第9章 直线相关与回归
第九章
双变量回归与相关
温州医学院环境与公共卫生学院叶晓蕾
概念：
回归：是研究变量之间在数量上依存关系的一种方法。
相关：是研究随机变量之间相互联系密切程度和方向的方法。
直线相关与回归：只涉及两个变量，而且分析是否呈直线关系，是回归和相关分析中最简
单的一种。又称简单相关和回归。
一、直线回归(linear regression)
1. 直线回归方程
：应变量Y 的平均估计值a ：截距（intercept)
b ：回归系数(regression coefficient)
bX
a Y +=?Y
?bX
a Y +=注意直线回归方程与函数方程的不同
应用条件：
线性（linear）、独立性（independent）、正态性（normal）、等方差（equal variance）——“LINE”。
线性——自变量与应变量的关系是线性的。用散点图判断。
独立性——任意两个观察值互相独立。
正态性——在任意的自变量X的取值处，应变量y均服从正态分布。
等方差——在任意的自变量X的取值处，应变量y的方差均相同。
20名糖尿病人血糖（mmol/L）与胰岛素（mU/L）测定值
病例号血糖胰岛素i Y I X i 病例号血糖胰岛素i Y i X i
1 12.21 15.2
2 14.54 16.7
3 12.27 11.9
4 12.04 14.0
5 7.88 19.8
6 11.10 16.2
7 10.43 17.0
8 13.32 10.3
9 19.59 5.9
10 9.05 18.7 11 6.44 25.1
12 9.49 16.4
13 10.16 22.0
14 8.38 23.1
15 8.49 23.2
16 7.71 25.0
17 11.38 16.8
18 10.82 11.2
19 12.49 13.7
20 9.21 24.4
直线回归分析的一般步骤：
?绘制散点图
?求回归方程
?回归方程的假设检验
20名糖尿病人的血糖水平与胰岛素水平的散点图
10.015.020.025.0
x
8.00
12.00
16.00
20.00
y
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?????
??
SPSS
回归直线的求法
原理（最小二乘法）(
)
∑为最小
即 Y ?-Y
2各散点距离回归直线纵向距离
平方和为最小而得到直线。
计算：
回归直线必通过点
()()()()()()XX
XY l l n X X n Y X XY X X Y Y X X b =
--=---=∑∑∑∑∑∑
∑2
2
2
()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=--=-=-=-=-=n
Y X XY Y Y X X l n
Y Y Y Y l n X X X X l XY
YY XX
2
2
2
2
2
2
Coefficients a
18.796 1.265
14.862.000-.459
.070
-.840
-6.562
.000
(Constant)x
Model 1
B Std. Error
Unstandardized Coefficients
Beta
Standardized Coefficients
t Sig.Dependent Variable: y
a. X
Y 459.0796.18?-=
3. 直线回归的假设检验即推断总体回归系数（β）是否为零（1）方差分析
即：SS 222
)
?()?()(∑∑∑-+-=-Y Y Y Y Y Y )?()?()(Y Y Y Y
Y Y -+-=-——剩余或残差（residual)
Y
?Y -
查附表3.1，F 0.01（1，18）=8.28
P< 0.01
(2)ｔ检验
ｔ= （b －0）/ ｓb ν=n -2
2
1
1 2
-=-===-==n SS SS SS l l
SS n l SS xx xy
yy 剩余回归总剩余回归回归总总ννν06.4318
9482.471
7032.114===
=
剩
回剩
剩回回MS MS SS SS F νν0699.0582
.5456638.2===
XX
b l MS S 剩余
ｔ＝（-0.4585 -0）/0.0699 = - 6.56 = 18，t0.01（18）= 2.878
P < 0.01
F = t2=（-6.56）2= 43.03
ANOVA b
114.7031114.703
43.060
.000a
47.94818 2.664
162.651
19
Regression Residual Total
Model 1
Sum of Squares
df
Mean Square
F Sig.Predictors: (Constant), x a. Dependent Variable: y
b. Coefficients a
18.796 1.265
14.862.000-.459
.070
-.840
-6.562
.000
(Constant)x
Model 1
B Std. Error
Unstandardized Coefficients
Beta
Standardized Coefficients
t Sig.Dependent Variable: y
a.
4. 直线回归的区间估计
（1）总体回归系数β的区间估计：
b
n S t b )2(,-±α例：上例中，b=-0.4585，S b =0.0699，t 0.05,18=2.101∴β的95%可信区间：
6054
.0~3116.00699.0101.24585.0--=?±-
（2）的估计：Y
?μ即总体中当X 为某定值X 0的条件下Y 的均数。
???
