届北京市昌平区高三二模数学试题及答案 理科

昌平区2018年高三年级第二次统一练习

数学试卷(理科)

本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集U =R ，集合A ={x ∣x <1-或x > 1}，则U A =e

A ．(,1)(1,)-∞-+∞U

B ．(,1][1,)-∞-+∞U

C ．(1,1)-

D ．[1,1]-

2．若复数cos isin z θθ=+，当4

=

π3

θ时，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．已知等比数列{}n a 中，143527,a a a a ==，则7a = A ．127

B ．

19 C ．1

3

D ．3

4．设0.2

12a ??= ???

，2log 3b =，0.3

2c -=，则

A ．b c a >>

B ．a b c >>

C ．b a c >>

D ．a c b >>

5．若满足条件010x y x y y a -≥??

+-≤??≥?

的整点(,)x y 恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数

的点，则整数a 的值为

A ．3-

B ．2-

C ．1-

D ．0

俯视图

左视图

2

2 1

6．设,x y ∈R ，则22

+2x y ≤“”是||1||1x y ≤≤“且”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．4 B ．5 C ． 2 D ．2

8．2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额（含税级距）

税率(%) 不超过1500元

3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分

20 …

…

某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于

A ．5000~6000元

B ．6000~8000元

C ．8000~9000元

D ．9000~16000元

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在二项式6

(1)x +的展开式中，第四项的系数是 ．（用数字作答）

2 主视图

10．在ABC ?中，3

4

ABC S ?=

，3AB =，1AC =，则BC = ． 11．已知双曲线C ：22

21(0)x y a a -=>的渐近线方程为12

y x =±，则双曲线C 的离心率

是 ．

12．执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤， 则输出y 值的取值范围是 ． ?

13．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示， 则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.

14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x

x x ?-+

?

?? ① 当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ； ② 若函数()f x 的最大值为1，则a = ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）

已知函数()2sin()cos()3sin 244

f x x x x =--+ππ． （I ）求函数()f x 的最小正周期；

（II ）求函数()f x 在区间[0,]2

π上的最值及相应的x 值．

a

b

2log y x

=2x <

23

y x =-是

否

x

输入输出y 结束

开始

B 地区(AQI)

(201,248)

(158,120)

(153,145)

(150,222)

(120,115)

(90,78)

(97,144)

(88,216)

(60,42)(54,49)(53,65)(51,77)(40,77)(45,54)(40,38)(30,48)(29,30)(27,27)(25,25)

(21,22)250

200

150

100

50

250

200

150

100

50

A 地区(AQI)

O

16.（本小题13分）

为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ）如下图所示：

根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：

空气质量指数AQI (0,100)

[100,200)

[200,300)

空气质量状况

优良 轻中度污染 重度污染

（Ⅰ）试估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；

（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.

（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A ，B 两地区哪个地区.（只需写出结论）

如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o ，DE AB ⊥于点E ，将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A D BE ⊥，如图2．

（I ）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （II ）求二面角1E A D B --的余弦值；

（III ）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求出BP

BD

的值；若不存在，说明理由．

18．（本小题14分） 已知椭圆()2222:10x y E a b a b

+=>>经过点(0,1)，且离心率为2

2．

（I ）求椭圆E 的标准方程；

（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)M m ，求实数m 的取值范围．

A

B

C

D

E 图1

A 1

B

C

D

E

图2

已知函数2()e x f x ax ax x =+-,1a >．

（I ）若曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 的值； (II) 证明：当0x <时，函数()f x 存在唯一的极小值点为0x ，且01

02

x -<<．

20．(本小题13分)

已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中的任意一项k a ，k

p

a 也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”．

（I ）若数列：1,4,9,(9)x x >是“倒置系数”为p 的“倒置数列”，求x 和p 的值； （II ）若等比数列{}n a 的项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，求证：数列{}n a 是“倒置数列”，并用m 和T 表示它的“倒置系数”p ；

（III ）是否存在各项均为整数的递增数列{}n a ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．

昌平区2018年高三年级第二次统一练习

数学试卷(理科)参考答案

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D

C

A

C

B

B

B

C

二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)

9．20 10．1或7 11．

52

12．[3,2]- 13．4

5

; 3 14．1a <；1-

三、解答题(共6小题，共80分) 15．（共13分）

解：（I ）π

()sin(2)3sin 22

f x x x =-+

cos23sin 2x x

=+

π

2sin(2)6

x =+

所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,

所以 ππ7π2666

x ≤≤+,

当π6

x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分

16．（共13分）

解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为5

10.7520

-

=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274?≈天. -----------4分

（Ⅱ）记1A 表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”；

2A 表示事件：

“A 地区空气质量等级为轻中度污染”； 1B 表示事件：

“B 地区空气质量等级为轻中度污染”； 2B 表示事件：

“B 地区空气质量等级为重度污染”， 则1A 与1B 独立，2A 与2B 独立，1B 与2B 互斥，111222C A B A B A B =U U . 所以111222()()P C P A B A B A B =U U

111222()()()P A B P A B P A B =++

111222()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++.

