微分方程的基础知识与练习
微分方程的基础知识与练习
（一）微分方程基本概念：
首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足
x dx
dy
2= （1） 同时还满足以下条件：
1=x 时，2=y （2）
把（1）式两端积分，得
?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）
其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式，得
1=C ，
由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：
12+=x y （4）
（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度
2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了
多少路程？
解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运
动规律的函数)(t s s =满足：
4.02
2-=dt s
d （5） 此外，还满足条件：
0=t 时，20,0==
=dt
ds
v s （6）
(5)式两端积分一次得：
14.0C t dt
ds v +-== （7）
再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8）
其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得
0 ,2021==C C
把21,C C 的值代入（7）及（8）式得
,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）
在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：
)(504
.020
s t ==
。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程
).(5005020502.02m s =?+?-=
上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们
都是微分方程。 1．微分方程的概念
一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程
()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。
一般地，n 阶微分方程的形式是
()(,,',...,)0,n F x y y y = （11）
其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而
)1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
01)(=+n y
中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。
例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是
0x x =时，0y y =，
或写成 00|y y x x ==
其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
0x x =时，0y y =，'1y y =
或写成 00|y y x x ==，0'|1x x y y == 其中0x ，0y 和1y 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是
方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。
求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问
题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作
??
?===.|),
,('00
y y y x f y x x （13）
二阶微分方程的初值问题是
00''(,,'),
|,'|1x x x x y f x y y y y y y ===???
==?? 3、 例题
例1 验证：函数
kt C kt C x sin cos 21+= （14）
是微分方程
02
22=+x k dt
x d （15） 的解。
解 求出所给函数（14）的导数
,cos sin 21kt kC kt kC dt
dx
+-= )sin cos (sin cos 212
22122
2kt C kt C k kt C k kt C k dt
x d +-=--= 把22dt
x
d 及x 的表达式代入方程（15）得 )sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡
函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。 用程序来实现： >> syms k t C1 C2;
>> x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); >> diff(x,t,2)+k^2*x ans =
k^2*(C1*cos(k*t) + C2*sin(k*t)) - C1*k^2*cos(k*t) - C2*k^2*sin(k*t) >> simple(ans)
（二）微分方程的解
一、几个会用到的函数： 1、solve 函数：
Matlab 中solve 函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。 solve 函数的语法定义主要有以下四种：
solve(‘eq ’)
solve(‘eq ’, ‘var ’)
solve(‘eq1’,’eq2’, …,’ eqn ’)
g = solve(‘eq1’, ‘eq2’, …,’ eqn ’, ‘var1’, ‘var2’, …, ‘varn ’) eq 代表字符串形式的方程，var 代表的是变量。
例1：解方程02=++c bx ax
程序是：syms a b c x;
solve('a*x^2+b*x+c') （ 也可写成solve('a*x^2+b*x+c=0') ）
当没有指定变量的时候，matlab 默认求解的是关于x 的解，求解的结果为： ans =
-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)d 当指定变量为b 的时候： solve('a*x^2+b*x+c','b')
求解的结果为：
ans =
-(a*x^2 + c)/xs = -(a*x^2 + c)/x
例2：对于方程组?
??=-=+5111
y x y x 的情况
S=solve('x+y=1','x-11*y=5'); S.x S.y
>> S=[S.x,S.y](这里或者写成x=S.x y=S.y) 如果解得是一个方程组，而且采
用了形如[a,b]=solve(a+b=1, 2a-b=4ab) 的格式，那么，在MATLAB R2014a 中没问题，可以保证输出的a ，b 就等于相应的解，但是在R2012b 等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。所以最好采用g=solve(a+b=1, 2a-b=4ab)这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，g.a 和g.b 就是对应的解。 S =[ 4/3, -1/3]
一、 微分方程的解析解
格式：dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母D 表示求微分，D2y 、D3y 等表示求高阶微分.
任何D 后所跟的字母为因变量，
自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量是t 例如，微分方程
02
2=dx
y d 应表达为：D2y=0.
例1：求解微分方程
22x xe xy dx
dy
-=+，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：
syms x y %line1 y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2 diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4 说明：
(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，
建议写上；
(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：
1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1
(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：
-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1) (4) 行line4 用 simplify() （simple()）函数对上式进行化简，结果为 0， 表明)(x y y =的确是微分方程的解．
例2：先求微分方程0'=-+x e y xy 的通解，再求在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出特解函数的图形．
求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y
y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0', 'x') 结果y =
(exp(x)+C1)/x 求特解两个方法
1.y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)', 'x') 结果y =
(exp(x)+exp(1))/x
2. C1= solve('2*exp(1)=exp(1)+C1','C1') 结果C1 =exp(1) y =(exp(x)+exp(-x^2) 结果(exp(x)+exp(1))/x
ezplot(y)
例3：求微分方程组???????=--=++035y x dt
dy e y x dt
dx t
在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，
并画出解函数的图形．
求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y t
a=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');
x=a.x y=a.y simple(x); simple(y);
ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto %坐标刻度选默认值
例4 先求微分方程的通解，再求微分方程的特解.
?????===++15
)0(',0)0(0
29422y y y dx
dy
dx y d 程序是：dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
ans =
(3*sin(5*x))/exp(2*x)
例5 求微分方程组的通解.