? ??-+=-+=±ναXX
XX X
Y Y Y l X X n
MS l X X n S S S t Y 2
02
0.??,)(1)
(1?剩余
())/(3996.058.54533.17152016638.2101
.2)/(9182.11154585.07957.18?2
?18,05.0L mmol S t L mmol Y Y =???
?
?
?-+===?-=Y S t Y ?
18,05.0?±即：11.918±2.101×0.3396= ( 11.08, 12.76 )
例：用上例所求直线回归方程，试计算当X 0= 15 mU/L
时，的95%可信区间。Y
?μ
第九章 相关与简单线性回归分析
第九章相关与简单线性回归分析 第一节相关与回归的基本概念 一、变量间的相互关系 现象之间存在的依存关系包括两种：确定性的函数关系和不确定性的统计关系，即相关关系。 二、相关关系的类型 1、从相关关系涉及的变量数量来看：简单相关关系；多重相关或复相关。 2、从变量相关关系变化的方向看：正相关；负相关。 3、从变量相关的程度看：完全相关；不相关；不完全相关。 二、相关分析与回归分析概述 相关分析就是用一个指标（相关系数）来表明现象间相互依存关系的性质和密切程度；回归分析是在相关关系的基础上进一步说明变量间相关关系的具体形式，可以从一个变量的变化去推测另一个变量的变化。 相关分析与回归分析的区别： 目的不同：相关分析是用一定的数量指标度量变量间相互联系的方向和程度；回归分析是要寻求变量间联系的具体数学形式，要根据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。 对变量的处理不同：相关分析不区分自变量和因变量，变量均视为随机变量；回归区分自变量和因变量，只有因变量是随机变量。 注意：相关和回归分析都是就现象的宏观规律/平均水平而言的。 第二节简单线性回归 一、基本概念 如果要研究两个数值型／定距变量之间的关系，以收入x与存款额y为例，对n个人进行独立观测得到散点图，如果可以拟合一条穿过这一散点图的直线来描述收入如何影响存款，即简单线形回归。 二、回归方程 在散点图中，对于每一个确定的x值，y的值不是唯一的，而是符合一定概率分布的随机变量。如何判断两个变量之间存在相关关系？要看对应不同的x，y的概率分布是否相同/y的总体均值是否相等。 在x=xi的条件下，yi的均值记作E(yi)，如果它是x的函数，E(yi) =f(xi)，即回归方程，就表示y和x之间存在相关关系，回归方程就是研究自变量不同取值时，因变量y的平均值的变化。当y的平均值和x呈现线性关系时，称作线性回归方程，只有一个自变量就是一元线性回归方程。 一元线性回归方程表达式：E(y i )= α+βx i ，其中α称为常数，β称为回
第九章相关与回归分析答案如下
第九章相关与回归分析答案如下 *9-1 在相关分析中，对两个变量的要求是（Ａ）。（单选题） A. 都是随机变量 B. 都不是随机变量 C. 其中一个是随机变量，一个是常数。 D. 都是常数。 *9-2 在建立与评价了一个回归模型以后，我们可以（D ）。（单选题） A. 估计未来所需要样本的容量。 B. 计算相关系数与判定系数。 C. 以给定因变量的值估计自变量的值。 D. 以给定自变量的值估计因变量的值。 9-3 对两变量的散点图拟合最好的回归线必须满足一个基本条件是（D ）。（单选题） 最小 y2 最小 yii y i 最大B. y i 最大D. y2 yi?i A. C. y yi?i *9-4 如果某地区工人的日工资收入（元）随劳动生产率（千元/人时）的变动符合简单线性方程Y=60+90X，请说明下列的判断中正确的有（ＡＣ）（多选） A．当劳动生产率为1千元/人时，估计日工资为150元；B．劳动生产率每提高1千元/人时，则日工资一定提高90元；C．劳动生产率每降低0.5千元/人时，则日工资平均减少45元；D．当日工资为240元时，劳动生产率可能达到2千元/人。 *9-5 变量之间的关系按相关程度可分为（B ＣD ）（多选） A．正相关B．不相关C．完全相关D．不完全相关 *9-6 简单线性回归分析的特点是：（ＡB ）。（多选题） A. 两个变量之间不是对等关系 B. 回归系数有正负号 C. 两个变量都是随机的 D. 利用一个方程两个变量可以互相推算E．有可能求出两个回归方程 *9-7 一元线性回归方程中的回归系数b可以表示为（ＢＣ）。（多选题） A. 两个变量之间相关关系的密切程度 B. 两个变量之间相关关系的方向 C. 当自变量增减一个单位时，因变量平均增减的量 D. 当因变量增减一个单位时，自变量平均增减的量E．回归方程的拟合优度 *9-8 回归分析和相关分析的关系是（AＢE ）。（多选题） A. 回归分析可用于估计和预测 B. 相关分析是研究变量之间的相关关系的密切程度 C. 回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测 D. 相关分析需要区分自变量和因变量E．相关分析是回归分析的基础
第10章直线回归和相关Stata实现
第十章 直线回归和相关 本章使用的STATA 命令为： 例10－1 为了研究血清胆固醇含量与舒张压之间是否存在依存关系，2006年在郑州某大学随机抽取10名成年男性，测得他们的血清胆固醇(mg/dL)含量和舒张压（mmHg ）如表10-1，请作统计分析。 表10-1 10名成人的血清胆固醇(mg/dL)含量和舒张压（mmHg ） 指标 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 胆固醇X 307 259 341 237 254 416 267 320 374 316 舒张压Y 80 75 90 70 75 105 70 85 88 78 0H ：总体回归方程不成立（0β=） 1H ：总体回归方程成立（0β≠） α=0.05 解：STATA 数据： STA TA 命令为： 结果：
