基于集合最优插值方法的南海北部海区的数据同化试验

插值法和拟合实验报告(数值计算)

插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验

∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验

数据处理的基本方法

第六节数据处理的基本方法 前面我们已经讨论了测量与误差的基本概念，测量结果的最佳值、误差和不确定度的计算。然而，我们进行实验的最终目的是为了通过数据的获得和处理，从中揭示出有关物理量的关系，或找出事物的内在规律性，或验证某种理论的正确性，或为以后的实验准备依据。因而，需要对所获得的数据进行正确的处理，数据处理贯穿于从获得原始数据到得出结论的整个实验过程。包括数据记录、整理、计算、作图、分析等方面涉及数据运算的处理方法。常用的数据处理方法有：列表法、图示法、图解法、逐差法和最小二乘线性拟合法等，下面分别予以简单讨论。 列表法是将实验所获得的数据用表格的形式进行排列的数据处理方法。列表法的作用有两种：一是记录实验数据，二是能显示出物理量间的对应关系。其优点是，能对大量的杂乱无章的数据进行归纳整理，使之既有条不紊，又简明醒目；既有助于表现物理量之间的关系，又便于及时地检查和发现实验数据是否合理，减少或避免测量错误；同时，也为作图法等处理数据奠定了基础。 用列表的方法记录和处理数据是一种良好的科学工作习惯，要设 计出一个栏目清楚、行列分明的表格，也需要在实验中不断训练，逐步掌握、熟练，并形成习惯。 一般来讲，在用列表法处理数据时，应遵从如下原则：

(1) 栏目条理清楚，简单明了，便于显示有关物理量的关系。 (2) 在栏目中，应给出有关物理量的符号，并标明单位(一般不重复写在每个数据的后面)。 (3) 填入表中的数字应是有效数字。 (4) 必要时需要加以注释说明。 例如，用螺旋测微计测量钢球直径的实验数据列表处理如下。 用螺旋测微计测量钢球直径的数据记录表 从表中，可计算出 D i D = n = 5.9967 ( mm)

插值法实验报告

实验二插值法 1、实验目的： 1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。 2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。 2、实验要求: 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。 已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。 2) 求满足插值条件的插值多项式及余项 1) 4、题目：插值法 5、原理： 拉格郎日插值原理： n次拉格朗日插值多项式为：L n (x)=y l (x)+y 1 l 1 (x)+y 2 l 2 (x)+…+y n l n (x)

n=1时，称为线性插值， L 1(x)=y (x-x 1 )/(x -x 1 )+y 1 (x-x )/(x 1 -x )=y +(y 1 -x )(x-x )/(x 1 -x ) n=2时，称为二次插值或抛物线插值， L 2(x)=y (x-x 1 )(x-x 2 )/(x -x 1 )/(x -x 2 )+y 1 (x-x )(x-x 2 )/(x 1 -x )/(x 1 -x 2 )+y 2 (x -x 0)(x-x 1 )/(x 2 -x )/(x 2 -x 1 ) n=i时， Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) 6、设计思想： 拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。 7、对应程序： 1 ) 三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值 #include"stdio.h" #define n 5 void main() { int i,j; float x[n],y[n]; float x1; float a=1; float b=1; float lx=0; printf("\n请输入想要求解的X：\n x="); scanf("%f",&x1); printf("请输入所有点的横纵坐标：\n"); for(i=1;i

计算方法 课内实验 插值法与函数逼近

《计算方法》课内实验报告 学生姓名:张学阳1009300132 及学号： 学院: 理学院 班级: 数学101 课程名称：计算方法 实验题目:插值法与函数逼近 指导教师 宋云飞讲师 姓名及职称： 朱秀丽讲师 尚宝欣讲师 2012年10月15日

目录 一、实验题目.......................................................... 错误！未定义书签。 二、实验目的.......................................................... 错误！未定义书签。 三、实验内容.......................................................... 错误！未定义书签。 四、实现结果.......................................................... 错误！未定义书签。 五、实验体会或遇到问题 (6)