由所给数据得1A ，2A ，1B ，2B 发生的频率分别为34，15，15，3

20

. 故13()4P A =

，21()5P A =，11()5P B =，23

()20

P B =， 所以31313

()()0.2925.4520520P C =?++?= --------------------10分

（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A 地区居住 . --------------------13分

17．（共14分）

证明：（I ）因为DE AB ⊥，

所以BE DE ⊥．又因为1BE A D ⊥，1DE A D D I =, 所以BE ⊥平面1A DE ． 因为1A E ?平面1A DE ， 所以1A E BE ⊥．

又因为1A E DE ⊥,BE DE E I =,

所以1A E ⊥平面BCDE ．--------------------5分 （II ）因为1A E ⊥平面BCDE ，BE DE ⊥，

所以以E 为原点，分别以EB ，ED ，EA 1为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，

(0,3,0)D ，1(0,0,1)A ．

A 1

B

C

D

E

x

y

z

所以1(1

,0,1)BA u u u r

=-,(1,3,0)BD u u u r =-． 设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，

由1030

BA x z BD x y ??=-+=???=-+=??u u u r u u u r n n ，得3x z x y =???

=?? 令1y =，得(3,1,3)=n ．

因为BE ⊥平面1A DE ，所以平面1A DE 的法向量(1,0,0)EB =uu r

，

所以321cos ,77

EB

EB EB

u u u v

u u u v u u u v ?==

=?n n n ．

因为所求二面角为锐角，

所以二面角1E A D B --的余弦值为

21

7

． -------------------10分 （III ）假设在线段BD 上存在一点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ．

设(,,)P x y z ，(01)BP BD λλ=≤≤u u u r u u u r

，则(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-．

所以(1,3,0)P λλ-．

所以1(0,0,1)EA =u u u r

，

(1,3,0)EP λλ=-u u u r ． 设平面1A EP 的法向量(,,)x y z =m ，

由10(1)30

EA z EP x y λλ??==???=-+=??u u u r

u u u r m m ，得0(1)3z x y λλ=???

-=-??， 令3x λ=

，得(3,1,0)λλ=-m ．

因为平面1A EP ⊥平面1A BD ， 所以310λλ?=+-=m n ，解得[]1

0,14

λ=

∈， 所以在线段BD 上存在点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ，且

1

4

BP BD =． --------------------14分

18．（共14分）

（Ⅰ）由题意，得2221

22b c e a a b c =??

?==??

?=+?

， 解得

2

1a b ?=??=??

． 所以椭圆E 的标准方程是

2

212

x y +=． -------------------5分 （II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．

（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，

由22

(1)220y k x x y =-??+-=?

，得()()2222

124210k x k x k +-+-=， 由22

2

2

(4)8(12)(1)0k k k ?=--+->，得k ∈R ．

设()11,x y A ，()22,x y B ，则22121222

42(1)1212k k x x x x k k

-+=?=++，． 所以12122

2(2)12k y y k x x k -+=+-=

+，

所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ??

- ?++??

．

由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ??

+=-- ?++??

，

令x = 0，

212k y k =

+，即

2

12k m k =+

当k > 0时，，得2120=11242k m k k

k

<=

≤++，当且仅当

22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=11242k m k k k

>=

≥-++，

当且仅当

22k =-时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为22,44??

-????

．--------------------14分

19．（共13分）

解：（I ）因为2

()e x

f x ax ax x =+-，

得()2e e x

x

f x ax a x '=+--，所以(0)1f a '=-． 因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，

所以(0)11f a '=-=，即2a =． --------------------5分

(II) 设()2e e x

x

h x ax a x =+--，则()22e e 2(2)e x

x

x

h x a x a x '=--=-+． 因为0x <，所以22x +<，e 1x

<. 又因为1,a >所以 ()0h x '>，

故()(21)e (1)x

h x a x x =+-+在(,0)-∞上为增函数．

又因(0)10h a =->，1

211()e 022

h --=-<，由零点存在性定理，存在唯一的

01

(,0)2

x ∈-，有0()0h x =．

当0(,)x x ∈-∞时，()()0h x f x ='<，即()f x 在0(,)x -∞上为减函数， 当0(,0)x x ∈时，()()0h x f x ='>，即()f x 在0(,)x -∞上为增函数， 所以0x 为函数()f x 的极小值点． --------------------13分

20．(共13分)

解：（I ）因为数列：1,4,9,(9)x x >是“倒置系数”为p 的“倒置数列”.

所以

,,,94p p p p x 也是该数列的项，且94p p p

p x <<<. 故1,49

p p

x ==， 即36x p ==. --------------------3分

（II ）因为数列{}n a 是项数为m 项的有穷正项等比数列，取10m p a a =?>，

对数列{}n a 中的任意一项(1)i a i m ≤≤，

111m i m i

m i i i i

a a a a p a a a a +-+-===也是数列{}n a 中的一项， 由“倒置数列”的定义可知，数列{}n a 是“倒置数列”； 又因为数列{}n a 所有项之积是T ，

所以21231211()()()m m

m m m m m T a a a a a a a a a a p --===L L 即2

m p T =.

--------------------9分

（III ）假设存在这样的等差数列{}n a 为“倒置数列”，设它的公差为(0)d d >，“倒置系数”为p.

因为数列{}n a 为递增数列，所以123n a a a a <<<<

123n

p p p p

a a a a >>>>>L L 又因为数列{}n a 为“倒置数列”，则正整数

i

p

a 也是数列{}n a 中的一项（1,2,i =L ）， 故数列{}n a 必为有穷数列，不妨设项数为n 项， 则1(11)i n i p a a i n +-=?≤≤-

则121n n a a a a -=，得11()()n n a a a d a d =+-， 即2

(2)0n d -=由3n ≥，故0d =，与0d >矛盾.

所以，不存在满足条件的数列{}n a ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”.

--------------------13分