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2012年中考冲刺复习——圆最后冲刺答案

中考最后冲刺练习——圆答案

一、选择填空

1.两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm ，且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆半径为 D A ．3

B ．4

C ．2或4

D ．2或6

2.圆锥母线长为3，底面半径为2，则侧面积为 π6 ．

3.如图，在⊙O 中，直径AB =6，∠CAB =40°，则阴影部分的面积是 π2 ．

4.如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 4 cm ．

5.用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的高为__

20__cm ．二、解答题

1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点

D 、

E ，点

F 在AC 的延长线上，且1

2CBF CAB ∠=∠．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，5

sin 5

CBF ∠=

，求BC 和BF 长．（1）证明：连结AE ．

∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90AEB ∠=? ． ∴ 1290∠+∠=?．

∵ AB=AC ，

∴ 112

CAB ∠=∠．

∵ 1

CBF CAB ∠=∠，

∴ 1CBF ∠=∠． ∴ 290CBF ∠+∠=?．即∠ABF = 90°． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 直线BF 是⊙O 的切线．

（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ．

∵ 5

sin 5

CBF ∠=，1CBF ∠=∠， ∴ 5sin 15

∠=

． ∵ 90AEB ∠=?，AB=5，

∴ BE=sin 1AB ?∠=5． ∵ AB=AC ，90AEB ∠=?， ∴ 225BC BE ==．

在Rt △ABE 中，由勾股定理得 AE =2225AB BE -=． ∴ 25sin 25∠=

，5

cos 25

∠=．在Rt △CBG 中，可求得 4GC =，2GB =．

∴ AG=3． ∵ GC ∥BF ， ∴ △AGC ∽△ABF ． ∴

GC AG

BF AB

． ∴ 20

GC AB BF AG ?==

．

2.已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC

的延长线与过点A 的直线交

于点B ，BC OC =，OB AC 2

．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；

第19题

（2）若?=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．

19.（1）证明：如图，联结OA ． …………………………1分

∵ BC OC =，OB AC 2

=， ∴ OA AC BC OC ===．

∴ ACO ?是等边三角形． ∴ ?=∠60O ，?=∠60OCA ． ∴ ?=∠30B ．

∴ ?=∠90OAB ． ………………2分所以，AB 是⊙O 的切线． ……………………3分（2）解：作CD AE ⊥于E 点． ∵ ?=∠60O ，∴ ?=∠30D ．

又?=∠45ACD ，2==OC AC ，所以在ACE Rt ?中，

2==AE CE ．

在ADE Rt ?中，∵ ?=∠30D ，∴ 22=AD ．由勾股定理，可求6=DE ．所以，CE DE CD +=26+=

． …………………5分

3．已知：如图，在△ABC 中， AB =AC ， AE 是角平分线， BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B 、M 两点的⊙O 交BC 于点G ，交AB 于点F ， FB 恰为⊙O 的直径．（1）求证：AE 与⊙O 相切；（2）当BC =4，cos C 1

=时，求⊙O 的半径．

（1）证明：连结OM ，则OM =OB . ∴ ∠1=∠2 .

∵ BM 平分∠ABC ，∴ ∠1=∠3

∴ ∠2=∠3 .∴ OM ∥BC . ∴ ∠AMO =∠AEB .

在△ABC 中， AB =AC ，AE 是角平分线，

∴ AE ⊥BC .∴ ∠AEB =90°. ∴ ∠AMO =90°∴ OM ⊥AE . ∴ AE 与⊙O 相切 .

（2）解：在△ABC 中, AB =AC ，AE 是角平分线， ∴ BE =

BC ，∠ABC =∠C . ∵ BC = 4，cos C 3

， ∴ BE =2，1

cos 3

ABC ∠= .在△ABE 中，∠AEB =90°， ∴ AB =

cos BE

ABC

=∠6.

设⊙O 的半径为r ，则AO =6r -. ∵ OM ∥BC ，∴ △AOM ∽△ABE .