插值法与函数逼近 二、实验目的 1．熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。 2．进一步理解插值法及函数逼近方法的理论基础。 3．进一步掌握给定数据后应用插值法及函数逼近方法进行数据处理并给出图示结果的实际操作过程。 三、实验内容 1．已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式)(4x P 及三次样条函数)(x S （自然边界条件）对数据进行插值。给出求解过程，并用图给出 (){},10,1,0),()(,08.02.0,,4 ===+=i x S y x P y i x y x i i i i i 及。 2．下列数据点的插值 可以得到平方根函数的近似。 （1）用这9个点作8次多项式插值)(8x L 。 （2）用三次样条（第一类边界条件）插值给出)(x S 。 给出求解过程，在区间[0,64]上作图，从得到的结果看，在区间[0,64]上哪种插值结果更精确？在区间[0,1]上两种插值哪个更精确？ 3．由实验给出数据表 试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线。给出求解过程，用图表示实验数据曲线及三种拟合曲线。

大学物理实验数据处理基本方法

实验数据处理基本方法 实验必须采集大量数据，数据处理是指从获得数据开始到得出最后结 论的整个加工过程，它包括数据记录、整理、计算与分析等，从而寻找出 测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。因此，数据处理是实验工作 不可缺少的一部分。数据处理涉及的内容很多，这里只介绍常用的四种方 法。 1列表法 对一个物理量进行多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往 借助于列表法把实验数据列成表格。其优点是，使大量数据表达清晰醒目， 条理化，易于检查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量 之间的对应关系。所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，是每 一个同学都要掌握的基本技能。 列表没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应注意以下几点：1．各栏目均应注明所记录的物理量的名称(符号 )和单位； 2．栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理； 3．表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时， 应将原来数据画条杠以备随时查验； 4．对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判 断和处理。 2图解法 图线能够明显地表示出实验数据间的关系，并且通过它可以找出两个 量之间的数学关系，因此图解法是实验数据处理的重要方法之一。图解法 处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下： 1.选择图纸作图纸有直角坐标纸 ( 即毫米方格纸 ) 、对数坐标纸和 极坐标纸等，根据 作图需要选择。在物理实验中比较常用的是毫米方格纸，其规格多为17 25 cm 。 2.曲线改直由于直线最易描绘 , 且直线方程的两个参数 ( 斜率和截距 ) 也较易算得。所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时 应尽可能通过变量代换 将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。下面为几种常用的变换方法。 ( 1) xy c ( c 为常数 ) 。 令 z 1，则 y cz，即 y 与 z 为线性关系。 x ( 2) x c y ( c 为常x2，y 1 z ，即 y 与为线性关系。

实验3 插值方法

0实验3 Matlab编程实现Lagrange插值算法 复习： 1、输出一个正整数，求该正整数的阶乘。 函数参考： 2、编写函数实现对任意输入一个向量的排序（向量里的元素从小到大）函数参考：

Lagrange 插值算法 一、理论知识： 1、线性插值 101001011)(y x x x x y x x x x x L ???? ??--+???? ??--= 2、二次插值 2211002)()()()(y x l y x l y x l x L ++= ))(() )(()(2010210x x x x x x x x x l ----= ，) )(())(()(2101201x x x x x x x x x l ----=， ))(())(()(1202102x x x x x x x x x l ----= 3、n 次Lagrange 插值 ∑==+++=n k k k n n n y x l y x l y x l y x l x L 01100)()()()()( ) ())(())(() ())(())(()(111111n k k k k k k o k n k k o k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- ∑∏=≠=???? ? ?????--=n k k n k j j j k j n y x x x x x L 00)()()( 二、实验题目： 1、 已知11=，24=，39=，用线性和二次插值求5的近似值。 线性插值 你选择的节点是： 你的程序： 插值结果：