?????????+-=+-=+-=z y x dt
dz z
y x dt dy
z y x dt dx
244354332
程序是：
A=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z','t'); >> x=A.x y=A.y z=A.z 练习：
求下列微分方程的解析解
（1）b ay y +=' 程序：syms a b y; dsolve('Dy=a*y+b','x') ans =-(b - C2*exp(a*x))/a
（2）1)0(',0)0(,)2sin(''==-=y y y x y 程序：>> syms x y;
>> dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0,Dy(0)=1','x') ans =(5*sin(x))/3 - sin(2*x)/3
（3）1)0(',1)0(',','==-=+=g f f g g g f f 程序：syms f g x;
g=dsolve('Df=f+g ’,’Dg=g-f','Df(0)=1’,’Dg(0)=1','t') g.g =exp(t)*sin(t) g.f =exp(t)*cos(x)
（4）求微分方程0sin 2')1(2=-+-x xy y x 的通解． 程序及答案：
dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-sin(x)=0','x')
ans =
(-cos(x)+C1)/(x^2-1)
（5）求微分方程x e y y y x sin 5'2''=+-的通解．
程序及答案：
dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(x)','x') ans =
exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1+1/3*exp(x)*sin(x)
（6）求微分方程组
?
?????
?=-+=++00y x dt
dy y x dt
dx
在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形． 程序及答案：
[x,y]= dsolve('Dx+x+y=0,Dy+x-y=0','x(0)=1,y(0)=0','t');或 S= dsolve('Dx+x+y=0,Dy+x-y=0','x(0)=1,y(0)=1','t'); x=S.x y=S.y ezplot(x,y)
解下列微分方程：
二、 微分方程的数值解
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得
到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。
因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程
()(1)f(t,,',,)n n y y y y -=L
设11
21,...,,-'='==n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组
?????????====-),,,,(''''2113221n n n
n y y y t f y y
y y y y y ΛΛ
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法
ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法等等。
（[t,y ]=ode45(‘yprime’,[t0,tf],y0) ,yprime 是用以表示f(t,y)的M 文件名，t0表示自变量的初始值，tf 表示自变量的终值，y0表示初始向量值。输出向量t 表示节点(t 0;t 1;…,t n ),输出矩阵y 表示数值解，每一列对应y 的一个分量。ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方程组不宜采用。ode23与ode45类似，只是精度低一些。ode12s 用来求解刚性方
[t ，y]=solver （’f’,ts,y 0）
注意:
1、在解n 个未知函数的方程组时，y0和y 均为n 维向量，m-文件中的待解方程组应以y 的分量形式写成.
2、使用Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组. 2,
例1：求解微分方程初值问题?????=++-=1)0(2222
y x
x y dx dy 的数值解，求解范围为区间[0,
15]．
程序是：先建立M 文件 (函数M 文件的格式：
function 返回变量=函数名（自变量，因变量） 注释说明语句段 程序语句段）
可以编这样的程序： function dy=a1(x,y) dy=-2*y+2*x^2+2*x; [x,y]=ode45('a1',[0,15],1) plot(x,y,'ro')
（也可以编下面的程序
function dy=ac(x,y) dy=zeros(1,1); dy=-2*y+2*x^2+2*x; 再编写程序
[x,y]=ode45('ac',[0,15],1) plot(x,y,'o')）
例??
???===+--0)0(';2)0(0)1(10002222x x x dt dx
x dt x d 令 y1=x ，y2=y1’
化为一阶微分方程组：
?????
==--==0
)0(,2)0()1(1000''21122
1221y y y y y y y y 程序1：
先建立M 文件
function dy=a2(t,y)
dy=[y(2);1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)] 或
function dy=a3(t,y) dy(1)=y(2);
dy(2)=1000*(1-(y(1)^2))*y(2)-y(1); dy=[dy(1);dy(2)];
输入命令
[t,y]=ode15s('a2',[0,1000],[2,0]) plot(t,y(:,1)) 程序2：
先建立M 文件
function dy=xx(t,y) dy=zeros(2,1) dy(1)=y(2);
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
再编写程序
[t,y]=ode15s('xx',[0,1000],[2,0]);
plot(t,y(:,1),'r*')
?????????-+=+=--=z c x b dt dz
ay
x dt dy
z y dt dx
Rossler )(3 选定a=0.3，b=2,c=3 初值x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0 化为一阶微分方程组： 令z y y y x y ===)3(,)2(,)1(
(1)(2)(3)(2)(1)(2)(3)((1))(3)y y y y y ay y b y c y '=--??
'=+??'=+-?
