江苏省泰州市2022届数学高二下期末统考试题含解析

江苏省泰州市2022届数学高二下期末统考试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（） A ．

35

B ．

13

C ．

45

D ．

23

【答案】A 【解析】 【分析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可. 【详解】

在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：3

620C = 恰有1件次品包含的基本事件个数为12

2412C C =

在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为123205

= 故选：A 【点睛】

本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.

2．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()50E X =，()30D X =，则n ，p 分别等于（ ） A ．100n =，35p = B ．100n =，25p = C ．125n =，2

5

p = D ．125n =，35p = 【答案】C 【解析】

分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．

详解：随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()50E X =，()30D X =，

可得50,30

np npq =??

=?32

,1,125.55q p q n =∴=-==

故选：C ．

点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．

3．已知集合{|2}x P y y ==,{|Q y y ==,则P Q =（ ）

A ．[1,1]-

B ．(0,)+∞

C ．(,1]

[1,)-∞+∞ D ．(0,1]

【答案】D 【解析】

分析：先化简集合P,Q ，再求P Q ?.

详解：由题得{|0}P y y =＞，{|0y 1}Q y =≤≤，

所以(]

0,1P Q ?=. 故答案为：D.

点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题. 4．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19 B ．7 C ．26 D ．12

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出． 【详解】

顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，

①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人2

22A =种，

当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有

11

2251C C +=，故有2+5=7种，

②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人2

22A =种，

当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有

11

2251C C +=，故有2+5=7种，

③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则1232C A 6=,若没有人使用现金，则有22

32C A 6=种，

故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种， 故选C ． 【点睛】

本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.

5．设函数()()2

ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）

A ．4ln 214+?

?

+

???

B ．4ln 214+?

?

+

????

C ．6ln 34ln 2,126++??

???

D ．6ln 34ln 2,126++??

??

??

【分析】

求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案． 【详解】

由题意，函数()()2

ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，

不等式()0f x >，即()2

ln 20x ax a x --->，即()2

ln 2x ax a x >+-，

两边除以x ，可得

ln (1)2x

a x x

>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln x

y x

=

图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，

即()()ln 24220ln 39220a a a a ?--->?

?

---≤??

，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，

即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,12

6++??

????，

故选D ．

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

6．对于椭圆22(,)221(,0,):a b x y C a b a b a b +=>≠，若点()00,x y 满足22

00

221x v a b

+<，则称该点在椭圆内，在

平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部

C ．圆及其内部

D ．椭圆及其内部

【答案】B

由(2,1)P 在椭圆上，根据椭圆的对称性，则P 关于坐标轴和原点的对称点(2,1),(2,1),(2,1)B C D ----都在椭圆上，即可得结论． 【详解】

设00(,)A x y 在过(2,1)P 的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，

则22411a b +=，2200221x y a b

+≤，即22

00222241

1x y a b a b +≤+=， 由椭圆对称性知，(2,1),(2,1),(2,1)B C D ----都在任意椭圆上， ∴满足条件的A 点在矩形PBCD 上及其内部， 故选：B ． 【点睛】

本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点(,)P m n 在椭圆上，则

(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----也在椭圆上，这样过P 点的所有椭圆的公共部分就是矩形PBCD 及其内

部．

7．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

分析：由于()()()()()6

6

2

6

0126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的

值1．

详解：由于()()()()()6

6

2

6

0126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知

()

()()()()()()6

23456

01234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得

22615.a C ==

故选B.

点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6r

r a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．

8．定义在上的奇函数

满足

，且在上单调递增，则下列结论中正确的是（）

A.

B.

C. D.

【答案】D 【解析】

试题分析：由()()4f x f x =-可得：()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期4T =，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又在[)0,2上单调递增，所以当[)0,2x ∈时，()0f x ≥，因此

()()510f f =>，()()110f f -=-<，所以()()105f f -<<。

考点：函数的性质。

9．已知空间向量(3,1,0),(,3,1)a b x ==-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．3- B ．1-

C ．1

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

根据空间向量的数量积等于0，列出方程，即可求解. 【详解】

由空间向量(3,1,0),(,3,1)a b x ==-，

又由a b ⊥，即31(3)01330a b x x ?=+?-+?=-=，解得1x =，故选C. 【点睛】

本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据a b ⊥，利用向量的数量积等于0，列出方程即可求解，着重考查了推理与运算能力. 10．在复平面内，复数1

1i

-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【答案】D 【解析】

分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：

11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122

i - 对应点为1

1(,)2

2

-，在第四象限，故选D.

点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.

11．将曲线

π

sin3

4 y x

??

=-

?

?

?

按照伸缩变换

3,

1

2

x x

y y

=

?

?

?

=

'

'

??

后得到的曲线方程为（）

A．

π

2sin

4

y x

??

''

=-

?

??

B．

1π

sin

24

y x

??

''

=-

?

??

C．

1π

sin9

24

y x

??

''

=-

?

??

D．

π

2sin9

4

y x

??