实验数据处理的几种方法

实验数据处理的几种方法 物理实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。对实验数据进行记录、整理、计算、分析、拟合等，从中获得实验结果和寻找物理量变化规律或经验公式的过程就是数据处理。它是实验方法的一个重要组成部分，是实验课的基本训练内容。本章主要介绍列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法。 1.4.1 列表法 列表法就是将一组实验数据和计算的中间数据依据一定的形式和顺序列成表格。列表法可以简单明确地表示出物理量之间的对应关系，便于分析和发现资料的规律性，也有助于检查和发现实验中的问题，这就是列表法的优点。设计记录表格时要做到：（1）表格设计要合理，以利于记录、检查、运算和分析。 （2）表格中涉及的各物理量，其符号、单位及量值的数量级均要表示清楚。但不要把单位写在数字后。 （3）表中数据要正确反映测量结果的有效数字和不确定度。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。 （4）表格要加上必要的说明。实验室所给的数据或查得的单项数据应列在表格的上部，说明写在表格的下部。 1.4.2 作图法 作图法是在坐标纸上用图线表示物理量之间的关系，揭示物理量之间的联系。作图法既有简明、形象、直观、便于比较研究实验结果等优点，它是一种最常用的数据处理方法。 作图法的基本规则是： （1）根据函数关系选择适当的坐标纸（如直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等）和比例，画出坐标轴，标明物理量符号、单位和刻度值，并写明测试条件。 （2）坐标的原点不一定是变量的零点，可根据测试范围加以选择。，坐标分格最好使最低数字的一个单位可靠数与坐标最小分度相当。纵横坐标比例要恰当，以使图线居中。 （3）描点和连线。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置。一张图纸上画上几条实验曲线时，每条图线应用不同的标记如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符号标出，以免混淆。连线时，要顾及到数据点，使曲线呈光滑曲线（含直线），并使数据点均匀分布在曲线（直线）的两侧，且尽量贴近曲线。个别偏离过大的点要重新审核，属过失误差的应剔去。 （4）标明图名，即做好实验图线后，应在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“～”

计算方法实验

算方法实验指导 姓名学号院系专业哈尔滨工业大学

计算方法实验指导 根据实际问题建立的数学模型，一般不能求出所谓的解析解，必须针对数学模型 的特点确定适当的计算方法，编制出计算机能够执行的计算程序，输入计算机，进行 调试，完成运算，如果计算结果存在问题或不知是否正确，还需要重新确定新的计算 方法，再编制出计算程序，输入计算机，重新调试，完成运算，直至获得正确的计算 结果，这就是数值计算的全部过程。 学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是：只会套用 教科书中的标准程序进行数值计算，很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计 算机程序，至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课题，则更是困难的事情。 编写《计算方法实验指导》的目的是：突出数值计算程序结构化的思想。提高学 生的编程能力，加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握，为”计算方法“课程的 教学服务，进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地 1. 根据“计算方法”课程内容的特点，给出五个典型算法的分析流程，学生可以 利用所掌握的 “高级语言”顺利地编制出计算机程序，上机实习，完成实验环节的教 学要求。 2. 所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验，准确无误。 3. 充分利用循环的思想、 迭代的思想， 给出算法结构描述和程序语言的对应关系， 有利于学生编 制相应的程序。 4. 结合实习题目，提出实验要求，要求学生按规范格式写出相应的实验报告，实 验报告成绩记入 期末总成绩。需要提醒学生：不能简单地套用现成的标准程序完成实 验题目，应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析 上，否则就失去实验课的目的啦。 5. 五个具体的实验题目是： 实验题目 实验题目 实验题目 实验题目 实验题目 要求必须完 成其中三个(如果全部完成更好) 。 1 拉格朗日 (Lagrange) 插值 2 龙贝格 (Romberg) 积分法 3 四阶龙格—库塔 (Runge — Kutta) 方法 4 牛顿 (Newton) 迭代法 5 高斯 (Gauss) 列主元消去法

计算方法-插值方法实验

实验一插值方法 一. 实验目的 （1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法 的理解。 （2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。 二. 实验要求 用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。 三. 实验内容 1. 实验题目 （1 ） 已 知概 率积 分dx e y x x ?-= 2 2 π 的数据表 构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。 答： ①一次插值公式： 输入下面内容就可以得到一次插值结果 >> X=[0.47,0.48];Y=[0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472; >> (x-X(2))/(X(1)-X(2))*Y(1)+(x-X(1))/(X(2)-X(1))*Y(2) ans =0.495546120000000 >> ②两次插值公式为： 输入下面内容就可以得到两次插值结果 >> X=[0.46,0.47,0.48];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472; >>(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(2))*(x-X(1))/((X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3) i 0 1 2 3 x 0.46 047 0.48 0.49 y 0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683