程序1:
先建立M 文件
function dy=ros(t,y) dy(1)=-y(2)-y(3) dy(2)=y(1)+0.3*y(2) dy(3)=2+(y(1)-3)*y(3) dy=[dy(1);dy(2);dy(3)] 再编写程序：
[t,y]=ode45('ros',[0,10],[0,0,0]); plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2),'g',t,y(:,3),'y') 程序2：
先建立M 文件 function dy=ros(t,y) a=0.3;b=2;c=3; dy=zeros(3,1); dy(1)=-y(2)-y(3); dy(2)=y(1)+a*y(2); dy(3)=b+(y(1)-c)*y(3); 再编写程序
[t,y]=ode45('ros',[0,10],[0,0,0]); plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2),'g',t,y(:,3),'y') 例4、求解微分方程
,1)0(,1'=++-=y t y y
先求解析解，再求数值解，并画图进行比较。 先求数值解
程序1：先建立M 文件
function dy=jie(t,y) dy=-y+t+1;
再编程
[t,y]=ode45('jie',[0,10],1); plot(t,y,'r*') hold on
t=0:0.5:10;
dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1') 程序2：先建立M 文件
function dy=jie(t,y) dy=zeros(1,1); dy=-y+t+1;
再编程
[t,y]=ode45('jie',[0,10],1); plot(t,y,'r*') hold on
t=0:0.5:10;
dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1') y=t+1./exp(t); plot(t,y)
xlabel('t'),ylabel('y')
例6、分别用 ode23、ode45 求???????=-+=++00y x dt
dy y x dt
dx
0|,1|00====t t y x
微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异．
解：令y y x y ==)2(,)1(，则方程变为：
解：先建立M 文件
function dy=a(t,y) dy(1)=-y(1)-y(2); dy(2)=-y(1)+y(2); dy=[dy(1);dy(2)]; 再编程序
[t,y]=ode23('a',[0,2],[1,0])
plot(t,y(:,1),'r*',t,y(:,2),'g+') hold on;
[t,y]=ode45('a',[0,2],[1,0]); plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,2),'y') 例２ 求解微分方程
,1)0(,1'=++-=y t y y
先求解析解，再求数值解，并进行比较。由
>>clear;
>>s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t') >>simplify(s)
可得解析解为t
e t y -+=。下面再求其数值解，先编写M 文件fun8.m
%M 函数fun8.m
function f=fun8(t,y)
f=-y+t+1;(红色部分用来求数值解，与解析解无关）
??
?+-=--=)
2()1()2()2()1()1(y y dy y y dy
再用命令
>>clear; close; t=0:0.1:1;
>>y=t+exp(-t); plot(t,y); %化解析解的图形
>>hold on; %保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形和并在一起 >>[t,y]=ode45('fun8',[0,1],1);
>>plot(t,y,'ro'); %画数值解图形，用红色小圈画 >>xlabel('t'),ylabel('y')
结果见图7.1
图16.6.1 解析解与数值解
由图16.6.1可见，解析解和数值解吻合得很好。 例3 求方程
)0(',)0(,sin "0===θθθθθmg ml
的数值解.不妨取15)0(,8.9,1===θg l .则上面方程可化为
0)0(',15)0(,sin 8.9"===θθθθ
先看看有没有解析解.运行MATLAB 代码
>>s=dsolve('D2y=9.8*sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t') %该命令输入后显示无解析解
知原方程没有解析解.下面求数值解.令',21θθ==y y 可将原方程化为如下方程组
???
??====0
)0(,15)0()sin(8.9''21
1221y y y y y y
建立M 文件a5.m 如下
% function dy=a5(t,y) dy(1)=y(2);
dy(2)=9.8*sin(y(1)); dy=[dy(1);dy(2)]
运行MATLAB 代码
>>clear; close;
>>[t,y]=ode45('a5',[0,10],[15,0]);
>>plot(t,y(:,1)); %画θ随时间变化图,y(:2)则表示'θ的值 >>xlabel('t'),ylabel('y1')
结果见图7.2
图7.2 数值解
练习：1．求方程
3)0(',1)0(,'2")1(2===+y y xy y x
的解析解和数值解,并进行比较
???+==)
1/()2(2)2()
2()1(2
''x xy y y y 程序：先建立M 文件 function dy=a2(x,y)
dy=[y(2);(2*x*y(2))/(1+x^2)] 再输入程序
[x,y]=ode45('a2',[0,10],[1,3]) plot(x,y(:,1),'r+') hold on
y=dsolve('(1+x^2)*D2y=2*x*Dy','y(0)=1,Dy(0)=3','x') ezplot(y)或者 hold on x=0:0.1:10; y=1+3.*x+x.^3; plot(x,y,'g*')
2．分别用ode45和ode15s 求解Van-del-Pol 方程
()??
???===---1)0',0)0(0
)1(1000222x x x dt dx
x dt
x d
的数值解和解析解,并进行比较.（该题没有解析解）
设x=x(1)，???+-==)
1()2())1(1(1000)2()
2()1(2
''x x x x x x 程序：先建立M 文件 function dx=a3(t,x)
dx=[x(2);1000*(1-x(1)^2)*x(2)+x(1)] 再输入程序
[t,x]=ode45('a3',[0,1],[0,1]); plot(t,x(:,1),'r*') hold on
[t,x]=ode15s('a3',[0,1],[0,1]); plot(t,x(:,1),'bo')
x=dsolve('D2x-1000*(1-x^2)*Dx-x=0','x(0)=0,Dx(0)=1','t') %此命令输出结果显示没有解析解
1、 dsolve('D2y+2*Dy-3*y=exp(-3*x)','x')
2、 dsolve('D2y-3*Dy=2*exp(2*x)*sin(x)','x')
3、 syms a;
dsolve('D2y+a^2*y=sinx','x') 4、dsolve('D2y*y-Dy^2-1=0')
5、先将该微分方程变成我们需要的形式
)
(2223x xy y y -=
'
dsolve('Dy=y^3/(2*(x*y^2-x^2))','y(1)=1','x')
6、dsolve('D2y+Dy+y=cos(x)','y(0)=0,Dy(0)=3/2','x')
7、dsolve('D2y+y=exp(x)+cos(x)','y(0)=1,Dy(0)=1','x')
8、dsolve('D3y+2*D2y+Dy=0','y(0)=2,Dy(0)=0,D2y(0)=-1')
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
五年级数学基础训练
1、口算 25×4= 2.5×4= 0.25×4= 2.5×40= 0.25×40= 0.25×400= 125×8= 12.5 ×8= 0.125×8= 12.5×80= 1.25×80= 0.125×80= 2、列竖式计算 3.05×4= 4.8×25= 3、实践应用 一个书包25.6元,王老师买了5个书包作奖品,一共需要多少钱?