t=8.07 ,P 值<0.001(Stata 输出值0.000),构建直线回归方程 将a 和b 代入式（10-2），可知， X Y 178.062.26?+= 本例中，b 的统计学意义为：血清胆固醇含量每增加1mg/dL ，总体中舒张压平均增加0.178mmHg 。 总体均数X Y μ的区间估计 给定0X X ＝时，Y 的总体均数的点估计，例10－1中，当 自变量X 取值为307 mg/dL 时。个体Y 值的容许区间估计 给定0X X ＝值时，估计总体中个体Y 值的波动范围，以例10-1中第一个样本点的数据（307,80）为例。 STATA 命令： 结果： x y yhat stdp stdf clm1 clm2 clp1 clp2 307 80 81.23 1.19 3.96 78.4 84.05 71.86 90.59 259 75 72.69 1.63 4.11 68.84 76.53 62.97 82.41 341 90 87.27 1.39 4.02 84 90.55 77.76 96.78
第10章-简单线性回归分析思考与练习参考答案
第10章 简单线性回归分析 思考与练习参考答案 一、最佳选择题 1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。 A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错 2．如果相关系数r =1，则一定有（ C ）。 A ．总SS =残差SS B ．残差SS =回归 SS C ．总SS =回归SS D ．总SS ＞回归SS E. 回归MS =残差MS 3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。 A ．ρ=0时，r =0 B ．|r |＞0时，b ＞0 C ．r ＞0时，b ＜0 D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =1 4．如果相关系数r =0，则一定有（ D ）。 A ．简单线性回归的截距等于0 B ．简单线性回归的截距等于Y 或X C ．简单线性回归的残差SS 等于0 D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总 E ．简单线性回归的总SS 等于0 5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。 A ．各观测点距直线的纵向距离相等 B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C ．各观测点距直线的垂直距离相等 D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小
E ．各观测点距直线的纵向距离等于零 二、思考题 1．简述简单线性回归分析的基本步骤。 答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。 答：区别： （1）资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。 （2）应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归（定量分析），说明两变量的相关关系用相关（定性分析）。 （3）两个系数的意义不同。r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b 表示X 每变化一个单位所导致Y 的平均变化量。 （4）两个系数的取值范围不同：-1≤r ≤1，∞<<∞-b 。 （5）两个系数的单位不同：r 没有单位，b 有单位。 联系： （1）对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b ＞0时，r ＞0，均表示两变量X 、Y 同向变化；b ＜0时，r ＜0，均表示两变量X 、Y 反向变化。 （2）回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价，即对同一双变量资料，r b t t =。由于相关系数r 的假设检验较回归系数b 的假设检验简单，故在实际应用中常以r 的假设检验代替b 的假设检验。 （3）用回归解释相关：由于决定系数2 R =SS 回 /SS 总 ，当总平方和固定时，回归平方 和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则2 R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r =0.20，n =100时，可按检验水准0.05拒绝H 0，接受H 1，认为两变量有相关关系。但2 R =(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明
第十九章直线相关与回归试题
第十九章 直线相关与回归 A 型选择题 1、若计算得一相关系数r=0.94,则（ ） A 、x 与y 之间一定存在因果关系 B 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为正值 C 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为负值 D 、求得回归截距a>0 E 、求得回归截距a ≠0 2、对样本相关系数作统计检验（H 0：ρ=0），结果0.05()v r r >，统计结论是（ ）。 A. 肯定两变量为直线关系 B 、认为两变量有线性相关 C 、两变量不相关 B. 两变量无线性相关 E 、两变量有曲线相关 3、若1210.05()20.01(),v v r r r r >>，则可认为（ ）。 A. 第一组资料两变量关系密切 B. 第二组资料两变量关系密切 C 、难说哪一组资料中两变量关系更密切 D 、两组资料中两变量关系密切程度不一样 E 、以上答案均不对 4、相关分析可以用于（ ）有无关系的研究 A 、性别与体重 B 、肺活量与胸围 C 、职业与血型 D 、国籍与智商 E 、儿童的性别与体重 5、相关系数的假设检验结果P<α,则在α水平上可认为相应的两个变量间（ ） A 、有直线相关关系 B 、有曲线相关关系 C 、有确定的直线函数关系 D 、有确定的曲线函数关系 E 、不存在相关关系 6、根据样本算得一相关系数r ，经t 检验，P ＜0.01说明（ ）
