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最优潮流改进简化梯度法的研究及应用

最优潮流改进简化梯度法的研究及应用The Research and Application of Improved Simplifying Gradient Algorithm in the Optimal Power Flow

(250061)山东大学刘学东

(272100)山东运河电厂王磊余耀

摘要研究和改进电力系统最优潮流问题的简化梯度法,并将改进简化梯度法应用于求解无功优化问题。在算法上结合电力系统的PQ解耦特性,采用简化梯度法和共轭梯度法的组合算法解算优化潮流问题,改进了传统意义上的简化梯度法和共轭梯度法,进一步提高了计算速度,获得了良好的收敛性,尤其是在接近最优点处。无功优化问题的计算实例证明了本文算法是有效的、可靠的。

关键词最优化方法最优潮流无功优化梯度法

Abstract In this paper,the improved si mplifying gradient in the optimal power flow is probed and applied to the reactive optimiza-tion.With the PQ decupled characteris tic in the power system,the combining algorithm of simplifying gradient and conjugating grad-i ent is adopted to solve the problem of op timal power flow,which can improve the traditional simpli fying gradient and conjugating gra-dient with the higher speed and fine astr i ngency especially when approachi ng the opti mal point.The computing examples of the reac-tive opti mization have proved the validity and reliability of this algorithm.

Key Words Op timal M ethods Opti mal Power Flow Reactive Opti mization Conjugating Gradient

中图分类号:TM7文献标识码:A文章编号:1007-9904(2003)01-0019-04

0引言

最优潮流问题就是寻求这样一种发电机输出功率(控制变量),在满足系统负荷需要以及满足系统运行约束的情况下,使得系统运行的经济效益最高。由于最优潮流能协调电网中的可控设备,使得全网处于最佳安全运行状态,因此它具有传统经济调度方法无法取代的优点,在电力系统安全运行、经济调度和电网规划等方面得到广泛的应用。

最优潮流问题首先由法国电力公司的J.Car-pentier于1962年提出,至今研究人员在这方面发表了大量的论文[1]。在最优潮流领域中第一个较为成功的实用算法是Dommel和Tinney于1968年提出的简化梯度法[2]。但该算法在接近最优点时会出现最速下降搜索方向的锯齿现象,另外还伴随有罚函数导致的病态条件数,所以至今仍有不少学者致力于对简化梯度法进行改进。[3]

其主要工作特点如下:

(1)采用快速分解算法解算潮流方程,进一步提高计算速度;

(2)采用简化梯度法和共轭梯度法的组合算法)))改进简化梯度法,解算优化潮流问题,充分利用了简化梯度法和共轭梯度法的优点,克服了简化梯度法的不足,获得了良好的收敛性,尤其是在接近最优点处;

(3)算法的一维搜索步长既可以用显式精确求解,也可用非显式试探获得。

本文算法已用C语言编制成程序。

1最优潮流的数学模型

常规最优潮流的数学模型可以用简洁的数学形式描述如下:

min p(u,x)

s.t.f(u,x)=0

h(u,x)[0

其中p为目标函数,u为控制变量,x为状态变量,f 为潮流方程,h为不等式约束。

111控制变量和状态变量

最常见的控制变量包括:有功功率、无功功率、有载调压变压器变比、并联电容器组或电抗器组等。

最常见的状态变量包括:节点电压幅值、节点电压相角等。

112目标函数

目标函数可以是任何一个有意义的标量函数。不同的目标函数可按特定的目的来定义。最常见的目标函数有:

(1)发电机运行费用极小化

min c =2N G

i =1C i (P Gi )

(2)有功网损极小化

P loss =2N

i =1P Gi -2N

i =1P Di =2N

i =1P i (U ,H ) 也可写成

P loss =2N

i =1(P Gi -P Di )

=2N

i =1i X s

(P Gi -P Di )+P Gs -P Ds

在网损极小化问题中,因为除平衡机外的其余发电机有功功率都是给定的,而平衡节点s 的注入功率随网损的变化而变化,所以也常用下面的目标函数来表示

min P loss 相当于min(P Gs -P Ds )相当于

min P s (U ,H )相当于min P Gs

P Gs 为平衡节点发电机的有功功率。113 等式约束

最优潮流的等式约束就是节点潮流方程:

$P i =P Gi -P D i -P i (V ,H )=0$Q i =Q Gi -Q D i -Q i (V ,H )=0H S =0

H S 是列矢量H 中的第s 个分量,尽管H S 是常数,但为了符号上的方便,以后仍把H 的所有分量都作为变量来处理。对于负荷节点,其相应的P Gi 和Q Gi 都置成零。

