综合法求二面角
综合法求二面角
一、基本知识
1．二面角图形的识别与思考途径：①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③观察是否有直线⊥半平面；④观察是否有平面⊥半平面；⑤观察是否有直线⊥棱．
2．立体几何中，几种常用的平面图形的计算：
① 4：2：1（）矩形中的垂直；②RtΔ中，斜边上的高的计算；③ RtΔ中，直角边上一点向斜边引垂线，垂线段的计算．
3．若∠POA＝∠POB，则PO在α内的射影是∠AOB的平
分线；
二、求直线与平面所成的角、求二面角的三种基本模式：
1．模式一：夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面．
题1（09、湖北、理）如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD ＝√2a,点E 是SD 上一点，且DE ＝λa(0＜λ≤2)．（1）求证：对任意的
λ∈（0，2],都有AC ⊥BE ；（2）设二面角C －AE －D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为Φ．若tan θ·tan Φ＝1，求λ的值．
解：（1）AC ⊥BD, AC ⊥SD ，所以AC ⊥平面SBD ，又BE 在平面SBD 内，∴AC ⊥BE （图1）； 【二面角的识图：①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③找图形特征（二面角的三种模式特征）】 【斜线与平面所成的角的识图：①找斜线；②找垂线；③找射影】 （2）图2：【夹在二面角C －AE －D 的直线CD ⊥半平面ADE 】
作DH ⊥AE 于H ，由三垂线定理知：CH ⊥AE ，所以∠CHD ＝θ，在Rt ΔADE 中，DH ＝
AE
DA DE ·＝
2
2
2
22·a
a a a +λλ＝
2
·22
+λλa
，tan θ＝CD ：DH ＝2a ：
2
·22
+λλa
＝
λ
λ22
+．
又∠EBD ＝Φ，则tan Φ＝DE ：BD ＝a
a
2λ＝
2
λ
．由tan θ·tan
Φ＝1，有
λ
λ22
+·
2
λ
＝1．
解得：λ＝√2．
评注：①本题把“平面的斜线与平面所成的角”、“二面
角”融合为一道题，结合08、湖北考题，可以估测湖北考
题方向及武汉市2、4月模拟考题方向；②解答这类问题，首先要认识图形，掌握“平面的斜线与平面所成的角”、“二面角”的识图方法；③本题的图形模式是最简单的，“平面的斜线与平面所成的角”中，有一条直线⊥平面；④“二面角” 的图形中，夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面．
2．模式二：夹在二面角内的一条直线垂直于棱．
题2（08、全国Ⅰ）四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝√2，AB ＝AC ．（1）求证：AD ⊥CE ；（2）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C －AD －E 的大小．
（1） 证明：作AH ⊥BC 于H ，
则AH ⊥底面BCDE ．所以：DH 是AD 在底面BCDE 上的射影．易证：CE ⊥DH ，由三垂线定理：AD ⊥CE ． （2）【①所求二面角C －AD －E 的棱是AD ；②两个半平面分别是CAD 、EAD ；③图形特征是：夹在二面角C －AD －E 内的一条直线CE ⊥棱AD 】
解 作CF ⊥AD 于F ，∵AD ⊥CE ，∴AD ⊥面EFC ．所以：EF ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠EFC 是二面角C －AD －E 的平面角【找、作、证→算】．
①AH ＝DH ＝√3，得AD ＝√6，得AE ＝√6；
②由此△ACD 为Rt △，∴CF ·AD ＝AC ·DC ； ③ADE S ＝
2
1DE ·A2＝2
1AD ·EF ．从而求出EF 、CF ．
④在△EFC 中，用余弦定理，求∠EFC ．
评注：①夹在二面角E －AD －C 内的一条直线CE 垂直于棱，是作二面角的平面角的依托；②空间图形的分解，是基本功；
3．模式三：夹在二面角内的一个平面⊥其中的一个半平面． 题3（08、湖南、理17)：四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠BCD ＝600，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2．（1）
求证：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成锐二面角的大小． （1）证明：【证明α经过β的一条垂线】 B E ⊥CD ，CD ∥AB ，所以：BE ⊥AB ．又BE ⊥PA ， 所以：BE ⊥面PAB ．又BE 在平面PBE 内，∴ 平面PBE ⊥平面PAB ；
（2）解 【无棱二面角PAD －PBE 】 设BE 与AD 交于F ，
由（1）知：面PA B ⊥二面角A －PF －B 的一个半平面PBF ．
作A G ⊥PB 于G ，则PF ⊥AG ．
作GH ⊥PF 于H ，则PF ⊥面AHG ．∴∠AHG 是二面角A －PF －B 的平面角．在R t △AGH 中，AH ＝2，AG ＝
5
2，所
以sin ∠AHG ＝AG ：AH ＝5
10．
评注：①无棱二面角的棱的作法，有两条依据；②凭借“夹在二面角A －PF －B 内的一个平面PAB ⊥其中的一个半平面PBF ”，作出二面角的平面角；③如果在图形中，出现“三条直线两两垂直”，可考虑向量法．
高考试题巩固练习
1．(08、陕西、文19)：三棱锥被平行于底面ABC 的平面截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝900，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝√3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．（1）求
证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1；
（1）证明：BC ⊥AD ，BC ⊥A 1A ，所以：
BC ⊥面A 1AD ．又∵BC 在平面BCC 1B 1内，所以： 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1；
（2）求二面角A －CC 1－B 的大小。
【①找二面角A －CC 1－B 的棱；②找半平面；③找图形特点】 【存在一个半平面ABC 与二面角的半平面A －CC 1－A 1垂直】 解：过A 作AE ⊥CC 1于E ，连BE 。
∵BA ⊥面CC 1A 1A ，CC 1在平面CC 1A 1A 內，∴BA ⊥C 1C 。
又CC 1⊥AE ，∴CC 1⊥BE ?∠AEB 是二面角A －CC 1－B 的平面角。
在Rt ΔABE 中，tan ∠AEB=
3
A B A E
==
所以：二面角A －CC 1－B 的平面角为3
.