A 、两变量有高度相关 B 、r 来自高度相关的相关总体 C 、r 来自总体相关系数ρ的总体 D 、r 来自ρ≠0的总体 E 、r 来自ρ＞0的总体 7、相关系数显著检验的无效假设为（ ） A 、r 有高度的相关性 B 、r 来自ρ≠0的总体 C 、r 来自ρ＝0的总体 D 、r 与总体相关系数ρ差数为0 E 、r 来自ρ＞0的总体 8、计算线性相关系数要求（ ） A ．反应变量Y 呈正态分布，而自变量X 可以不满足正态分布的要求 B ．自变量X 呈正态分布，而反应变量Y 可以不满足正态分布的要求 C ．自变量X 和反应变量Y 都应满足正态分布的要求 D ．两变量可以是任何类型的变量 E ．反应变量Y 要求是定量变量，X 可以是任何类型的变量 9、对简单相关系数r 进行检验，当检验统计量t r >t 0.05(ν)时，可以认为两变量x 与Y 间（ ） A ．有一定关系 B ．有正相关关系 C ．无相关关系 D ．有直线关系 E ．有负相关关系 10、相关系数反映了两变量间的（ ） A 、依存关系 B 、函数关系 C 、比例关系 D 、相关关系 E 、因果关系 11、)2(,2/05.0- 第九章相关与回归 一．判断题部分 题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。（） 答案：× 题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。（） 答案：√ 题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。（） 答案：× 题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。（） 答案：× 题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。（） 答案：√ 题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。（） 答案：× 题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。（） 答案：√ 题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。（） 答案：× 题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。（） 答案：√ 题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。（） 答案× 二．单项选择题部分 题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。 A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系 答案：B 题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。 A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系 第九章相关与回归 （一）判断题 1、正相关是指两个变量之间的变化方向都是止升的趋势，而负相关是指两个变量之间的变化方向都是下降的趋势。（） 2、负相关是指两个量之间的变化方向相反，即一个呈下降（上升）而另一个呈上升（下降）趋势。（） 3、函数关系是一种完全的相关关系。（） 4、已知两变量直线回归方程为:Y^=-45.25+1.61x，则可断定这两个变量之间一定存在正相关关系。（） 5、回归分析和相关分析一样，所分析的两个变量郡一定是随机变量。（） 6、在其他条件不变的情况下，相关系数越大，估计标准误差就越大;反之，估计标准误差就越小。可见估计标准误差的大小与相关系数的大小是一致的。（） 7、相关系数的数值越大，说明相关程度越高;同理，相关系数的数值越小，说明相关程度越低。（） 8、不具有因果关系的两个变量之间，一定不存在相关关系。（） （二）单项选择题 1、确定现象之间是否存在相关关系，首先要对现象进行（）。 定性分析 定量分析 数值分析 定性与定量分析 2、相关关系与函数关系之间的联系体现在（）。 相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 相关关系与函数关系没有区别 3、相关系数的取值范围是（）。 -1 第十章 直线相关与回归 一、教学大纲要求 （一） 掌握内容 ⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容 ⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。 二、 学内容精要 (一) 直线回归 1. 基本概念 直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。 直线回归方程bX a Y +=?中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。 表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比 a b 含义 回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。 回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方 b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方 b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小 系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化 计算公式 X b Y a -= XX XY l l X X Y Y X X b =---= ∑∑2 )())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验 （1）方差分析； （2）t 检验。 