114 不等式约束(简单变量约束)

(1)有功电源功率上、下限:

P Gi min [P Gi [P Gi max

(2)无功电源功率上、下限

Q Gi min [Q Gi [Q Gi max

(3有载调压变压器变比上、下限

t k min [t k [t k max

(4)节点电压幅值上、下限

V i min [V i [V i man

2 最优潮流算法)))简化梯度法及其改进

最优潮流本身在数学上是一类优化问题,其数学模型可描述为:

min p (u ,x )s .t . f (u ,x )=0

h (u ,x )[0

确定一组最优控制变量u ,使目标函数取极小,并满足等式和不等式约束。不断修正x 、u ,一方面使目标函数逐渐减小,而且还应满足约束条件。2.1 简化梯度法最优潮流

在最优潮流计算中,最常用的梯度类算法是简化梯度法。简化梯度法是在控制变量空间,采用KT 罚函数法进行梯度类寻优的方法。

(1)将不等式约束引入目标函数。对于网损最小优化问题,用罚函数将函数不等式约束引入目标函数有:

min P s (x ,u )

=P s (x ,u )+2i I 8w 1h i 2

(x ,u )(2-1)

s .t . f (x ,u )=0

式中8是越界的约束集合,w 1是罚因子,是一个很大的正数。

(2-1)式中用拉格朗日乘子矢量K 将等式约束引入,建立拉格朗日函数:

L (x ,u ,K )= P (x ,u )+K T f (x ,u )(2-2)

就把最优潮流问题转化为求取(2-2)式的拉格朗日函数的极小值问题。即找一组合适的x ,u ,K ,使(2-2)式取极小。

用经典的函数求极值的方法求解。

9 p 9u -9f

T 9x

-1

9 p

9x =0

(2-3)

f (x ,u )=0(2-4)

实际上(2-3)式就是控制变量u 和目标函数之间的灵敏度关系。

=de f 9 p 9u -9f T

T 9x

-1

9 p 9x

(2-5)

是目标函数对控制变量的全导数。

(k +1)

(k )

-A y

(k )(2-6)

用(2-6)式求出修正后的控制变量。

其中,A 是标量,决定修正步长,上角标k 表示迭代次数。求得新的控制变量u (k +1)

,将它代到(2-4)

式中计算潮流得新的状态变量x (k +1)

,用u

(k +1)

和

(k +1)

代入(2-5)求新的梯度,直到最后梯度足够

小为止。

(2)确定修正步长。

在简化梯度法解算最优潮流中,我们采用的是黄金分割法即0.618法确定最优步长。

2.2共轭梯度法最优潮流

共轭梯度法是逐次利用一维搜索所得的极小点处的负梯度方向生成共轭方向的一种比较有效的共轭方向法。在迭代的第一步,取负梯度方向作为搜索方向,即S(0)=-yf X(0),而以后各步其搜索方向取为

S(k+1)=-yf x(k+1)+B k S(k),

式中B k=yf X(k+1)Tyf X(k+1)

yf X(k)Tyf X(k)

(2-7)

共轭梯度法迭代步骤:

(1)给定初始点X(0),并令S(0)=-yf X(0);

(2)对于k=0,1,2,,,n-1

(a)若+yf X(k)+

(b)令X(k+1)=X(k)+K k S(k)

式中,K k使X(K)+K S(k))取极小值。

(c)当k

令S(k+1)=-yf X(K+1)+B k S(k)

式中,B k由式(2-7)确定。

(3)以X(n)代替X(0),并回到第一步。

2.3改进的简化梯度法最优潮流

改进简化梯度法解算最优潮流,就是用简化梯度法和共轭梯度法的组合算法解算最优潮流。

(1)共轭梯度法是一个二阶收敛的算法,在目标函数二次性较强时有较好的收敛性。而简化梯度法却在非二次性较强的地方能使目标函数下降较快。这就是说,简化梯度法在初始点远离极小点时,开头几步下降是比较快的,

可在计算初始阶段用最速下降方向进行寻查,只是到了接近极小点时,目标函数的性态近似于二次函数时,再用二阶收敛算法)))共轭梯度法,这样可以缩短计算过程。

(2)在实际运用二阶收敛算法时,可以采取再开始的办法,即在计算进行N步(或N+1步)时,以所得的近似极小点x N为初始点,重新进行迭代。由于算法的初始阶段寻查方向为最速下降方向,也有利于突破目标函数的非二次性,同时减小误差的积累。3算例分析及结论

本文以五节点五支路的电力系统为算例。其中有两个PV节点、两个P Q节点和一个平衡节点。控制变量为PV节点的电压模值和变压器的变比,以有功网损作为目标函数,用改进简化梯度法进行最优潮流的计算。