''

=-

?

??

【答案】B

【解析】

【分析】

根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解.

【详解】

由伸缩变换，得

1

3

2

x x

y y

'

'

?

=

?

?

?=

?

，代入

π

sin3

4

y x

??

=-

?

??

，得

π

2sin

4

y x

??

''

=-

?

??

，

即

1π

sin

24

y x

??

''

=-

?

??

．选B

【点睛】

本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.

12．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：

参照附表，得到的正确结论是()

附：由公式算得：

2

2

()

7.8

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=≈

++++

附表：

()

2

P k k

>0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0

k 1.323 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”

B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”

C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】

根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 【详解】

因为6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A. 【点睛】

本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键. 二、填空题：本题共4小题

13．已知72

70127(12)x a a x a x a x -=+++

+，则127...a a a +++=_____．

【答案】2- 【解析】 【分析】

令0,1x x ==分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值. 【详解】

令0x =得：01a =，

令1x =得：07121...a a a a +-=+++， 712...2a a a ∴+++=-.

【点睛】

赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.

14．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3

,4??+∞????

，函数()x y e f x =的单调减区间为[,1]m -，则m =________. 【答案】2- 【解析】 【分析】

由2

()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得2

43

44

b a -=，由单调递减区间为[m ，1]-，结合

【详解】

由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4

，)+∞，

可得24344

b a -=，

243b a ∴-=，

2

2

3()()4

x

x

a y e f x e x ax +==++，

22

43

[(2)]4

x

a a y e x a x ++∴'=+++，

由单调递减区间为[m ，1]-，可知1x =-及x m =是22

43

[(2)]04

x

a a e x a x +++++=的根，

且1m <-， 把1x =-代入可得，23

14

a +=，解可得，1a =或1a =-，

当1a =时，可得2m =-，

当1a =-时，代入可得0m =不符合题意， 故2m =-， 故答案为：2-． 【点睛】

本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 15．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________. 【答案】36 【解析】 【分析】

本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】

问题中的x y z ??看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．

∴共有2936C =种．

故答案为：36

本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.

16．已知点M

在直线34x t

y t

?=-??=??（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=??=?（θ为参数）上的动点，

则MN 的最小值为________________.

【解析】 【分析】

先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】

由题得直线方程为430x y -+=， 由题意，点N

到直线的距离

d === ∴min

MN =

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1

22n n S m m R +=+∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()()

211

21log n n n b n a a +=+?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（1）12n n a （2）

21

n

n + 【解析】

分析：（1）利用项和公式求出数列{}n a 的通项公式.(2)先化简得()()1

2121n b n n =+-，再利用裂项相消

法求数列{}n b 的前n 项和n T . 详解： (1)由()1

22

n n S m m R +=+∈得()122n n S m m R -=+∈，

当2n ≥时， 12222n

n n n a S S -=-=，即()1

2

2n n a n -=≥，

又1122

m a S ==+

，当2m =-

时符合上式，所以通项公式为1

2n n a -=. (2)由（1）可知()(

)n 1212log log 2

2

21n

n n a a n -+==-

()()1

111212122121n b n n n n ??∴=

=- ?+--+??

12111111...1 (2223212121)

n n n

T b b b n n n ??∴=+++=

-+-++-= ?-++??. 点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 类似1n n c a a +?

?

?

???

（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.

用裂项相消法求和.

18．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1=AC=2BC ，∠ACB=90°． （Ⅰ）求证：AC 1⊥A 1B ；

（Ⅱ）求直线AB 与平面A 1BC 所成角的正切值．

【答案】 (1)见解析(2) 6 【解析】

分析：（1）先证BC ⊥平面11ACC A ，得到1BC AC ⊥，由四边形11ACC A 为正方形得出11AC AC ⊥，所以1AC ⊥平面1A BC ，进而证得11AC A B ⊥；

（2）由1AC ⊥平面1A BC 可得ABO ∠是直线AB 与平面1A BC 所成的角，设BC a =，利用勾股定理求出,OA OB ，即可得出tan ABO ∠的值.

详解：证明（Ⅰ）∵CC 1⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴CC 1⊥BC

又∠ACB=90°，即BC ⊥AC ，又AC∩CC 1=C ，

∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，又AC 1?平面A 1C 1CA ， ∴AC 1⊥BC ．

∵AA 1=AC ，∴四边形A 1C 1CA 为正方形， ∴AC 1⊥A 1C ，又AC 1∩BC=C ，

∴AC 1⊥平面A 1BC ，又A 1B ?平面A 1BC ， ∴AC 1⊥A 1B ． （Ⅱ）设AC 1∩A 1C=O ，连接BO ． 由（Ⅰ）得AC 1⊥平面A 1BC ，

∴∠ABO 是直线AB 与平面A 1BC 所成的角． 设BC=a ，则AA 1=AC=2a ， ∴

，

，

在Rt △ABO 中， ，

∴直线AB 与平面A 1BC 所成角的正切值为 ．

点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，同时对于立体几何中角的计算问题，紧扣线面角的定义，利用直角三角形求解是解答的关键. 19．已知函数，

；

.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在

使得

成立，求的取值范围；

（3）证明不等式.