第9章相关与回归分析 【教学内容】 相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。 【教学目标】 1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系； 2、掌握相关分析的定性和定量分析方法； 3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。 【教学重、难点】 1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系； 2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。 第一节相关分析的一般问题 一、相关关系的概念与特点 （一）相关关系的概念 在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。 相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。 （二）相关关系的特点 1、相关关系表现为数量相互依存关系。 2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。 二、相关关系的种类 1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关 2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关 3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关 4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关 三、相关分析的内容 相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。其目 的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。 相关分析的内容和程序是: (1)判别现象间有无相关关系 (2)判定相关关系的表现形态和密切程度 第二节相关关系的判断与分析 一、相关关系的一般判断 （一）定性分析 对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。例如,根据经济理论来判断居民的货币收入与社会商品购买力是否存在相关关系;根据会计学理论来判断生产成本与利润有无相关关系;根据生物遗传理论来判断父辈的身高与子辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是进行相关分析的基础,在此基础上,根据需要通过编制相关表和绘制相关图来进行分析。 （二）相关表 相关表就是把被研究现象的观察值对应排列所形成的统计表格,如某地区工业固定资产 投资与工业增加值的历史资料对应排列所形成的表9-1。 表9-1 某地区工业固定资产投资与工业增加值相关表 单变量分组相关表是在具有相关关系的两个变量中,只对自变量进行分组的相关表(见表9-2)。 表9-2 商品销售额与流通费用率相关表 第十章 直线相关与回归 一、教学大纲要求 （一） 掌握内容 ⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容 ⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。 二、 学内容精要 (一) 直线回归 1. 基本概念 直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。 直线回归方程bX a Y +=?中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。 表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比 a b 含义 回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。 回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方 b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方 b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小 系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化 计算公式 X b Y a -= XX XY l l X X Y Y X X b =---= ∑∑2 )())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验（1）方差分析；（2）t 检验。 3. 直线回归方程的应用（1）描述两变量的依存关系；（2）用回归方程进行预测； （3）用回归方程进行统计控制；（4）用直线回归应注意的问题。 (二) 直线相关 1. 基本概念 直线相关（linear correlation ）又称简单相关（simple correlation ），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。 相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation ），以符号r 表示样 本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。 2. 计算公式 YY XX XY l l l Y Y X X Y Y X X r = ----= ∑∑2 2 ) ()() )(( 相关系数r 没有单位，其值为－1≤r ≤1。