∴

O M A O B E A B =

∴ 626r r

-=. 解得 r =32

∴ ⊙O 的半径为3

4．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与⊙O 的交点

为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ．

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF

的值．

证明：连接OD ．（如图6）

∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠1=∠2………………………1分

∵ OA =OD ， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．

∴ OD ∥AE ．

∵ DE ⊥AC ，∴ ∠AED =90°．

∴ 18090ODE AED ∠=?-∠=?．…………2分 ∴ DE ⊥OD ．

∵ OD 是⊙O 的半径，

∴ DE 是⊙O 的切线．………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图6） ∴ ∠OGE =90°∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．

∴ OD =GE ．…………………………………4分在Rt △OAG 中，∠OGA =90°，4

cos 5

BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ． ∴ GE =OD =5k ．∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ，∴ △ODF ∽△EAF ． ∴ 5

DF OD AF AE ==…………………5分

5.如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，点D 在⊙O 上，AD ⊥AB 于点A ，

AD 与BC 交于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF ＝AE ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；

(2）若AD ＝4，5

cos =∠ABF ，求BC 的长．

21．证明：（1）如图，连结BD ．………1分 ∵ AD ⊥AB ，∴ DB 是⊙O 的直径．………2分 ∴?=∠+∠+∠9021D ．

又∵AE=AF ，∴BE=BF ，∠2=∠3．

∵ AB =AC ，∴∠D =∠C =∠2=∠3．

∴?=∠+∠+∠90321．

即OB ⊥BF 于B ． ∴ 直线BF 是⊙O 的切线． ········································· 3分解：（2）作AG ⊥BC 于点G ． ∵∠D =∠2=∠3．∴5

43cos cos =

∠=D ． F C O

D E A B F

O D E

A B 图4

1 2 3

在Rt △ABD 中，∠DAB =90°，AD = 4，5

4cos =D ， ∴5cos ==

BD ， 322=-=AD BD AB ． ·

································································ 4分在Rt △ABG 中，∠AGB =90°，AB = 3，5

42cos =∠， ∴5

2cos =∠=AB BG ∵ AB =AC ， ∴5

=BG BC ．………6分 6.如图， AB 是⊙O 的直径，AC 是弦， CD ⊥AB 于点D ，E 是圆上一点，且BE ＝AC ，点F 在OE 上，FG ⊥AB 于点G ．（1）求证：△COD ∽△FOG ；（2）若cos A =

，FG =4，AG =6．求⊙O 的半径长．解：如图3，

（1）∵BE ＝AC ，∴∠COD ＝∠FOG ．

∵CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，∴∠CDO ＝∠FGO ＝90 °． ∴△COD ∽△FOG ．

（2）作OH ⊥AC 于点H ．在Rt △AOH 中，5

cos ==

AO AH A ，设AO =5k ，则AH =3k ，OH ＝4k ，5

sin ==

AO OH A ．则k AH AC 62==，OG ＝AG －AO ＝6－5k ．在Rt △ADC 中， 54

sin ==AC CD A ，5

3cos ==

AC AD A ．则CD ＝

24k

，AD ＝518k ，OD ＝AO －AD ＝5k －518k ＝57k ．

由（1）△COD ∽△FOG ．

∴OG FG OD CD =，即k k k

564

57524-=．解得3029=k ．

∴AO ＝5629=k ．∴⊙O 的半径长为6

7.如图，AC 为⊙O 的直径，AC=4，B 、D 分别在AC

两侧的圆上，∠BAD=60°，BD 与AC 的交点为E ．

C O G

E D F

(1) 求点O 到BD 的距离及∠OBD 的度数； (2) 若DE=2BE ，求cos OED ∠的值和CD 的长．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4）

∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=?．……………………… 2分 ∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4，∴ OB= OD= 2．

在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，?=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =?=∠?=OBF OB OF ，

即点O 到BD 的距离等于1. ……………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．

由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ．

∵ cos303BF OB =??=，∴ 33x =， EF=3

．

在Rt △OEF 中，90OFE ∠=?， ∵ tan 3OF OED EF ∠=

=，∴ 60OED ∠=?，1

cos 2

OED ∠=．…… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=?．∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=?． ∴ 45C ∠=?． ∴ 222CD OC ==． ……………………… 5分

