4． 已知a 是34-的小数部分，那么代数式??? ? ?-????? ??++++-+a a a a a a a a a 42442222的值为________________． 5． 若y x ,为有理数，且xy y x x 则,42112=+-+-的值为（ ）． A ．0 B ． 2 1 C ． 2 D ．不能确定 6． 已知实数a 满足22000,20012000-=-+-a a a a 那么的值是（ ）． A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．2002 7． 设c b a c b a 、、，则10002,9991001,9971003=+=+=之间的大小关系 是（ ）． A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a << 8． 若a a x -= 1，则24x x +的值为（ ）． A ．a a 1- B ．a a -1 C ．a a 1+ D ．不能确定 9．有一道题：“先化简，再求值：4 1442222-÷??? ??-++-x x x x x ，其中3-=x ．”小玲做题时把“3-=x ”错钞成了“3= x ”，但她的计算结果是正确的，请你解释这是怎么回事． 10．已知x x x x x x +++-+=--4 141,) 1(1222化简． 能力拓展 11．已知_______________________2 14121,312=---+++=x x x x 那么． 12．已知__________________________26,514=-=-++a a a 则． 13．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为______________________________． 14．已知=+----=++++586643,2002)2002)(2002(2222y x y xy x y y x x 则 ______________． 15．如果3333333,,22002,22002c b a c b c b b a b a --=+-=-+= +那么的 值为（ ）． A ．20022002 B ．2001 C ．1 D ．0
专题01二次根式的化简与求值
专题01二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、 直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子 ? 2、 变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 ? 想一想：若 x 二、n （其中x, y, n 都是正整数），则x,.. y,、、n 都是同类二次根式，为什么? 例题与求解 B 、一 1 （绍兴市竞赛试 题） 【例1】 1 「200 2 时 —y 时， 代数式 (4x 3 -2005x-2OO1 )2003 的值是( 22003 (1) 丄B_b 丄a, 、b ”a . b ab -b （黄冈市中考试题） （五城市联赛试题）
【例2】化简
⑶? 4.3 3 2_ （.?6 .3）（「3 J2） 3、厉-、10 -2.6 3.3-2 18 .5 2,3 1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解 题的难度 【例3】 比?、、5）6大的最小整数是多少? （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 想一想：设 X =.;；19-8；3,求 X _? x 字 18x 23 的值. x -7x +5x+15 形如：-A —「B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式 （北京市竞赛试题） x =6 5, y - , 6 - \ 5, （“祖冲之杯”邀请赛试题）
二次根式的计算与化简练习题(提高篇)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a >
3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 6、已知1a =，222214164821442 a a a a a a a a a --++÷-+-+-,再求 值。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。
②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
⑷- 13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ）
专题训练 二次根式化简求值有技巧(含答案)
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 B .3－1 C ．3－3 D .3－3 2．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3) 2.25a 2b ； (4) －25－9； (5)9a 34 . ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016 的值．
8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．10 6 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _
专题训练七分式化简求值解题技巧
专题训练七分式化简求值 解题技巧 Prepared on 21 November 2021
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果242114x x x =++，那么42251553x x x -+= 。 （2）若 a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-=+-+ 。 例2、若a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++，则a b c 、、中 （ ） A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等 例3、化简求值：22214( )2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-= 。 例4、已知2410,a a ++=且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值。 例5、已知a b c 、、满足222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-。 针对性训练 1、已知30,x y -=那么22 2()2x y x y x xy y +?-=-+ 。 2、已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y -= 。 3、已知0abc ≠，且 a b c b c a ==，则3223a b c a b c ++=-- 。 4、已知2310x x -+=，则2 421 x x x =++ 。 5、已知0abc ≠，0,a b c ++=则111111()()()a b c b c c a a b +++++= 。 6、已知323x y -=，则23796x y xy xy y x --=+- 。 7、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则代数式222 222 522310x y z x y z +-=-- 。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
分式的化简 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 中考要求
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值：21 1 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 2221 (1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-?? -÷=?= ?----??- 例题精讲
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--
16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.
