线性代数B复习题

线性代数B 复习资料

(一)单项选择题

1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2

，则下列各式中可能不成立的是（ A ）

(A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2

)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定

4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量

(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是( D )

(A) s ααα,,2,1 均不为零向量

(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关

(D ) s ααα,,2,

1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示

6．向量组的秩就是向量组的(C ) (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量

(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 7．下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，

仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量

组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,

1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关

(D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量

组仍然线性相关

8．设n 阶方阵A 的秩r

(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关

(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 9．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中( C )

(A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例

(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合

10．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关

11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）

13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（ A ） (A ) 133221,,αααααα-++ (B) 3213221,,ααααααα++++ (C) 1332213,32,

2αααααα+++

(D) 321321321553,222,

ααααααααα-++-++

14．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是(C ) (A)s ααα,,,21 均不为零向量

(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例

(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关

15．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数

m k k k ,,,21 为( C )

(A)任意一组常数

(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( D )

(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量

(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 ( D) (A) 必定r

(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关

18．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则( B ) (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关

(C) 该向量组存在唯一极大无关组

(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组

19．设()21,,1αα-=?n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( C ). (A)1αk (B)2αk (C )()21αα-k (D)()21αα+k 20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r

(C)任意r 个行向量构成极大无关组

(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )

(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组

合的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,

0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,0

23．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ D ）时

321,,ααα线性相关。

(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 5

24．向量组()4,2,1,

11-=α,()2,1,3,02=α,()14,7,033=α

()0,2,1,14-=α的秩为 (C )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

25．矩阵A 在( D ) 时可能改变其秩

(A) 转置 (B) 初等变换

(C) 乘一个可逆方阵 (D ) 乘一个不可逆方阵 26．设A 为n 阶方阵,且0=A ，则 ( C )

(A) A 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A 必有两行（列）对应元素乘比例

(C ) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A 中至少有一行（列）向量为零向量

27．向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是( C ) (A) s ααα,,,21 中有一零向量

(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,,,21 中有一向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,,,21 中任意一个向量均是其余向量的线性组合 28．若向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,则( C )

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (C )向量s αααβ,,,,21 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一

29．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D)

(A) 若AX=0仅有零解，则AX=b 有唯一解 (B) 若AX=0有非零解，则AX=b 有无穷多个解 (C) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0仅有零解 (D ) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0有非零解

30．要使????? ??=2011ζ,???

?? ??-=1102ζ都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A 为( A)

(A ) ()1,1,2- (B) ???? ??-110102 (C) ?

???

??-210201 (D) ????

?

??---110224110 31．设矩阵n m A ?的秩为r(A)=m

(B)A 的任意个m 阶子式不等于零

(C )A 通过初等变换, 必可化为(m I ,0)的形式 (D) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =.

32．非齐次线性方程组AX=b 中未知数的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ A ）

(A ) r=m 时, 方程组AX=b 有解 (B) r=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (C) m=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (D) r

33．设一个n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=n-3, 且321,,ηηη为此方程组的三个线性无关的解, 则( B )不是此方程组的基础解系 (A)321,,ηηη

(B )133221,,ηηηηηη--- (C)321211,,ηηηηηη+++ (D)233121,,ηηηηηη+--

34．已知321,,ααα是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ B ） (A) 332211αααk k k ++ (B ) 133221,,αααααα+++ (C) ,,3221αααα--

(D),,,233211αααααα-+-

35．向量组r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组s βββ,,,21 线性表示，则 (D ) r(r ααα,,,21 )必( )r(s βββ,,,21 )

(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D )小于等于

36．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ）T

，那么矩阵A 的秩为（ B ）

(A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是

37．设矩阵A =111121233λ??

?

? ?+??的秩为2，则λ=（ D ）

A.2

B.1

C.0

D .-1

38．一个向量组中的极大线性无关组（ C ）

(A)个数唯一 (B) 个数不唯一 (C )所含向量个数唯一 (D) 所含向量个数不唯一

39．设n 维向量组r ααα,,,21 (Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s βββ,,,21 (Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( D )

(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关 (C) (Ⅰ)线性无关 (D ) (Ⅰ)线性相关 40．设n ααα,,,21 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组n ααα,,,21 必定(A ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 41．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r

(A)A 中任何r+1列线性相关 (B) A 中任何r 列线性相关

(C) A 中有r 列线性无关 (D ) A 中线性无关的列向量最多有r 个

42．已知矩阵A=???

?

? ??040020001，则R （A ）=（ C ）

(A)0 (B)1 (C )2 (D)3

43．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 则A 的秩（ C ） (A)大于m (B)大于n (C )等于n (D) 等于m

44．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ A ）

(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 45．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ D ）满足即可 (A) A 中有r 阶子式不等于零 (B) A 中任何r+1阶子式等于零

(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r

(D ) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r

46．设m ×n 阶矩阵A ，B 的秩分别为21,r r ，则分块矩阵（A ，B ）的秩适合关系式（ A ） (A ) 21r r r +≤ (B) 21r r r +≥ (C) 21r r r += (D) 21r r r = 47．R(A)=n 是n 元线性方程组AX=b 有唯一解( C )

(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件 48．矩阵A=?

??

?

??--1111的特征值为0,2, 则3A 的特征值为( B ) (A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 49．A=?

??

?

??--1111， 则222A A I +--的特征值为（ B ） (A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4;

50．AP P B 1

-=,0λ是A,B 的一个特征值, α是A 的关于0λ的特征向量, 则B 的关于0λ的

特征向量是( C )

(A) α (B) αP (C ) α1

-P (D) αP '

51．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ B ） (A) 矩阵A 有n 个特征值

(B ) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A 的行列式0≠A (D) 矩阵A 的特征多项式没有重根

52．A 满足关系式O E A A =+-22

，则A 的特征值是( C ) (A)

λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2是

53．已知－2是A=???

?

? ??----b x 2222

220的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ D ） (A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －4

54．已知矩阵A=???

?

? ??----x 44174

147有特征值12,3321===λλλ，则x=（ D ） (A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 4

55．设A 为三阶矩阵，已知0=+E A ，02=+E A ，03=+E A ，则=+E A 4(A) (A ) 6 (B) － 4 (C) －2 (D)4

56．A 为n 阶矩阵，且I A =2，则 ( C)

(A) A 的行列式为1 (B) A 的特征值都是1 (C )A 的秩为n (D)A 一定是对称矩阵

57. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A 58. 已知A 为n 阶可逆阵, 则与A 必有相同特征值的矩阵是( C ) (A) 1-A (B)2A (C ) T A (D) *A 59．已知A 为三阶矩阵，r(A)=1, 则λ=0( B )

(A)必是A 的二重特征根 (B ) 至少是A 的二重特征根 (C) 至多是A 的二重特征根 (D)一重,二重,三重特征根都可能

（二）计算题与填空题

1．0653

=+-I A A ，则=-1

A （ ） （()I A 56

12--

）

2．设A 是43?矩阵,(),2=A R ???

?

? ??----=111211

120B ,则()=BA R ________

3．?????

??=101041003A ，则()=--1

2I A （ ） （20011102202?? ?- ? ???

）

4. 已知矩阵2101

0201A x ???

?=?????

?

与???

??

?????-=10000002y B 相似，则____________==y x

答案：2,3x y ==