1、口算 0.8+0.8+0.8= 27.6―0.9= 3.4+0.15= 1.2×4= 0.95×2= 4×0.15= 0.08×50= 0.04×32= 0.8×1= 2.7 ×8= 0.24 ×5= 2.5×8= 2、列竖式计算 3.24×27= 45×0.15= 3、实践应用 一块长方形菜地,长20.6,宽15米,它的面积是多少平方米? 1、口算
3.24×10= 2.25×100= 0.146×1000= 8.5×100= 0.04×10= 3.64×10= 0.2×100= 1.12×4= 0.02×9= 4×3.1= 0.08×9= 6×0.21= 2、列竖式计算 5.6×5= 3.2×17= 3、实践应用 一辆面包车以每小时48.5千米的速度从甲地到乙地,共行了8小时,求甲乙两地的距离. 1、口算 1.3×0.5= 0.21×5= 2.2×0.4=
21.3×3= 0.3×0.2= 7.8×0.2= 12.5×0.8= 0.8×0.7= 0.4×0.5= 0.89×0.1= 2.4×0.5= 2.5×0.4= 2、列式计算 1)把4.25扩大到它的100倍是多少? 2)2.16与15的积是多少? 3、实践应用 《少年文艺》月刊每期5.8元，小丽打算订一年的，要花多少元？ 1、口算 0.5×6= 2.45×1= 0.2×16= 0.7×20= 7.56×0= 0×1.888=
高等数学微分方程练习题
(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、
(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确
人教版-五年级-语文上册-基础训练
5题型训练 1、填空并从中选三个词写几句意思连贯的话。 倾（）大雨毫不（）豫能书（）画风（）雪压 （）天立地低头（）节安然无（）（）断丝连 （）光闪闪小心（）（）不容争（）依依不（） 举世（）名众星（）月玲（）剔透亭台楼（） 诗情画（）天南（）北奇珍（）宝满（）怒火 斩钉（）铁万（）千山四（）八方排山（）海 满（）信心一如（）往破烂不（）欢声笑（） 2、改正下列词语的错别字。 奋发涂强（）历精图治（）毫情壮志（）再接再厉（） 任重到远（）同仇敌概（）众至成城（）临危不具（） 勇往值前（）不屈不饶（）大意凛然（）前扑后继（） 披经斩棘（）舍生取意（）力挽狂兰（）中流底柱（） 五、把句子补充完整。 * ，百事荒芜。（陈寿） *读书破万卷，。（杜甫） *书犹药也，。（刘向） * ，白首方悔读书迟。（颜真卿） * ，谓心到、眼到、口到。(朱熹) *悠悠天宇旷，。（张九龄） *浮云终日行，。（杜甫） * ，寒灯独夜人。（马戴） * ，年年相见在他乡。（袁枚） *家在梦中何日到，？（卢纶） * ，人在天涯鬓已斑。（刘著） *书籍是。（莎士比亚） *书籍是。（高尔基） * ，只怕有心人。 *欲要看究竟，。 * ，自满十事九空。 *滴水能把石穿透，。 * ，梅花香自苦寒来。 *兄弟敦和睦，。 *孝在于质实，。 *爱亲者，；敬亲者，。 *非淡泊无以明志，。 四时之风 春风能解冻，。秋风杂秋雨，。裙裾微动摇，。飕飕不绝声，。夏风草木熏，。东风似虎狂，。小立池塘侧，。整日呼呼响，。* 六、E、按要求改写句子 1、今年六一，小明有望被评为“三好学生”的称号。（用修改符号修改病句） 2、我们要认真改正并检查作业中的错误。（用修改符号修改病句） 3、学校开展了和不文明行为活动。（用修改符号修改病句） 4、改革开放以来，我国人民的生活水平在不断地改善。（修改病句）
微分方程练习题基础篇答案
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=
9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
人教版五年级上册基础训练答案
第一单元 1 窃读记 基础知识点点记 一、我能把字写漂亮（看拼音，写词语）。 jī è tān lán wū yán zhāopái suāntònɡ 二、一锤定音（在带点字正确的读音后画“√”）。 踮脚（diān diǎn）目的（ dídì） 暂时（?zàn zhàn ?）支撑（zhǎnɡ chēnɡ ） 三、火眼金睛（辨字组词） 婪（）瞻（）炒（）柜（） 焚（）檐（）秒（）拒（） 四、从课文中找出下面词语的近义词。 适合（）识趣（）急迫（）发现（） 光临（）害怕（）担心（）勉励（） 五、在句子中间的空线处用上恰当的词语。 上了半天的课，我们个个，早已经给饿得前胸贴着后背了。尽管此时外面正下着 ，但放学的铃声一响，大家伙儿便赶紧收好书包，冲出了教室。就等着回到家里地坐在沙发上，对着父母早已为自己准备好的丰盛的午餐像一样狼吞虎咽一番。（要求用上课文中出现的词语哟） 六、选词填空。 充足充分充沛 1、你的理由很（），我可以答应你的要求。 2、小学生要保证每天10个小时（）的睡眠。 3、这里降雨量（），适合水稻生长。 隐藏隐蔽隐瞒 1、我们不应该帮犯错的同学（）事情的真相。 2、这个地方比较（），不易被人发现。 3、他把东西（）在一个不易被人发现的地方。 七、按照要求写词语。（每一类至少四个） 1、描写颜色鲜明多彩的： 2、表现人物留恋不舍的： 八、佳句摘抄。