(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452－242； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简： （1）2700； （2）202－162； （3） 1681； （4）8a 2b c 2 ．
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案
《分式化简求值的几种常见方法》公开课教案 【教学目标】 1、复习分式计算的相关知识。 2、归纳总结分式化简的几种常见方法技巧。 3、通过探究把新旧知识有机结合起来找出解决问题的方法。 4、通过有效引导，提高学生解决问题的能力，激发学生数学学习的兴趣。 【教学重点】 熟练掌握分式化简求值的几种常见方法。 【教学难点】 能够根据题型特点迅速的找出解决问题的途径。 【教学方法】 合作探究，练习，归纳 【辅助手段】 多媒体 【教学过程】 一、复习准备 1、提问：平方差公式和完全平方式。 2、计算 （1）已知2x-y=3，则2y+9-4x的值是多少？ （2）（2x+3）2=
3、因式分解 （1）x 2-2x+1= （2）9x 2+9x+1= 二、问题研讨 （一）、连比设k 法 例1：已知x 3=y 4=z 5 ≠0，求 3x?2y+z x?2y?z 针对练习： （二）、整体代入法 针对练习： （三）倒数法 22 2317x x xy y y -==、已知:，则2、已知三条线段x,y,z,且x:y:z=3:5:7，x y z x y z ++-+则 的值为 23242x xy y x y xy x xy y +--=--例2、已知:，求: 的值。 11 12a b ab a b -=-=、已知:，则 112x+3xy-2y 2、已知:-=3，求:的值. x y x-2xy-y 111,y x x y x y x y +=+= +3、已知:则2 2 113,x x x x +=+=4、已知:则
针对练习： （四）非负代数式之和等于零 针对练习： 以上环节，教师展示例题之后学生合作探究，结果展示之后师生共同明确，教师引导学生归纳总结方法，特点以及注意事项。 针对练习原则上学生自主完成，个别同学板演，如果出现难度则由教师引导完成，如果时间紧张一部分由学生课下完成。 三、巩固练习 选用适当的方法进行化简求值 2 311x x ++++2 24x 1x 例、已知:=，求:的值x 7x 11+2 24x 、已知:x +4x+1=0，求:的值 x 2 231a =++2 24 a 、若a -3a+1=0，则a 2 2 a+b 例4、已知:a +b +4a-2b+5=0，求:的值 a-b 12a b -+21 、已知-4b+4=0，则 = 2(1)(1)ab a b -++2 1 2、已知:+(b-1)=0，则 = 1 a b c = ++2 1b+1+c -2c+1=0，则23::3:4:52a b c a b c a b c -+== -+2、若，则
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案修订版
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案 修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
二次根式的化简求值 练习题
m n，m n，则 B. 2 )n)n()n “黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧 3 33= 3 3 23 = 2 (23) (23)(23) =43, 一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化
1276 3 2 3 . 2332 3 (23)(2 3) ，33，23.答案：解：原式=2-3+33-23=2.(201221 3 2 4 3 2012 2011 111 (1)(1 ) n n n n n n n n n n ，将各个分式分别分母有理 化后再进行计算. 324320122011）（20121）=（2012）2-12=2012-1=2011. 3232,b=32 32 ,23ab b 的值. 2 2(32)52632 (32)(32) ，同理22632 ；26+ 526=10，a b=（526）（26），然后将所要求值的式子和a b 表示，再整体代入求值即可.
答案：解：因为a= 3252632 ，b= 3252632 ， 所以a + b= 526+ 526=10，a b=（526）（526）=1. 所以223a ab b =2()5a b ab =21051=95. 小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a +b ）(a -b )=a -b ,(a+b )(a -b )=a 2-b, (a +b )(a - b )=a -b 2. 举一反三： 2. 如图,数轴上与1,2对应的点分别为A ,B ，点B 关于点A 的对称点为C ,设点C 表示的数为x ,则|x -2|+ 2 x =（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 2 解析：因为点B 和点C 关于点A 对称，点A 和点B 所表示的数分别为1，2，所以点C 表示的数为2-2，即x=2-2，故|x -2|+ 2 x =|2-2-2|+ 222 =22-2+2 2=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小.
二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便． 2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：
【解】原式． 【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵ ∴． 【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简
2021年八年级数学二次根式化简求值易错题
八年级数学二次根式化简求值易错 题 欧阳光明（2021.03.07） 学校:___________姓名___________班级___________考号 ___________ 一、解答题 1．先化简，再求值：22 2111x x x x -??-÷ ?++? ?，其中x =2． 2．先化简，再求值： 2 111a a a a a a --??÷-+ ?+??，其中，a 1． 3．先化简，再求值： 2 2121x x x x x x ??-÷ ?+++??，其中x = 4．先化简，再求值：532224a a a a -??--÷ ?++? ?，其中a = () 1 134π-?? -+ ??? ． 5．计算： （1 2 ） . 6． 计算： ． 7． 计算： 8．计算或化简: （1） 2 323?a ab b a b --÷(2 6b a -) （2 ）()0,0x y ?≥≥ ? （3 )00a b ＞，＞（4 ) 00a b ≥＜，
（5） （6） -（
参考答案 1．1x x +，23． 【解析】试题分析：首先化简分式，然后把x 的值代入化简后的算式即可． 试题解析：解：解：原式=()()()11111x x x x x x +-? ++-=1 x x +． 当x =2时，原式=221+=23． 点睛：此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 2． () 2 1 1a +，12． 【解析】试题分析：首先化简分式，然后把a 代入化简后的算式，求出算式的值即可． 试题解析：解：原式= ()()()1111a a a a a a -+-÷ + = ()()() 1111a a a a a a -? +-+= ()2 1 1a + 当a 1时，原式 = ( ) 2 1 11 +=1 2． 点睛：此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 3．2 1x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 试题解析：解：原式=()22121x x x x x x ++-?+=()2211x x x x x +-?+= ()()2 111x x x x x -+?+=21x - 当x =时，原式 = ( 2 1 -=8-1=7． 点睛：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 4．2a +6，16． 新-课 -标-第- 一-网 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入即可解答本题． 试题解析：解：原式= ()()()225222 3a a a a a +--+?+-= ()()() 33222 3a a a a a +-+?+-=2a +6 当a = () 1 134π-??-+ ? ??=1+4=5时，原式=2×5+6=16．