大学物理实验数据处理方法总结

有效数字 1、有效数字不同的数相加减时，以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准，最后结果与它对其，余下的尾数按舍入规则处理。 2、乘除法以参与运算的数值中有效位数最少的那个数为准，但当结果的第1位数较小，比如1、2、3时可以多保留一位（较小：结果的第一位数小于 有效数字最少的结果第一位数）！ 例如：n=tg56° θ=56° d θ=1° θθθθθ2cos d d d dtg dn == 为保留） （，带入848.156n 15605.018056cos 1cos 22=?=∴?=??=≈?=?= ?tg n θθπθθ 3、可以数字只出现在最末一位：对函数运算以不损失有效数字为准。 例如：20*lg63.4 可疑最小位变化0.1 Y=20lgx 01.04 .631.010ln 2010ln 20ln 10ln 20≈===x dx dx dx x d dy 04.364.63lg 20=∴ 4、原始数据记录、测量结果最后表示，严格按有效数字规定处理。（中间过程、结果多算几次） 5、4舍5入6凑偶 6、不估计不确定度时，有效数字按相应运算法则取位；计算不确定度时以不确定度的处理结果为准。 真值和误差 1、 误差=测量值-真值 ΔN=N-A 2、 误差既有大小、方向与政府。 3、 通常真值和误差都是未知的。 4、 相对约定真值，误差可以求出。 5、 用相对误差比较测量结果的准确度。 6、 ΔN/A ≈ΔN/N 7、 系统误差、随机误差、粗大误差 8、 随机误差：统计意义下的分布规律。粗大误差：测量错误 9、 系统误差和随机误差在一定条件下相互转化。 不确定度 1、P （x ）是概率密度函数 dx P dx x x P p )x (之间的概率是测量结果落在+当x 取遍所有可能的概率值为1. 2、正态分布且消除了系统误差，概率最大的位置是真值A 3、曲线“胖”精密度低“瘦”精密度高。 4、标准误差：无限次测量?∞∞-=-2 )()(dx X P A X x ）（σ 有限次测量且真值不知道标准偏

实验5 插值方法

实验5 插值方法 一、实验目的及意义 [1] 了解插值的基本原理 [2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想； [4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程； 通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、文字处理、排版等方面的能力。二、实验内 容 1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。 三、实验步骤 1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件 3．保存文件并运行； 4．观察运行结果(数值或图形)； 5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。 四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会） 基础实验 1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。 1） 2 11 x +，x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10 x , x ∈[0,2π]． 注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的 差异，或采用两个函数之间的某种距离。 2．高维插值 对于二维插值的几种方法：最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？ 1) ())(sin ),(px t t x f -=ω，参数p =1/2000~1/200；采样步长为：t =4ms~4s ；

计算方法实验报告 插值

实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。

3算法描述 1.分段线性插值流程图

2.分段二次插值流程图

3.拉格朗日插值流程图

4程序代码及注释 1.分段线性插值

插值与多项式逼近的数组计算方法实验讲解

插值与多项式逼近的数组计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） cos，x e，它们 （x （x sin，） 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开

是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+---- 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。

计算方法--插值法与拟合实验

实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);

m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);