从课文中摘抄一两个自己觉得写得特别好或感受特别深刻语句，与同学交流一下彼此的看法。 语句摘抄： 我的理解： 综合能力日日新 九、你知道吗（文学常识）？ 本文作者是，原名，小名。原籍苗粟县，生于日本大阪。她在北京呆过25年，被她称为“金色年代”，她的作品具有浓重的。她的作品有散文集，短篇小说集等。 十、要点扫描（课文回放）。 1、这篇课文以“”为线索，以放学后匆匆赶到书店，到晚上依依不舍离开的顺序和、两个场景的插入，细腻生动地描绘了“窃读”的独特感受和复杂滋味，表达了“我”。 2、按照、、我们可以把课文的内容分为三个部分。 十一、理解感悟（文章阅读）。 （一） 我边走边想□昨天读到什么地方了□那本书放在哪里□左边第三排□不错□走到门口，便看见书店里仍像往日一样挤满了顾客。我可以安心了。但我又担忧那本书会不会卖光，因为一连几天都看见有人买，昨天好像只剩下一两本了。 我跨进门，暗喜没人注意。我踮起脚尖，从大人的腋下挤过去，哟，①把短发弄乱了，没关系，我总算挤到里面来了。在一排排花花绿绿的书里，我的眼睛急切地寻找，却找不到那本书。从头来，再找一边。②啊！它在这里，原来不在昨天的地方。 ③急忙打开书，一页、两页，我像一匹饿狼，贪婪地读着。④我很快乐，也很惧怕——这种窃读的滋味。 1、在语段中的□里加上适当的标点符号。 2、依次找出这几段文字中描写人物心情的词语，想一想“我”为什么会有如此复杂的心情的变化。 （）：是因为； （）：是因为； （）：是因为； （）：是因为； （）：是因为。 3、注意语段中标有①②③的句子，完成填空。 ①句可以改写成“被”字句： ②句朗读时应读出的语气。 ③句运用了的修辞方法，写出了“我”的。 ④句在全文中的作用是。 4、第二段中加点字的都是描写人物的词语，从这些词语中我们可以感受到什么？ 5、“窃读”的“窃”用音序查字法应先查大写字母，用部首查字法应查部首。这个字在课文中的含义是。
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
微分方程单元自测题答案
微分方程单元自测题答案 一、填空题 1. 微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程； 2. x y y 2='的通解为 2y Cx = ； 3. 微分方程sin dy y x dx x x +=的通解为 cos x C y x -+= ； 4. 微分方程2x y e ''=的通解是 21214 x y e C x C =++ ； 5. 微分方程032=-'-''y y y 的通解为 312x x y C e C e -=+ ； 6. 以212x x y C e C e =+为通解的微分方程为 320y y y '''-+= ； 7. 已知212,x y x y e ==是某个二阶齐次线性微分方程的两个解，则该微分方程的通解为 212x y C x C e =+ ；满足初始条件(0)1,(0)3y y '==的特解为 2x y x e =+ ； 8. 微分方程方程2sin y y y x x '''+-=的特解形式上可设为 *()cos ()sin y ax b x cx d x =+++； 9. 已知2123,,x x y x e y x e y x =+=+=是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该微分方程的 通解为 212x x y C e C e x =++ ； 10. 与积分方程0(,)x x y f t y dt = ?等价的微分方程初值问题为 0(,),()0y f x y y x '== 。 二、计算题 1. 求微分方程2y xdy ydx y e dy -=的通解； 解：原方程化为y dx x ye dy y -=-，所以此方程通解为y dy y y dy y ye Cy dy e ye C e x -=???? ???-?=?-11 2. 设1y x =-是微分方程()y p x y x '+=的一个解，求此微分方程满足条件00x y ==的特解； 解：将1y x =-代入原方程，得1()(1)p x x x +-=，解出()1p x =。所以原方程为y y x '+=， （解法一：用解的结构求出通解，再带入初始条件）解其对应的齐次方程，得x y Ce -=。所以原方程的通解为1x y x Ce -=-+。 由0 0x y ==，得1C =。故所求特解为1x y x e -=-+。 （解法二：用通解公式求出通解，再带入初始条件）
五年级上册基础训练
