有限元网格划分和收敛性
一、基本有限元网格概念
1.单元概述
几何体划分网格之前需要确定单元类型。
单元类型的选择应该根据分析类型、
形状特征、
计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。 为适应特殊的分析对象和边界
条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
2?单元分类
选择单元首先需要明确单元的类型，在结构中主要有以下一些单元类型： 平面应力单元、
平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板
单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单
元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。根据不 同的分类方法，上述单元可以分成以
下不同的形式。
3. 按照维度进行单元分类
根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
一维单元的网格为一条直线或者曲线。 直线表示由两个节点确定的线性单元。 曲线代表 由两个以上的节点确定的高次单元， 或者由具有确定形状的线性单元。 杆单元、梁单元和轴 对称壳单元属于一维单元，如图 1?图
3所示。
二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。这类单元包括平面单元、 轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图 4所示。二 维单元的形状通
常具有三角形和四边形两种，
在使用自动网格剖分时， 这类单元要求的几何形状是表面模型
图1捋果詰柯与一维杆单无犠型（直豉）
&2桁舉第构石一隼杆早死撲型（曲线）
B3毀姑构与一纯梁单元除世（直疑和呦疚〕
或者实体模型的边界面。采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
洞丨伍金哉钩和潯壳社电
三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元
包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实
体模型（厚壳单元是曲面也可以）。
图5三址乙勺久和父侬草无
4. 按照插值函数进行单元分类
根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次
单元和更高次的单元。
线性单元具有线性形式的插值函数，其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面。这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大
的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模。但是由于单元位移函数是线性的，单元
着应力突变，如图6所示。
S6錢41吕节点点单无fu节庖实体羊元
二次单元的插值函数是二次多项式，
其网格不仅在每个顶点处有角节点，
而且在棱边上还存 在一个边节点，因此网格边界可以是二次曲线或者曲面。这类单元的优点
是几何和物理离
散精度较高，单元内的位移呈二次变化， 应力呈线性变化，因此单元边界上的应力是连续的。 但是在单元数量相同的条件下二次单元的节点数比线性 单元的节点数多，模型的规模较大，
如图7和图8所示。
三次单元的插值函数是三次多项式，
其网格的每条边上存在两个节点，
有些三次单元还具
有内部节点。这类单元的离散精度更高，
但是由于单元节点数较多，网格划分较为困难，模
型规模很大，一般用于具有特殊精度要求的场合，如图
9所示。
97二尖G 节点三角形売单元和二次10节点曲面体单元
图N 简单戀髻茱玻性单尤乖二衣单元应力比较
对于一阶和二阶单元，我们通常也称其为
单元。三阶及以上的单元，我们也称其为P
单元，高阶次的P单元可以更好地拟合变形形状，特别对于曲率或者应力梯度变化较大的区域会较为真实的模拟，但会比H-单元有较多的运算量，如图10所示。
5. 结构单元与非结构单元
根据单元能否离散成实际结构，可以将单元分为结构单元和非结构单元。能离散成实际
结构的称为结构单元，如轴对称单元离散轴对称结构，杆、梁单元用于离散杆件结构，实
体单元用于离散空间结构等，这些单元都属于结构单元。除此之外，还有一类单元并不用于
实际结构的离散，而是在模型中模拟一些特殊的结构和边界条件，如质量单元用于实际的
物体质量效应，弹簧和阻尼单元用于模拟结构的弹性支承和减振吸能部件，间隙和接触单元
拟节点之间的刚性连接等，这些单元称为非结构单元。
由于非结构单兀非常抽象，使用起来有一定的难度，在设计一体化分析里面通常会将其
工程化，帮助使用者淡化其力学概念。
6.节点和单兀的重要力学概念
针对前述的单兀分类，此处要澄清关于节点和单兀的一些非常有用的总结性概念。
此位移的准确性高于应变、应变高于应力；
◎当结构静力平衡时计算变形的单兀是求得准确有限兀分析结果的关键，因此线性计算
中单兀不可以变形过大，否则会造成求解失败；
◎网格质量概括来说，初始网格必须可呈现初始模型的几何形状，而且要足够弹性”以符合静力平衡后的变形几何形状
◎在预计会有应力梯度变化剧烈的位置上，为预测其准确变形情况，细小特征几何必须￡9陌单悬臂翳二阮单元和三农羊元庖力比快
要更精确符合，以利于准确计算这些位置上的应力值；
◎在理想曲率边线与网格曲率边线之间的差距称之为离散误差。
二、有限元误差分析
1.有限元误差
有限元的误差主要来自两个方面，一是模型误差，一是计算误差。
有限元模型和实际问题之间的差异。它包括有限元离散处理所固有的原理性误差，也可能包括几何模型处理、实际工况转化为模型边界条件时所带来的偶然性误差。
计算误差是指采用数值方法对有限元模型进行计算所产生的误差，误差的性质是舍入误
差和截断误差。
、收敛性及自动收敛方法
一般而言，网格拥有较多的单元，可得到较准确的结果。会有更多的节点可供计算，所
以结果会较准确。较多的单元也就表示单元大小较小，所以物理离散误差可减小。实际分析
上也有极限，在收敛性分析过程中网格尺寸一再缩减也不一定会对精确结果有帮助。
对一给定几何而言，要达到收敛性的网格会与外部负载条件及边界约束条件有关(见图11)。在线性静态分析中，载荷大小不是收敛性的系数。
F面以SolidWorks Simulation 的收敛性为例简单介绍收敛性的处理方法和技巧。
SolidWorks Simulati on提供三种收敛性的技术。包括有手动控制收敛性和软件自动控制收敛性技术。其中自动控制收敛性的方法我们也称之为自适应方法，如图12所示，包括自
动H自适应方法(H-adaptive)、自动P自适应方法(P-adaptive)。
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1. 自动H自适应方法（H-adaptive）
H方法的本质就是根据应力梯度的变化情况自动在应力梯度大的地方，根据预先规定的
收敛准则，重新自动剖分网格，进行自动加密（见图13，原始网格与H自适应网格结果）。
图13原妊网密芍H方注石母成的网舞
SolidWorks Simulation 的H方法具有以下特性。
1）适用于实体零件及装配体（仅支持实体单元）的静态分析研究；
2）在应变能误差较高的区域使用较小网格尺寸；
3）可以在应变能误差较低区域网格粗化（加大网格尺寸），便于在后面的优化计算中降低
计算规模，大大提高优化效率；
4）目标精度定义应变能量密度范数的精度等级默认值是98%，此处可以调整能量密度
范数的精度等级，一般情况下默认的精度可以达到分析的要求；
5）精度偏差设置（见图13）;