其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈 第八章相关与回归分析 一、本章重点 1．相关系数的概念及相关系数的种类。事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。 2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。 3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。 4．应用相关与回归分析应注意的问题。相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。 二、难点释疑 本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。 三、练习题 （一）填空题 1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（函数关系）和（相关关系）两种。 2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（单相关）和（复相关）；按相关的表现形式分（线性相关）和（非线性相关）；按相关关系的密切程度分（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关关系的方向分（正相关）和（负相关）。 3．回归方程只能用于由（自变量）推算（因变量）。 4．一个自变量与一个因变量的线性回归，称为（一元线性回归） 5．估计变量间的关系的紧密程度用（相关系数） 6．在相关分析中，要求两个变量都是随机的，而在回归分析中要求自变量是（不是随机的），因变量是（随机的）。 7．已知剩余变差为250，具有12对变量值资料，那么这时的估计标准误差是（）。 8．将现象之间的相关关系，用表格来反映，这种表称为（相关表），将现象之间的相关关系用图表示称（相关图）。 第九章相关与回归分析习题 一、填空题 1．现象之间的相关关系按相关的程度分为、和；按相关的形式分为和；按影响因素的多少分为和。 2．两个相关现象之间，当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为正相关；当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为负相关。 3．相关系数的取值范围是。 4．完全相关即是关系，其相关系数为。 5．相关系数，用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。 6．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等1，说明两变量之间；直线相关系数等于—1，说明两变量之间。 7．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称为。 8．回归方程y=a+bx中的参数a是，b是。在统计中估计待定参数的常用方法是。 9. 分析要确定哪个是自变量哪个是因变量，在这点上它与不同。 10．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。 11．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。 12．判断一条回归直线与样本观测值拟合程度好坏的指标是。 二、单项选择题 1．下面的函数关系是( ) A销售人员测验成绩与销售额大小的关系B圆周的长度决定于它的半径 C家庭的收入和消费的关系D数学成绩与统计学成绩的关系 2．相关系数r的取值范围( ) A -∞ 第九章相关与回归分析 习题 一、单选题 1．下面的函数关系是（）。 A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系 B、圆周的长度决定于它的半径 C、家庭的收入和消费的关系 D、数学成绩与统计学成绩的关系 2．若要证明两变量之间线性相关程度是高的，则计算出的相关系数应接近于（）。 A、+1 B、0 C、0.5 D、+1或-1 3．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象（）。 A、线性相关还是非线性相关 B、正相关还是负相关 C、完全相关还是不完全相关 D、单相关还是复相关 4．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为( )。 A、8 B、0.32 C、2 D、12.5 5．下面现象间的关系属于相关关系的是（）。 A、圆的周长和它的半径之间的关系 B、价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C、家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D、正方形面积和它的边长之间的关系 6．下列关系中，属于正相关关系的是（）。 A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B、产品产量与单位产品成本之间的关系 C、商品的流通费用与销售利润之间的关系 D、流通费用率与商品销售量之间的关系 7．相关分析是研究（）。 A、变量之间的数量关系 B、变量之间的变动关系 C、变量之间的相互关系的密切程度 D、变量之间的因果关系 8．在回归直线y=a+bx中，b<0，则x与y之间的相关系数( )。 A、r=0 B、r=l C、0 第十一章线性相关分析与线性回归分析 11.1 两个变量之间的线性相关分析 相关分析是在分析两个变量之间关系的密切程度时常用的统计分析方法。最简单的相关分析是线性相关分析，即两个变量之间是一种直线相关的关系。相关分析的方法有很多，根据变量的测量层次不同，可以选择不同的相关分析方法。总的来说，变量之间的线性相关关系分为三种。一是正相关，即两个变量的变化方向一致。二是负相关，即两个变量的变化方向相反。三是无相关，即两个变量的变化趋势没有明显的依存关系。两个变量之间的相关程度一般用相关系数r 来表示。r 的取值范围是：-1≤r≤1。