由g′（x ）＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g′（x ）＜0得1＜x ＜1m

，

所以函数g （x ）在（0，1）为增函数，在（1，1m ）上为减函数，在（1

，＋∞）上为增函数．

又g （1）＝0，且当x →∞时，g （x ）→∞，此时曲线y ＝g （x ）与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意．

②当m ＝1时，g′（x ）≥0，g （x ）在（0，＋∞）上为增函数，且g （1）＝0，故m ＝1符合题意．

③当m ＞1时，由g′（x ）＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g′（x ）＜0得1

＜x ＜1，

所以函数g （x ）在（0，1m ）为增函数，在（1

，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函

数．

又g （1）＝0，且当x →0时，g （x ）→－∞，此时曲线y ＝g （x ）与x 轴有两个交点．故m ＞1不合题意．

综上，实数m 的值为m ＝1． 3、【答案】解: 当1a =时,()1

f x x e =-+ 令()()()()111x

g x f x kx k x e

=--=-+

, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1

11101k g k e -??

=-+<

?-??

, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤. 又1k =时,()1

0x g x e

>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.

解法二:

(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e

=-+

. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程1

11x

kx x e -=-+

在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e

(*)

在R 上没有实数解.

①当1k =时,方程(*)可化为

0x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为1

x xe k =-.

令()x

g x xe =,则有()()1x

g x x e '=+.

令()0g x '=,得1x =-,

当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:

当1x =-时,()min g x e

,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ??-+∞????

所以当

11,1k e ?

?∈-∞- ?-??

时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.

5、【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；【解析】（1）依题()()()()()2

'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥，

∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；（2）∵ 1a >，

∴ ()010f a =-<且()()

22110a f a a e a a a =+->+->， ∴ ()f x 在()0,a 上有零点，

又由（1）知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数，

()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点；

【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识．

【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出()f x 的导数，第（2）问首先要说明()0,a 内有零点再结合函数在(),-∞+∞单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得()2

1m m e a e

+=-

对比要证明的结论后要能认清1m e m ≥+的放缩作用并

利用导数证明1m e m ≥+成立，则易证1m ≤-．

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0