五年级语文上期基础训练试卷 一、调动你的积累，完成下面的练习。 1．时间对每个人来说都是极其珍贵的，可是，小林就不这么认为，每当看到他沉迷于各种游戏中，你真想对他说：（）。 2．王林读书一直是囫囵吞枣，你用朱熹的一句名言帮助他：（）。 3、生气勃勃的春天到了，你一定会想起一些关于春天的千古名句，请写出一句吧！ 4、常言道：“，。”只要我们有决心去做，就一定能找到解决问题的方法。 5、爸爸经常教育我：“，。”孝敬父母要从点滴小事做起。 6、长期飘泊在外的都特别的思念家乡，你可以用诗句（）来表达他们的心情。 7、毛主席在《卜算子·咏梅》一诗中，赞美梅花不畏严寒、凌寒独放的诗句是： （二）、我会猜字谜 加倍才算多（）一人不算小（）上小下大（） 又到村中（）人在云上走（）二人同行（） 刘备江东娶夫人（）参天大树楼不住（）李白因何思故乡（） 四面不透风，中间常刮北风。（）田里长了草，细看不是草。（） 有耳能听到，有口能请教，有手能摸索，有心就烦恼。（） 二、读拼音，写词语。 mái zànɡ bǐnɡ xìnɡ shèn zhì qī línɡ sī chóu ɡān hé xī hɑn jìnɡ yù jìnɡ yánɡyuán quǎn fàn zuì jí cù dào qièpí bèi dàn shēnɡ shí jiàn cāo zònɡzuǐ chún xì nìcíxiánɡ línɡlónɡ yáo tái línɡxiù zhān yánɡcāo láo
三、用“\”划去错误的的读音。 水浒传（xǔ hǔ）美差（chā chāi）绿林好汉（lù lǜ）娱乐（yú yù）梳理（shū shuō）漂泊（bó pō）浸透（jìn qìn）唱和（hé hè）矫健（jiāo jiǎo）勉强（qiánɡqiǎnɡ）削弱（xuē xiāo）即使（jí jì ）苔藓（xiǎn xuǎn）塞满（sāi sè）看守（kān kàn）暖和（ huo he）捕捞（lāo láo）娇嫩（nèn lùn）挑拨（tiāo tiǎo）眸子（mó móu）沮丧（sānɡsànɡ）涟漪（yī yǐ）嗓子（sǎnɡshǎnɡ）功勋（yǔn xūn）薄皮（báo bō）苦闷（mēn mèn）间隔（jiān jiàn）结绳（jiē jié）仓颉（jí jié）造诣（zhǐ yì）解剖（pāo pōu）撇捺（nàn nài）腼腆（diǎn tiǎn）打蔫（niān yān）龟裂（jūn ɡuī ）波纹（bō pō） 角落（jiǎn jiǒ）凑足（zòu còu）耽误（dān dānɡ）颤抖（zhàn chàn）铸造（shòu zhù）倾听（qīnɡqiōnɡ）骨髓（suǐ shuǐ）婀娜（ē ā）损毁（sǔn xǔn）悄然（qiāo qiǎo）刹那shà chà）坠落（zhuì duì）拟定（nǐ nì）碾米（niǎn niàn）直奔（bēn bèn）在行（xínɡhánɡ） 四、用“”选择正确的字。 报（偿尝）借（鉴签）锻（炼练）（漂飘）泊眷（念恋）华（侨娇）（姿资）态（印映）象（驯训）良埋（葬藏) （削销）弱争（辩辨）爱（慕幕）（抉决）择（坚艰）定（歧奇）途 五、将词语补充完 不言而（）不求（）解如醉如（）别出心（）（）世闻名临危不（）不屈不（）垂头（）气（）首挺胸居高（）下奇珍（）宝：响（）行云 中流（）柱出乎（）料欣喜（）狂安然无（） 排山（）海夜以（）日玲珑（）透（）断丝连 斩钉（）铁（）耳欲聋（）（）不休失魂落（） （）（）不绝浮想联（）（）心沥血水（）石穿 再接再（）力挽狂（）引入（）途筋（）力尽（）采众长（）小失大 ( )( )满目（）然神伤 六、给加点字选择正确的解释。 奇珍异宝（）1奇特 2不同 3害怕 4惊奇 众星拱月（）1环绕 2隆起 3顶动 4抱拳 西洋景观（）1景象 2观看 3庙宇 4看法 名胜古迹（）1超出 2赢 3优美 4承受
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
2019年人教版五年级语文下册-基础训练答案
2019年人教版五年级语文下册-基础训练答案 自学提示 1. lè yín měnɡ xuàn sèzhu?n 2.老舍先生，草原风光，喜迎远客，把酒联欢 巩固运用 1.天涯摔跤羞涩渲染 2.（1）只要......都...... (2)不管......总......(3)既......又...... 3.（1）回味美 (2)一碧千里茫茫辽阔（大）、碧绿 （3）热乎乎语言心好客或热情 4. A.① B. ② 拓展阅读 1.这篇短文主要写了锡林郭勒大草原不仅广阔、美丽，还是个欢腾的世界。 2.，：“， ......” 3.先概括后分述(先总后分) 4.承上启下 5.例：矫健的雄鹰自由地飞翔，百灵鸟在欢快地歌唱。 2、丝绸之路 自学提示 1.略 2．jī cháo zào áo nónɡ báo bì hòu 巩固运用 1.例：凹（凹陷）侯（侯爵）换（交换） 凸（凹凸）候（时候）奂（美轮美奂） 2.五彩缤纷美轮美奂栩栩如生 3. （1）一条道路将远隔千里的我们联系在了一起。 （2）友谊之路，商贸之路，文化之路，探险之路 拓展阅读： 1.余古长安波斯湾欧洲非洲 2.异彩纷呈扑朔迷离举世闻名多姿多彩成千上万 3.古老的丝绸之路连接着世界的东方与西方，孕育了光辉灿烂的古代文明。 4.它是一条由长安至波斯湾的友谊之路，连接了东西方，使东西方互通有无，孕育出光辉灿烂的古代文明。 3 白杨 自学提示（略） 巩固运用 1.清晰新疆介绍抚摸 2.辨字组词。