∣r∣越接近1，说明两个变量之间的相关性越强。∣r∣越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。相关分析可以通过下述过程来实现： 11.1.1 两个变量之间的线性相关分析过程 1．打开双变量相关分析对话框 执行下述操作： Analyze→Correlate(相关)→Bivariate（双变量）打开双变量相关分析对话框，如图11-1 所示。 图11-1 双变量相关分析对话框 2．选择进行相关分析的变量 从左侧的源变量窗口中选择两个要进行相关分析的变量进入Variable 窗口。 3．选择相关系数。 Correlation Coefficient 是相关系数的选项栏。栏中提供了三个相关系数的选项：（1）Pearson:皮尔逊相关，即积差相关系数。适用于两个变量都为定距以上变量，且两个 变量都服从正态分布的情况。这是系统默认的选项。 （2）Kendall：肯德尔相关系数。它表示的是等级相关，适用于两个变量都为定序变量的情况。 （3）Spearman:斯皮尔曼等级相关。它表示的也是等级相关，也适用于两个变量都为定序变量的情况。 4．确定显著性检验的类型。 Test of Significance 是显著性检验类型的选项栏，栏中包括两个选项： （1）Two-tailed:双尾检验。这是系统默认的选项。 （2）One-tailed:单尾检验。 5．确定是否输出相关系数的显著性水平 Flag significant Correlations:是标出相关系数的显著性选项。如果选中此项，系统在输出结果时，在相关系数的右上方使用“*”表示显著性水平为0.05；用“**”表示显著性水平为0.01。 6. 选择输出的统计量 单击Options 打开对话框，如图11-2 所示。 图11-2 相关分析选项对话框 （1）Statistics 是输出统计量的选项栏。 1）Means and standard deviations 是均值与标准差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出均值与标准差。 2）Cross- product deviations and covariances 是叉积离差与协方差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出每个变量的离差平方和与两个变量的协方差。 上述两项选择只有在主对话框中选择了Pearson:皮尔逊相关后，计算结果才有价值。 （2）缺失值的处理办法 Missing Valuess 是处理缺失值的选项栏。 1）Exclude cases pairwise 是成对剔除参与相关系数计算的两个变量中有缺失值的个案。2）Exclude cases listwise 是剔除带有缺失值的所有个案。 上述选项做完以后，单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。 8．单击OK 按钮，提交运行。系统在输出文件窗口中输出相关分析的结果。 11.1.2 两个变量之间的线性相关分析实例分析 第9章相关与回归分析 一、单项选择题 1.当变量X按一定数量减少时，变量Y也随之发生大致等量的减少，那么这两个变量之间存在（）。 A、函数关系 B、直线正相关关系 C、直线负相关关系 D、曲线相关关系 答案：B 2.当居民的收入减少时，居民的储蓄存款也会相应减少，二者之间的关系是（）。 A、负相关关系 B、曲线相关关系 C、零相关关系 D、正相关关系 答案：D 3.线性相关系数反映了（）。 A、两个变量线性关系的密切程度 B、两个变量线性关系的拟合程度 C、两个变量变动的一致性程度 D、自变量变动对因变量变动的解释程度 答案：A 4.在一元线性回归方程Y＝A＋BX中，回归系数B表示（）。 A、当X＝0时，Y的期望值 B、当X变动1个单位时，Y的变动总额 C、当Y变动1个单位时，X的平均变动额 D、当X变动1个单位时，Y的平均变动额 答案：D 5.在一元线性回归方程Y＝A＋BX中，回归系数A表示（）。 A、当X＝0时，Y的期望值 B、当X变动1个单位时，Y的变动总额 C、当Y变动1个单位时，X的平均变动额 D、当X变动1个单位时，Y的平均变动额 答案：A 6.利用最小二乘法求解回归系数的基本要求是（ ）。 A 、∑-t Y Y (）2＝任意值 B 、∑-t Y Y (）2＝最小值 C 、∑-t Y Y (）2＝最大值 D 、∑-t Y Y (）2＝0 答案：B 7.从回归方程Y ＝7.4910－0.5655X 可以得出（ ）。 A 、X 每增加1个单位，Y 增加0.5655个单位 B 、X 每增加1个单位，Y 减少0.5655个单位 C 、X 每增加1个单位，Y 平均增加0.5655个单位 D 、X 每增加1个单位，Y 平均减少0.5655个单位 答案：D 8.某产品产量为1000件时，其生产成本为30000元，其中不变成本为6000元，则总成本对产量的一元线性回归方程为（ ）。 A 、Y ＝6000＋24X B 、Y ＝6＋0.24X C 、Y ＝24000＋6X D 、Y ＝24＋6000X 答案：A 9.在一元线性回归方程Y ＝A ＋BX 中，如回归系数B ＝0，则表示（ ）。 A 、 Y 对X 的影响是显著的 B 、Y 对X 的影响是不显著的 C 、 对Y 的影响是显著的 D 、X 对Y 的影响是不显著的 答案：D 10.如果变量X 、Y 的相关系数为0，则表示（ ）。 A 、 二者没有相关关系 B 、二者存在高度相关 C 、二者没有线性相关关系 D 、二者不存在曲线相关 答案：C 11.相关系数的取值范围为（ ）。 A 、0≤R ≤1 B 、0 第七章回归与相关分析 一、填空题 1．现象之间的相关关系按相关的程度分 为、和；按相关的形式分 为和；按影响因素的多少分 为和。 2．两个相关现象之间，当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为正相关；当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量，这种相关称为负相关。 3．相关系数的取值范围是。 4．