2．（09、全国2）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A B ⊥AC ，DE 分别为AA 1、B 1C 的中点，D E ⊥平面BCC 1．（1）求证：AB ＝AC ；（2）设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．
解：（1）连结BE ，∵ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠B 1BC ＝900
． ∵E 为B 1C 的中点，∴BE ＝CE(矩形的对角线相等)．
又D E ⊥平面BCC 1，∴BD ＝CD （射影相等的两条斜线段相等）． 而D A ⊥平面ABC ，
∴AB ＝AC （相等的斜线段的射影相等）．
（2）求B 1C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点B 1到面BCD 的距离即可．
作A G ⊥BD 于G ，连GC ，则G C ⊥BD ，∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．∠AGC ＝600．不妨设AC ＝23，则AG ＝2，GC ＝4．在R t △ABD 中，由AD ·AB ＝BD ·AG ，易得AD ＝√6．
设点B
1到面BDC 的距离为h ，B 1C 与平面BCD 所成的角为α． 由BDC B BC B D V V --=11，∴
3
1BC B S 1?·DE ＝3
1BDC S ?·h ，可求得
h =BC ＝2√6，∴B 1C ＝4√3．
所以：sin α＝h ：B 1C ＝4√3＝1/2．α＝300
．
3． （09、重庆）如图，在四棱锥S A B C D -中，A D ∥B C 且A D C D ⊥；
平面C S D ⊥平面A B C D ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为B S 的中点，
C E AS =
=
（1）点A 到平面B C S 的距离；
解：（1）【A 点到平面B C S 的距离=D 点到平面B C S 的距离=DS 】
在R t A D S ?中，DS =
=
=∴点A 到平面B C S 的距离。【（2）二面角E C D A --的大小】
（2）过E 作,EG CD ⊥交C D 于点G ，又过G 点作G H C D ⊥,交AB 于H ，故∠
为
二面角E C D A --的平面角，记为θ，过E 点作EF//BC,交C S 于点F,连结GF,因平面
,,ABCD CSD GH CD GH GF ⊥⊥⊥平面易知,故2
E G
F π
θ=-∠.
由于E 为BS 边中点?F 为CS 的中点?1E F =。
CD =
=
=
G F ?=
，
在R t F E G ?中，tan E F E G F F G
==可得3
E G
F π
∠=，故所求二面角
的大小为6
π
θ=。
4（09、湖北、文）四棱锥P －ABC 的底面是正方形，P D ⊥底面ABCD ，点E
在棱PB 上．（1）求证：平面AE C ⊥平面PDB ；（2）当PD ＝√2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵P D ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AE C ⊥平面PDB ；
（2）设AC∩BD=O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角。
∵O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD ，OE ＝
2
1PD 。
又∵P D ⊥面ABCD ， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，OE ＝2
1PD ＝
2
2AB
＝AO ， ∴∠AOE ＝450
。
即AE 与平面PDB 所成的角的大小为450
．
5．（09、安徽）如图，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对
角线AC=2，BD=
，AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。
（1）求二面角B －A F －D 的大小； 解：（I ）连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足．连接BG 、DG ．由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF ．
于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角．
由F C A C ⊥， 2FC AC ==，得∠4
F A C π
=
，2
O G =
。
由,2
O B O G O B O D ⊥==
，得22
B G D B G O π
∠=∠=
。
【（2）求四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 公共部分的体积.】
解：连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H －ABCD ．
过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足． 因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而P ∈AC ，HP ⊥AC ． 由
AC
AP CF HP = ，
H P P C A E A C =，两式相加：
CF
HP +
H P
A E =AC
AP 1P C A C
+=?
得23
H P =．
又因为12
A B C D S A C B D =
?=
菱形
故四棱锥H-ABCD 的体积13
9
ABC D V S H P =?=
菱形
6．在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA
1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1；
解：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD=//
A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ，
o m
又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ， 所以CF 1//EE 1，又因为1EE ?平面FCC 1，1C F ?平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.【（2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值】
（2）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形。 取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P ,连接BP ,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中
,O B =
在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F ，∵
1
1O P O F C C C F
=
∴22
O P =
=
。
在Rt △OPF 中
,2
BP ==
=
,cos 72
O P O PB BP
∠=
=
=,所以
二面角B-FC 1-C
7
。