实验数据处理的几种方法

1.4 实验数据处理的几种方法 物理实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。对实验数据进行记录、整理、计算、分析、拟合等，从中获得实验结果和寻找物理量变化规律或经验公式的过程就是数据处理。它是实验方法的一个重要组成部分，是实验课的基本训练内容。本章主要介绍列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法。 1.4.1 列表法 列表法就是将一组实验数据和计算的中间数据依据一定的形式和顺序列成表格。列表法可以简单明确地表示出物理量之间的对应关系，便于分析和发现资料的规律性，也有助于检查和发现实验中的问题，这就是列表法的优点。设计记录表格时要做到：（1）表格设计要合理，以利于记录、检查、运算和分析。 （2）表格中涉及的各物理量，其符号、单位及量值的数量级均要表示清楚。但不要把单位写在数字后。 （3）表中数据要正确反映测量结果的有效数字和不确定度。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。 （4）表格要加上必要的说明。实验室所给的数据或查得的单项数据应列在表格的上部，说明写在表格的下部。 1.4.2 作图法 作图法是在坐标纸上用图线表示物理量之间的关系，揭示物理量之间的联系。作图法既有简明、形象、直观、便于比较研究实验结果等优点，它是一种最常用的数据处理方法。 作图法的基本规则是： （1）根据函数关系选择适当的坐标纸（如直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等）和比例，画出坐标轴，标明物理量符号、单位和刻度值，并写明测试条件。 （2）坐标的原点不一定是变量的零点，可根据测试范围加以选择。，坐标分格最好使最低数字的一个单位可靠数与坐标最小分度相当。纵横坐标比例要恰当，以使图线居中。 （3）描点和连线。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置。一张图纸上画上几条实验曲线时，每条图线应用不同的标记如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符号标出，以免混淆。连线时，要顾及到数据点，使曲线呈光滑曲线（含直线），并使数据点均匀分布在曲线（直线）的两侧，且尽量贴近曲线。个别偏离过大的点要重新审核，属过失误差的应剔去。 （4）标明图名，即做好实验图线后，应在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数，返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下： 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n]（double*x） 存放n个节点的值 doubley[n]（double*y） 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值 #include #include usingnamespacestd; #defineN100 doublefun(double*x,double*y,intn,doublep); voidmain() {inti,n; cout<<"输入节点的个数n："; cin>>n;

数值计算方法实验报告

差值法实验日志 实验题目：插值法 实验目的： 1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。 2．对四种插值结果进行初步分析。 实验要求： （1）写出算法设计思想； （2）程序清单； （3）运行的结果； （4）所得图形； （5）四种插值的比较； （6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。 实验主要步骤： 1．已知函数) f满足： (x x0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 f(0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 x ） 0.35206 （1）用分段线性插值； 打开MATLAB，按以下程序输入： x0=-5:5; y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y=1./(1+x.^2); y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=spline(x0,y0,x);

for k=1:11 xx(k)=x(46+5*k); yy(k)=y(46+5*k); yy1(k)=y1(46+5*k); yy2(k)=y2(46+5*k); yy3(k)=y3(46+5*k); end [xx;yy;yy2;yy3]' z=0*x; plot(x,z,x,y,'k--',x,y2,'r') plot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r') pause plot(x,z,x,y,'k--',x,y3,'r') 回车得以下图形:

（2） 拉格朗日插值。 创建M 文件，建立lagr 函数： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 新建一个M 文件，输入： x0=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5]; y0=[0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; x=0.0:0.01:0.5; y1=lagr1(x0,y0,x); 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

实验数据处理的基本方法

实验数据处理的基本方法 数据处理是物理实验报告的重要组成部分，其包含的内容十分丰富，例如数据的记录、函数图线的描绘，从实验数据中提取测量结果的不确定度信息，验证和寻找物理规律等。本节介绍物理实验中一些常用的数据处理方法。 １列表法 将实验数据按一定规律用列表方式表达出来是记录和处理实验数据最常用的方法。表格的设计要求对应关系清楚、简单明了、有利于发现相关量之间的物理关系；此外还要求在标题栏中注明物理量名称、符号、数量级和单位等；根据需要还可以列出除原始数据以外的计算栏目和统计栏目等。最后还要求写明表格名称、主要测量仪器的型号、量程和准确度等级、有关环境条件参数如温度、湿度等。 本课程中的许多实验已列出数据表格可供参考，有一些实验的数据表格需要自己设计，表１．７—１是一个数据表格的实例，供参考。 表１．７—１数据表格实例 杨氏模量实验增减砝码时，相应的镜尺读数 ２作图法