僵（僵硬）辩（争辩）晰（清晰） 缰（缰绳）辨（辨别）晳（白皙） 疆（新疆）辫（辫子）淅（淅淅沥沥） 3.略 4.根据课文的理解填空。 （1）山，水，人烟，清晰，浑黄一体。 荒凉，干燥恶劣，恶劣，不择环境、生命力顽强。 （2）白杨树，边疆建设者，借物喻人。 拓展阅读 1.这就是白杨树，西北极普通的一种树，然而决不是平凡的树。 2.（1）好女子伟丈夫 （2）4 排比北方的农民哨兵赞美和敬佩 3.极其普通，不被人重视；有极强的生命力，折磨不了，压迫不倒。 语文活动 小草（平凡普通，生命力强的人） 兰花（品行高洁、有君子风范的人） 绿叶（无私奉献的人） 莲（不同流合污的人） 竹（意志坚韧的人） 4、把铁路修到拉萨去 自学提示： 1.suì ráo chěng xiè wēi nínɡ chá zànɡ 2.(1)把铁路修到拉萨去排除万难，把铁路修好 （2）4905 1338 10 18 10 19 巩固运用 1.（1）杯水车薪（2）废寝忘食（3）严阵以待（4）不翼而飞 2. 选择恰当的字填空 以已以已新薪薪新级及极汲 3.（1）拦路虎：风火山 高傲的头：多年冻土、恶劣天气、极度缺氧的困境 （2）铁龙：青藏铁路 世界屋脊：青藏高原 拓展阅读 1.人迹罕至星罗棋布 星罗棋布：像天空的星星和棋盘上的棋子那样分布着。形容数量很多，分布很广。人迹罕至：偏僻荒凉的地方，很少有人来过。 2.青藏铁路是神秘的。 青藏铁路是严酷的。
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
基础训练语文五年级答案
基础训练语文五年级答案 【篇一：最新最全人教版五年级语文下册配套练习册答 案】 class=txt>1、草原 我会写：羞涩勾勒翠色欲流礼貌天涯襟飘带舞 我理解： 1、（1）一碧千里；（2）渲染；（3）勾勒；（4）翠色欲流 2、（1）③；（2）① 我会找：1、草原羊群 2、河清澈明亮 我判断：1、√；2、√ 我诊断：1、去掉“送进了”；2、把“柔软”改成“柔美”；3、把“尽管”改成“只要”；4、把“不但”改成“既” 2、丝绸之路 我会补：栩栩计数富彩崇峻彩纷轮奂丝绸饱满我会填： 1、矗立 2、屹立 3、挺立 我会改： 1、丝绸之路是一条伟大的路。 2、张骞(向汉武帝)介绍了情况。 我概括：1、栩栩如生 2、不计其数 3、崇山峻岭 我理解：1.(1)画“就仿佛看到了??铃声??” （2）望着高高飘扬的五星红旗，我仿佛听到了国歌的雄壮，仿佛看 到了战士们在战场浴血奋战。2、b 3、白杨 我会写：边疆抚摸陷入清晰介绍 我会填：介意中介简介介词新疆边疆疆界我会做：1、深 思清楚挺拔 2、出现脆弱坚定我会换：1、浑黄一体 2、分辩3、抚摸 4、挺拔秀丽 我会选： 1、挺立 2、挺拔 3、分辨 4、分辩 5、坚强 6、顽强我会改：1、旅客望着卫士出神。2、把“、鸡、鹅的”去掉。3、没有这么 大的伞。4、爸爸不只是向孩子们介绍白杨树，他也在表白着自己的心。 我阅读：1、（1）不管不管总是少困难，不管会受到多少阻碍， 我都会为了理想而坚持不懈的学习。b不管你生活在哪里，不管你多
大年龄，我们都要学习，因为学无止境。（2）3 直生命力强坚强（3）表达自己要像白杨树那样扎根边疆的愿望 2、（1）由小树联想到自己即将到边疆生活、学习的孩子，心中感 到欣慰。 4、把铁路修到拉萨去 我会填：分外继狂及昂废食装裹翼杯以 我会选：1、不是??而是 2、尽管??还是 3、观测 4、观察 一、马蹄拘束礼貌渲染欢呼抚摸洒脱新疆迂回低吟清 晰勾勒 三、美轮美奂一碧千里襟飘带舞始料不及翠色欲流杯水车薪 银装素裹废寝忘食景色词：一碧千里、翠色欲流、银装素裹认真 词有：废寝忘食 2、东方传来驼铃声。 3、难道还有一场球赛比今天的这场球更精彩、激烈吗？ 七、1.这句话把小丘比作绿毯，把羊群比作大花，写出了草原的美。 2.这句话把风火山当作拦路虎来写,写出了开凿风火山的困难都被人 们克服了 九、1、松树的风格2、赞颂高尚品格 3、解释说明 4、具有生命力 强和自我牺牲“要求于人的甚少，给予人的甚多”的高尚对松树的敬仰 5.《咏松》陈毅 大雪压青松，青松挺且直。要知松高洁，待到雪化时。 5、古诗词三首 我会写：牧遮醉锄蓑 我会填：1、草铺横野六七里逗弄 2、不是遮头是使风怪不得 3、白 发谁家翁媪互相逗趣，取乐 4、卧剥莲蓬顽皮、淘气 我知道：1、唐吕岩鲜活的牧童晚归休憩对安然自乐的生活的一种向 往 2、宋杨万里聪明顽皮的儿童 3、宋辛弃疾农村一家五口各种形 态的农家生活之乐的赞美 我会品1.前一个“铺”，让我感觉到草的茂盛和草原的那种平缓舒服，后一个“铺”让我感觉到秋天夕阳独特的柔和、亲切、安闲 2.前一个“一叶渔船”让我仿佛看到了看到了两个小孩的调皮可爱，后一个“一 叶舟”让我仿佛看到了人事沧桑,像小舟一样,随风漂泊 我会编夜幕降临，一望无际的草原在晚风的吹动下，荡起一层层“波浪”。忽然，远处传来几声悠扬的笛声，随后是一片寂静。笛声 又越来越清晰，在视野的尽头，一个低小的身影出现了，那是一个
常微分方程