8. 已知：如图，P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，BC

∥OP 交⊙O 于点C ．（1）判断直线PC 与⊙O 位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，11

sin 23

APC ∠=，求PC 的长及点C 到P A 的距离．

解：（1）直线PC 与⊙O 相切．证明：连结OC ，

∵BC ∥OP ，∴∠1 =∠2，∠3=∠4．

∵OB=OC ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA ，OP=OP ，

∴△POC ≌△POA ．…………… 1分 ∴∠PCO =∠P AO ．

∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO =90°．

∴∠PCO =90°．∴PC 与⊙O 相切．…………… 2分

A P

O C

图4

F E D

O C

（2）解：∵△POC ≌△POA ，∴∠5=∠6=1

APC ∠． ∴11sin 5sin

APC ∠=∠=． ∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°． ∴1

cos 2sin 53

∠=∠=

． ∵∠3=∠1 =∠2，∴1cos 33

∠=

．连结AC ，

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．

∴2

cos 33

BC AB =

==∠．…………… 3分

∴OA=OB=OC=3，2242AC AB BC =-=．

∴在Rt △POC 中，9sin 5

OP =

=∠． ∴2262PC OP OC =-=．…………… 4分过点C 作CD ⊥P A 于D ， ∵∠ACB =∠P AO =90°，

∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．

∴1

cos 8cos 33

∠=∠=．

在Rt △CAD 中，14cos 842233

AD AC =∠=?

=． 9．已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，MB =1，CD =23，点E 在AB 的延长线上，且3

tan =

E . （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明；

（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为'''E D O ?．求当点'E 与点C 重合时，'''E D O ?与⊙O 重合部分的面积．

（1）证：连接OD ．

∵ 弦CD ⊥直径AB ，AB=4， CD=23， ∴ MD=

CD =3．∴ OD=12AB =2．

在Rt △OMD 中， ∵ sin ∠DOM=

MD OD =

， ∴ ∠DOM=60°．在Rt △DME 中， ∵ 3

tan 3

E =

， ∴ ∠E=30°． ∴ ∠ODE=90°．又∵ OD 是⊙O 的半径，

∴ DE 是⊙O 的切线．……………………2分（2）解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°， ∴ DE=23．

在Rt △ODM 中，OM=1．又3CD 2

CM ==

， ∴ AM=3．在Rt △ACM 中，由勾股定理得，AC=23，

∴AC=DE=D ′E ′ ． ∵点E ′与点C 重合， ∴平移后的D ′E ′与AC 重合．

设O E ''交⊙O 于点F ，连接OF 、OC 、AF ．由平移的性质得△ODE ≌△O AC '，

∴∠O ′CA=∠E=30°, ∠AOF=2∠ACO ′=60°．由平移的性质可知FC ∥AO ．

在Rt △FCD 中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°． ∴△FOC 为等边三角形． ∴FC=OA=2． ∴AFC AFO S S ??=． ∴

π=?π==3

2360260S S 2AOF

扇形重合部分． ……………………………………5分

432

D O C

A B

10.已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是⌒

AD 的中点，连结BE 交AC 于点G ，BG 的垂直平分线CF 交BG 于H 交AB 于F 点. （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若AB =8，BC =6，求BE 的长.

（1）证明：连结AE .

∵ BG 垂直平分CF ，∴ CB =CG ， ∴ ∠1=∠2. ∵ AB 是⊙O 的直径，

∴ ∠E =90°. ........................................1分

∴ ∠3+∠4=90°.

∵ ∠3=∠1=∠2， ∴ ∠2+∠4=90°.

∵ ⌒AE =⌒

ED ， ∴ ∠ABE =∠4.

∴ ∠2+∠ABE =90°.

∴ BC 是⊙O 的切线..........................................2分（2）∵ BC 是⊙O 的切线，

∴ ∠ABC =90°.

由勾股定理，可得 AC =10....................................3分 ∵ CG =CB =6， ∴ AG =4.

可证 △AEG ∽△BEA ,

∴

AE AG EB AB ===................................................4分设AE =x ，BE =2x .

由勾股定理，可得 2

(2)10x x +=.解得 25x =. ∴ 245BE x ==.....................................................5分