【答案】【解析】 试题分析：

（1）对函数()f x 求导，()111x

f x x x

-'=

-=

，()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为()10f =；

（2）若对()10,x ?∈+∞，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x g x ≤成立，则转化为()()21max max g x f x ≥，由（1）知0f x =，问题转化为求函数3

g x x ax =-在区间1,2上的最大值0g x ≥，对g x

求导，()2

3g x x a '=-，分类讨论，当0a ≤时，函数()0g x '>在[]1,2上恒成立，()g x 在[]1,2上单调

递增，只需满足()()max 20g x g =≥，820a -≥，解得4a ≤，所以0a ≤；当0a >时，()0g x '=

时，

x =

x =

1≤时，()0g x '>在[]1,2上恒成立，只需满足()()max 20g x g =≥

，10

820a a ≤>??-≥???

，解得0a <≤，当，即时，在递减，递增，

而

，

在

为正，在为负，∴，当，而时，

，

不合题意，可以求出a 的取值范围。

（3）由（1）知：即

，

取

，∴

，

∴，即∴

，等号右端为等比数列

求和。

试题解析：（1）∵，

∴，

∴当时，

，

时，

， ∴，∴的最大值为.

（2），

使得成立，等价于

由（1）知，

，当时，

在

时恒为正，满足题意.

当时，，令，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

若，即时，，∴，∴.

若，即时，在递减，递增，而，

在

为正，在

为负，∴

，

当，而时，

，不合题意，

综上的取值范围为. （3）由（1）知：即

，

取，∴

，∴

，即

∴

.

考点：1.导数与函数的单调性和极值；2.导数的综合应用。 20．设函数2()2ln f x x ax x =-++.

（1）若()f x 在其定义域上是增函数，求实数a 的取值范围；

（2）当3a =时，()f x 在[,)()n

e n Z +∞∈上存在两个零点，求n 的最大值.

【答案】 (1)(-∞;(2)-2. 【解析】

分析：（1）由()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥恒成立，转化为最值问题，然后进行分离参数

求解新函数的单调性研究最值即可.（2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x

---+==

，得出函数的单调性和极值，然后根据()f x 在)

(),n

e n Z ?+∞∈?上存在两个零点，列出等价不等式求解即可.

详解：

（1）∵定义域为()0,+∞，()1

'2f x x a x

=-+

， ∵()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥，12a x x

≤+，

∵1

2x x

+

≥a 的取值范围是(

-∞. （2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x

---+==

， 由()'0f x >得()10,1,2x ?

?∈?+∞ ???，由()'0f x <得1,12x ??∈ ???

， ∴()f x 在1

2

x =

处取得极大值13

1ln 024

2f ??=+> ???，在1x =处取得极小值()10f =，

∴1x =是一个零点，当1x >，()0f x >，故只需12

n

e <

且()

0n

f e ≤，

∵()

21

22

1313210e e f e

e e e

-+-=-+-=>，()

2

42130f e e e -=-<，∴n 的最大值为-2. 点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和x 轴交点的问题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.

21．已知抛物线24y x =，过焦点F 作斜率为1k 的直线交抛物线于A B 、两点. （1）若||5AB =，求1k ；

（2）过焦点F 再作斜率为2k 的直线交抛物线于C D 、两点，且M N 、分别是线段AB CD 、的中点，若121k k +=，证明：直线MN 过定点.

【答案】（1）12k =±；（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程和抛物线方程可得()

2

1

12

21

24k x x k

++=

，然后利用

12||5=++=AB x x p 即可求出1k

（2）根据（1）中结果可得到212

1

122,k M k k ??+ ???，同理2

222222,k N k k ??

+ ???，由121k k +=可推出12MN k k k =，然后写出直线MN 的方程化简即可. 【详解】

（1）2p =，(1,0)F 设()11,A x y ，()22,B x y

由12(1)4y k x y x

=-??=?得()

2222

111240k x k x k -++= ()

2

1

12

2

124k x x k ++=

12||5=++=AB x x p ，()

21

12

21

243k x x k

++=

=，解得12k =±

（2）()()()12111211214112y y k x k x k x x k +=-+-=+-=，212

1

122,k M k k ??

+∴ ???

同理222

2

222,k N k k ??

+ ???，121k k +=，1212

1222

1212

22

12

22

22MN k k k k k k k k k k k k k -∴==+=++- 所以21122

1122:MN

k l y k k x k k ??

+-=- ???

化简得：2

121(1)(2)0k k x k y -+-= 直线MN 过定点(1,2) 【点睛】

涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.

22． 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 【答案】 (1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0]. 【解析】

试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围

试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2

{1,2325,3

x x x x x -+≤<<-≥

当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；

当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.

所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4|

|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.

当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|

－2－a≤x≤2－a ，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]． 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数