1~8物理 习题解答
第一章 习题解答
作业：1.4 1.5 1.8 1.10 1.13
1.4解：
作图并设坐标如右图，依题意，
有：dt dl v h l s /022=--= ；考虑到：)(),(t l l l s s ==
得：02
2022)(v s h s v h
l l dt dl dl ds dt ds v +-=--=?== 2
032v s
h ds dv v dt ds ds dv dt dv a -==?=?==
1.5
解：依题意，有：262/x dt dv a +==；而：dx
dv
v dt dx dx dv dt dv a ===
由上两式，得：dx x vdv )62(2+=；初始条件为：)/(10;0s m v x ==
积分：??+=x
v
dx x vdv 0
210)62( → 3222)100(21
x x v +=- → 2523++=x x v
1.8
解：已知：202
1
bt t v s -=
（1）bt v dt ds v -==0；b dt dv a -==τ； R bt v R v a n 202)(-==； 2
40222)(R bt v b a a a n -+=+=τ a
与R 之间夹角：))((
tan )/(tan 2
011bt v Rb
a a n --==--τθ
（2）令：b R
bt v b a =-+=2
4
02
)(；得：b v t 0=
1.10
解：（1）在最高点，有：x y v v v ==,0 而：)/(1060cos 20cos 0s m v v v o x x ====θ
g a a n == )(1010
1022m a v n ===ρ
（2）在落地点，有：)/(200s m v v ==；o n g a 60cos 10cos ==θ
)(8060cos 102022m a v o
n ===ρ 1.13
解：设坐标，作矢量图如右。 由矢量图得：船看艇的速度：
i j v v v cd td tc
3040-=-=； )/(50304022s m v tc =+=
/1
75330
40
tan o ≈=-α （西偏北） 艇看船的速度：j i v v tc ct
4030-=-= )/(50s m v ct = /533690o o =-=αθ
第二章 习题解答
第一次作业：2.1 2.4 2.10 2.13 2.1解：
作图并分析物体受力如右：
由牛二定律，有：111a m T g m =- 和 222a m g m T =- 由相对运动，有：/12a a a -=
由上面三个方程，解得：21/2211)(m m a m g m m a ++-=；21/
1212)(m m a m g m m a +--=；
2
1/21)
2(m m a g m m T +-=
：
讨论：（1）若0/=a ，则：21a a =；表示柱体与绳之间无相对滑动。
（2）若g a 2/=，则：0==f T ；表示柱体与绳之间无任何作用力，此时， 21,m m 均作自由落体运动。
2.4 解，作图如右。 （1）由牛顿定律：dt
dv
m kv m f a =-==
解方程：dt m k v dv -=；→ ??-=t v v dt m k v dv 00；→ t m
k
v v -=0ln ；→ t m k
e v v -=0 （2）走过的路程：)1(0
00
t m k
t t m
k
t e k
mv dt e
v vdt x --
-===??
（3）k
mv x v t 0
,0;=
→∞→； （4）k m t /=；e v e v e v v k
m m k /0100===-?-
2.10解：
（1）子弹到枪口时，有：0)(=-=bt a F ；得：b a t /=。
（2）子弹所受的冲量：b
a t
b at dt bt a I b a t
221)(2
/020=-=-=? （3）由动量定理：0)(mv v m I =?= ；得：02
02bv a v I m ==
2.13解
作图分析受力如右，铁钉所受阻力：ky f -=。
第一锤，铁钉克服阻力作功：2
1
01k kydy fdy A s =
=-=??；
第二锤，铁钉克服阻力作功：2
222
122k
y k kydy fdy A y s -==-=?? 依题意，有：;21A A =得：2;2
22222
=→-=y k
y k k 第二次钉入深度：)(12cm y -=?
第二次作业：2.17 2.21 2.22 2.23
2.17解：
以两质点和弹簧、地球为一系统，B 点位势能零点。 由功能原理，过程中，有：1
2E E A A -=+内非外 而：gh m ＡA 20μ-==内非外；。2111)(21;0l k gh m E E p k ?+==；0;)(2
122212=+=p k E v m m E ；
p k E E E +=；h BC AC l )12(-=-=?。 由上面诸式，解得：2
12
221)12()(2m m kh gh m m v +-+-=μ
2.21解：
由题知，质点的位矢：j y i x r
11+=；作用于质点上的力：i f f -=
质点对原点的角动量：k v y v x m j v i v m j y i x v m r L x y y x
)()()(11110-=+?+=?=。
作用于质点上的力对原点的力矩：k f y i f j y i x f r M
1110)()(=-?+=?=。
2.22解：
哈雷彗星受到的太阳引力为有心力，故其角动量守恒；C v m r
=? 哈雷彗星在近日点和远日点处，速度与轨道半径垂直，有：2211mv r mv r =。
)(1026.51008.91046.51075.8122
4102112m v v r r ?=????==
2.23解：
（1）物体动量变化：)(155130
-??===???s m kg j dt j dt f p
。
（2）相对于z 轴角动量变化：
初态：j i v i r
6;411+==；即有：6;111==y x v v 。
质点的加速度：j m F a
3/5/==；即：3/5;0==y x a a 。质点沿y 轴作匀加速运动。
末态（t=3），质点的位置：7314122=?+=+=t v x x x ；
5.2533
5
21362122112=??+?=++=t a t y y y y
位置矢量：j i r
5.2572+=
质点速度：112==x x v v ；1133/5612=?+=+=at v v y y 。速度矢量：j i j v i v v y x
11222+=+= 初态角动量：k j i i v m r L
72)6(34111=+?=?=。
末态角动量：k j i j i v m r L
5.154)11(3)5.257(222=+?+=?= 角动量变化：)(5.82725.1541212-??=-=-=?s m kg k L L L
（若角动量的增量沿其它方向，则需计算其在z 轴上的分量。） 或按下面的方法解（2）
由：dt
L d M =；得：dt M L d =。→ ???==?t t dt F r dt M L 00)(
而：j t t i t j t a t v y i t v x j y i x r y y x
)6
56()4()21()(221111+++=++++=+=
得：?????