完全相关即是关系，其相关系数 为。 5．相关系数，用于反映条件下，两变量相关关系的密切程度和方向的统计指标。 6．直线相关系数等于零，说明两变量之间；直线相关系数等1，说明两变量之间；直线相关系数等于—1，说明两变量之间。 7．对现象之间变量的研究，统计是从两个方面进行的，一方面是研究变量之间关系的，这种研究称为相关关系；另一方面是研究关于自变量和因变量之间的变动关系，用数学方程式表达，称 为。 8．回归方程y=a+bx中的参数a是，b 是。在统计中估计待定参数的常用方法 是。 9. 分析要确定哪个是自变量哪个是因变量，在这点上它与不同。 10．求两个变量之间非线性关系的回归线比较复杂，在许多情况下，非线性回归问题可以通过化成来解决。 11．用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是。 12．判断一条回归直线与样本观测值拟合程度好坏的指标 是。 二、单项选择题 1．下面的函数关系是( ) A销售人员测验成绩与销售额大小的关系 B圆周的长度决定于它的半径 C家庭的收入和消费的关系 D数学成绩与统计学成绩的关系 2．相关系数r的取值范围( ) A -∞ 3．年劳动生产率z(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( ) A增加70元 B减少70元 C增加80元 D减少80元 4．若要证明两变量之间线性相关程度是高的，则计算出的相关系数应接近于( ) A+1 B 0 C 0．5 D [1] 5．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ) A线性相关还是非线性相关 B正相关还是负相关 C完全相关还是不完全相关 D单相关还是复相关 6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间(x)与考试成绩(y)之间建 =a+b x。经计算，方程为y c=200—0.8x，该方程参数的计算立线性回归方程y c ( ) A a值是明显不对的 B b值是明显不对的 C a值和b值都是不对的 C a值和6值都是正确的 7．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0．8时，则其回归系数为：( ) A 8 B 0.32 C 2 D 12．5 8．进行相关分析，要求相关的两个变量( ) A都是随机的 B都不是随机的 C一个是随机的，一个不是随机的 D随机或不随机都可以 9．下列关系中，属于正相关关系的有( ) A合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B产品产量与单位产品成本之间的关系 C商品的流通费用与销售利润之间的关系 D流通费用率与商品销售量之间的关系 10．相关分析是研究( ) A变量之间的数量关系 B变量之间的变动关系C变量之间的相互关系的密切程度 D变量之间的因果关系 =a+bx，b<0，则x与y之间的相关系数 ( ) 11．在回归直线y c A r=0 B r=l C 0 第十二章 直线相关与回归 A 型选择题 1、若计算得一相关系数r=0.94,则（ ） A 、x 与y 之间一定存在因果关系 B 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为正值 C 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为负值 D 、求得回归截距a>0 E 、求得回归截距a ≠0 2、对样本相关系数作统计检验（H 0：ρ=0），结果0.05()v r r >，统计结论是（ ）。 A. 肯定两变量为直线关系 B 、认为两变量有线性相关 C 、两变量不相关 B. 两变量无线性相关 E 、两变量有曲线相关 3、若1210.05()20.01(),v v r r r r >>，则可认为（ ）。 A. 第一组资料两变量关系密切 B. 第二组资料两变量关系密切 C 、难说哪一组资料中两变量关系更密切 D 、两组资料中两变量关系密切程度不一样 E 、以上答案均不对 4、相关分析可以用于（ ）有无关系的研究 A 、性别与体重 B 、肺活量与胸围 C 、职业与血型 D 、国籍与智商 E 、儿童的性别与体重 5、相关系数的假设检验结果P<α,则在α水平上可认为相应的两个变量间（ ） A 、有直线相关关系 B 、有曲线相关关系 C 、有确定的直线函数关系 D 、有确定的曲线函数关系 E 、不存在相关关系 6、根据样本算得一相关系数r ，经t 检验，P ＜0.01说明（ ） A 、两变量有高度相关 B 、r 来自高度相关的相关总体 C 、r 来自总体相关系数ρ的总体 D 、r 来自ρ≠0的总体 E 、r 来自ρ＞0的总体 7、相关系数显著检验的无效假设为（ ） A 、r 有高度的相关性 B 、r 来自ρ≠0的总体 C 、r 来自ρ＝0的总体 D 、r 与总体相关系数ρ差数为0 E 、r 来自ρ＞0的总体 8、计算线性相关系数要求（ ） A ．反应变量Y 呈正态分布，而自变量X 可以不满足正态分布的要求 B ．自变量X 呈正态分布，而反应变量Y 可以不满足正态分布的要求 C ．自变量X 和反应变量Y 都应满足正态分布的要求 D ．两变量可以是任何类型的变量 E ．反应变量Y 要求是定量变量，X 可以是任何类型的变量 9、对简单相关系数r 进行检验，当检验统计量t r >t 0.05(ν)时，可以认为两变量x 与Y 间（ ） A ．有一定关系 B ．有正相关关系 C ．无相关关系 D ．有直线关系 E ．有负相关关系 10、相关系数反映了两变量间的（ ） A 、依存关系 B 、函数关系 C 、比例关系 D 、相关关系 E 、因果关系 11、)2(,2/05.0-统计学原理第九章(相关与回归)习题答案
第九章 相关与回归
第十章直线相关与回归
第九章 相关与回归分析
统计学教案习题10直线相关与回归
第8章 相关分析与回归分析及答案
第九章 相关与回归分析习题
第9章 相关与回归分析
第十一章线性相关分析报告与线性回归分析报告
第9章 相关与回归分析-含答案
第七章回归与相关分析练习及答案
第十二章直线相关与回归