每次迭代计算结果

迭代节点4节点5变压器变压器有功

次数电压模值电压模值变比k1变比k2网损

0 1.190958 1.076499 1.200392 1.0801080.244197

1 1.155287 1.177658 1.16268 1.1830720.162932

2 1.224541 1.167057 1.232335 1.1708190.167342

3 1.224538 1.225378 1.231790 1.2300630.129664

4 1.26982

5 1.22605

6 1.276883 1.2298830.138085

5 1.269493 1.282902 1.275820 1.2867670.106512

6 1.283685 1.26070

7 1.290065 1.2641030.118851

4结果分析及结论

本文采用改进简化梯度法进行计算。首先利用简化梯度法进行6次搜索,如果6次搜索之内最优潮流收敛,就输出结果。否则,用共轭梯度法继续进行搜索直至收敛。

计算结果表明,用简化梯度法搜索6次,最优潮流并没有收敛,但是已接近最优值,这充分体现出简化梯度法起步收敛速度快的优点。在接近最优点处用共轭梯度法,仅用1次搜索就实现收敛,充分体现出共轭梯度法良好的二阶收敛可靠性的优点。

根据改进简化梯度法解算优化潮流问题的应用实践可得出以下结论:

(1)改进简化梯度法采用快速分解法解算潮流方程,克服了简化梯度法采用牛顿法解算潮流方程计算复杂、速度慢的不足,从而使计算速度得到进

一步提高。

(2)本文采用改进简化梯度法,充分发挥了简化梯度法起步阶段收敛速度快的优点,并在接近最优点处运用共轭梯度法具有二阶收敛可靠性的特点,从而获得了良好的收敛性,尤其是在接近最优点处。

(3)算法的一维搜索步长既可以用显式精确求解,也可用非显式试探获得,克服了一维搜索步长确定困难的不足。t

参考文献

[1]Carpentier J.International Journal of Electrical Power and Energy Systems,1979,1(1):3-15

[2]Dommel H W,Tinney W F.IEEE Trans,1968,P AS -87:1866-1876.

[3]杨洪耕等。中国电机工程学报,1986,6(5):59-66。[4]张伯明等著。高等电力网络分析,清华大学出版社,1996,8。

[5]万耀青等编。最优化计算方法常用程序汇编,工人出版社,1983。

[6]南京大学编。最优化方法。科学出版社,1978。

[7]王德人编。非线性方程组解法与最优化方法。人民教育出版社,1979,6。

[8]刘学东。山东工业大学电力工程学院硕士论文,2000年7月。

(收稿日期:2002-07-10)

(上接第18页)

图2给出了当随机数为2000时,两端接地对地电压A 点的频率直方图,图2表明,若用高斯曲线拟合时,相关统计数据反映出数据更密集的情况,其中对地电压平均值将为426.05V,方差为169.72,比表2中的数据偏小,但从工程角度出发,用高斯曲线拟合的结果只具有参考价值。

本例中,因高压电力线长度为170km,上述对地电压发生的概率为1.53次P 年,

概率非常低。

图2 A 点的频率直方图

4 结论与几点说明

根据上述分析可以看出,蒙特卡洛方法对于电

信线磁影响的估算是可行的。此方法提供了如下启示:

(1)在工程设计计算中,当考虑电力线全线短路的情况下,电信线上任意点的对地电压存在一个

统计平均值,当这个统计值超过规程允许值时,则必须考虑必要的防护措施。

(2)一般工程计算中,若只考虑瞬间短路时对地电压最大值的分布,并据此采取保护措施的,则忽略了电力线单相短路的概率很低等统计特点,这可能增加了额外的通信保护费用,或增加了电力线路径选择、方案比较等设计工作量。

(3)对于国家标准及规程规范相关内容的理解和运用中,建议工程计算中考虑电力线短路现象中的统计因素。t

参考文献

[1]GB6830-865电信线路遭受强电线路危险影响的容许值6,国家标准局

[2]DL 5033-94,送电线路对电信线路危险影响设计规程,北京,电力工业出版社,1995年2月.

[3]西北电力设计院,从西北地区高压送电线路单相故障调查-探索通信线路感应电压的允许值,西安,1983年10月.

[4]王毅,用于高压线磁影响的矩阵法,北京,第五届全国电磁兼容学术会议论文集,1995年5月.

[5]5现代数学手册6编纂委员会,现代数学手册-随机数学卷,武汉,华中科技大学出版社,2000年12月第1版.

(收稿日期:2002-07-25)