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修 一、课程介绍 1.课程描述： 常微分方程是数学学科的一门基础理论课程,是一门专业必修课，是数学分析，高等代数和解析几何的综合应用和发展。通过学习不仅可加强先修课程中已学过的概念和方法，且为后续课程的学习准备解决问题的方法和工具。常微分方程与微积分同时诞生，以解决天文学、力学等实际问题而闻名于世，是研究事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最基本的数学理论和方法。现实生活中许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如物体运动、生物群体竞争、疾病的传播等。对这些规律的描述、认识和分析，往往可以归结为用常微分方程描述的数学模型的分析和研究。由此可知，它是数学理论联系实际的重要渠道之一，它有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一种强有力的工具。 2.设计思路： 本课程适用于数学与应用数学专业、信息与计算科学专业二年级本科生。本课程主要包括六个部分内容：初等积分法；基本定理；一阶线性微分方程组；n 阶线性微分方程；定性理论与稳定性理论简介；一阶偏微分方程初步。 - 1 -
初等积分法主要讲解几类能用初等（积分）解法求解的方程类型及其求解方法。要求学生掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。 基本定理包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。解的存在唯一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。要求学生必需理解本章定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理证明有关问题。重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理证过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握； 一阶线性微分方程组主要讲线性微分方程组的理论。线性微分方程组理论是微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是非常重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其它有关课程必不可少的基本知识，基本要求：（1）理解线性微分方程组解的存在与唯一性定理，熟练掌握逐步逼近法；（2）掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构；（3）基解矩阵求法。一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法（Jordan标准型、矩阵指数）求出基解矩阵。重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是n 维线性空间和一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。 - 1 -
微分方程 级数练习及答案
一阶微分方程练习 1、求方程x xe y y x =+'的通解 2、求7 2(1)2(1)x y y x '+-=+的通解 3、解方程 3 d 3d y x y x x -= 4、求微分方程tan sec y y x x '-=满足初始条件()00y =的特解． 5、求微分方程2d d d y x y y x y e y -=的通解 二阶微分方程练习 1、求2 69279y y y x '''-+=-的特解。 2、求6128y y x '''-=-的特解。 3、求62y x ''=-的特解。 4、求62y x ''=-的特解。 5、求34cos 2sin y y x x '''+=+的特解。 6、写出下列微分方程的特解形式 （1）256e x y y y x '''-+= （2）27122e x y y y x -'''-+= （3）e x y y ''-= （4）2e x y y y x -'''++= 答案：一阶微分 1.解：将方程变形为x e x y y =+ '其中 x x P 1)(= ，x e x Q =)(，用公式法 1 1 ln ln ()() dx dx x x x x x x y e e e dx C e e e dx C - -??=+=+??=1 1()() x x x xe dx C xe e C x x += -+? 2.解：方程化为标准式： 2 5 )1(12+=+- 'x x y y ，用常数变异法， 先求对应齐次方程的通解。 d 20 d 1 y y x x -=+， d 2d 1 y x y x = + d 2d 1y x y x = +? ? C x y ln )1ln(2ln ++=， 2 ) 1(+=x C y 把C 换成()C x ，即令