作图法可以最醒目地表达物理量间的变化关系。从图线上还可以简便求出实验需要的某些结果（如直线的斜率和截距值等），读出没有进行观测的对应点（内插法），或在一定条件下从图线的延伸部分读到测量范围以外的对应点（外推法）。此外，还可以把某些复杂的函数关系，通过一定的变换用直线图表示出来。例如半导体热敏电阻的电阻与温度关系为，取对数后得到 ，若用半对数坐标纸，以lgＲ为纵轴，以１／Ｔ为横轴画图，则为一条直线。 要特别注意的是，实验作图不是示意图，而是用图来表达实验中得到的物理量间的关系，同 时还要反映出测量的准确程度，所以必须满足一定的作图要求。 １）作图要求 （１）作图必须用坐标纸。按需要可以选用毫米方格纸、半对数坐标纸、对数坐标纸或极坐标纸等。 （２）选坐标轴。以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴的中部注明物理量的名称符号及其单位，单位加括号。 （３）确定坐标分度。坐标分度要保证图上观测点的坐标读数的有效数字位数与实验数据的有效数字位数相同。例如，对于直接测量的物理量，轴上最小格的标度可与测量仪器的最小刻度相同。两轴的交点不一定从零开始，一般可取比数据最小值再小一些的整数开始标值，要尽量使图线占据图纸的大部分，不偏于一角或一边。对每个坐标轴，在相隔一定距离下用整齐的数字注明分度（参阅图１．７—１）。 （４）描点和连曲线。根据实验数据用削尖的硬铅笔在图上描点，点子可用“＋”、“×”、“⊙”等符号表示，符号在图上的大小应与该两物理量的不确定度大小相当。点子要清晰，不能用图线盖过点子。连线时要纵观所有数据点的变化趋势，用曲线板连出光滑而细的曲线（如系直线可用直尺），连线不能

同化理论的发展及其在遥感方面的应用

同化理论发展及其在遥感方面的应用 摘要：在为数值预报模式提供准确、合理初值问题上,资料同化是一种行之有效的方法。其基本含义是根据一定的优化标准和方法,将不同空间、不同时间、采用不同观测手段获得的观测数据与数学模型有机结合,纳入统一的分析与预报系统,建立模型与数据相互协调的优化关系,使分析结果的误差达到最小。其中应用最为广泛的同化方法是变分法和卡尔曼滤波法。另外遥感信息与作物生长模型结合来进行作物监测和产量预测，已经逐渐成为一种接受度较大、应用较为广泛的方法之一。 关键字：同化 变分 卡尔曼滤波 遥感 1．同化的概念 在为数值预报模式提供准确、合理初值问题上,资料同化是一种行之有效的方法[1]。它是由早期气象学中的分析技术发展起来的[2-3]。其基本含义是根据一定的优化标准和方法,将不同空间、不同时间、采用不同观测手段获得的观测数据与数学模型有机结合,纳入统一的分析与预报系统,建立模型与数据相互协调的优化关系,使分析结果的误差达到最小。 一般一个资料同化系统包括观测数据集、动力模型和数据同化方案三部分。以模式的一种初估状态或其他一些不重要的状态为初始场,由模式得到的解常称之为背景场;结合观测数据集,通过同化过程产生能够相对准确反映真实状态的一种最优估计,称之为分析场。一般而言,分析场是背景场和观测场的加权平均,其方差始终比观测场和背景场的方差小。 2．同化方法的发展 2.1逐步订正法 1954年,Gilchrist 等提出了理想的逐步订正法。其原理是从每一个观测中减去背景场得到观测增量,通过分析观测增量得到分析增量,然后将分析增量加到背景场上得到最终的分析场。每一个分析格点上的分析增量通过其周围影响区域内观测增量的线性组合而加权,观测权重与观测位置和格点之间的距离成反比。该方法的表达式可写为: 11(,)[()()] ()()(, )n b i a b n i w i j y i X i X j X j w i j ==-=+∑∑ ()b X i 为插值到观测点i 上的背景场信息；y(i)为相应的观测值；()a X i 为格点j 的订正值；