??????????+++=?=?30205)656()4()(j j t t i t dt F r L t
)(5.82)2
520()4(51230230-??=+=+=?s m kg k k t t dt k t
第四章 习题解答
4.2、（a ）解：以两弹簧自然伸长时质点位置 为坐标原点，设坐标如右。当质点位于x 处，
设弹簧形变为：21,x x 。系统受力如右： 则有：12f f f ==；21x x x +=； 但：222111;
x k f x k f ==；得：2
12121221121)11(k k k
k f k k f k f k f x x x +?=+=+=
+=； 即：21212121k k k k k x k k k k f +=→+=；代入牛二定律：x k k k
k dx x d m 2
12122+-=；
即：0)(212
122=++x k k m k k dx x d ；
知质点作简谐振动，圆频率：)(2121k k m k k +=
ω；周期：m k k k
k T 2
12122+==πωπ
（b ）以两弹簧自然伸长时质点位置为坐标原点，
设坐标如右。当质点位于x 处，两弹簧形变也 为x （一伸长，一压缩）。系统受力如右。
则有：21f f f +=；x k f x k f 2211;==；
得：x k k f )(21+=；
代入牛二定律：x k k dx x d m )(2122+-=；即：02
122=++
x m
k k dx x d ； 知质点作简谐振动，圆频率：m k k 21+=ω；周期：2
122k k m
T +==πωπ
4.5、解：由：00cos ?A x =；00sin ?ωA v -=：将题给初始条件代入，使两式同时满足的解，即为该条件下的初位相。
（1）A x -=0；得：π?=0；振动表达式为：)2cos(
ππ
+=t T
A x ； （2）0;000>=v x ；得：π?230=；振动表达式为：)2
3
2cos(
ππ+=t T A x ； （3）0;200<=v A x ；得：30π?=；振动表达式为：)3
2cos(
π
π+=t T A x ； （4）0;2
00>-=v A
x ；得：π?450=；振动表达式为：)452cos(
ππ+=t T A x ；
4.7、解：依题意，以物体平衡位置为坐标原点，设立坐标。 见右图。
解：由题知 )/(2.0109.48
.9100.12
311m N x g m k =???==-- 得：)(510
82.01
3
--=?==
s m k ω； 即：s)(26.12==ωπT
而当0=t 时，)s (m 100.5,(m)100.1-12020??=?-=--v x ( 见上图)。
可得：(m)102)5
100.5()100.1()(22
22
220
2
---?=?+?=+=ωv x A
15
100.1100.5tan 2
2
000=???=-=--ω?x v ； 45;40ππ?=。而00>v ；取：450π?=。 振动表达式为：m))(4
5
5cos(1022π+?=-t x
4.8、（a ）解:由图知，0=t 时；0;000>=v x
由：00cos ?A x =；00sin ?ωA v -=；得：π?2
3
0=。
又由图：s)(2;cm)(10==T A 。则：)(1-=s πω
振动表达式为：))(2
3
cos(10cm t x ππ+=
（b ）由图知，0=t 时；0;52
00>==v A
x 。得：π?350=
11=t 时， 0)35cos(1cos
01=+=+?=πω?ωA A x ）（；0)3
5
sin(1<+-=πωωA v 有：2
2)35(1πππω?+=+=；得：πω65
=。
振动表达式为：))(3
5
65cos(10cm t x ππ+=
第五章 习题解答
第5章作业：5.8 5.9 5.12 5.18 5.23 解答
5.8解: (1)已知平面简谐波的波动方程：)cos(Cx Bt A y -= (0≥x ) 将上式与波动方程的标准形式：)22cos(λ
ππυx
t A y -=；比较，
可得：波振幅为A ，频率πυ2B =
，波长C πλ2=，波速C B u ==λυ，波动周期B
T π
υ21==． (2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程：)cos(Cl Bt A y -= (3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为：)(212x x -=
?λ
π
φ
将d x x =-12，及C
π
λ2=代入上式，即得：Cd =?φ。
解: (1)将题给方程)410cos(05.0x t y ππ-=与标准式：)22cos(x t A y λ
π
πυ-
=；相比较。
得：振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -?。 (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为：
ππω5.005.010max =?==A v 1s m -?；222max 505.0)10(ππω=?==A a 2s m -? (3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为：08.05
.22.0===
?u x t s 故：2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相， 即：ππφ2.9)92.010(=?=。设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则有：825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m
5.12解: (1)由题图可知，1.0=A m ，4=λm ，
又，0=t 时，0,000<=v y ，得：2
0π
φ=，
而：25.01==??=
t x u 1s m -?，5.04
2===λυu Hz ，得：ππυω==2 得波动方程：]2
)2(cos[1.0π
π+-=x t y m
(2)将1=P x m 代入上式，即得P 点振动方程：t t y ππ
ππcos 1.0)]22cos[(1.0=+-=
5.18解：右图，（1）在1S 左侧，距离1S 为1r 的p 点，
1S 2S 传到P 点引起的位相差为：πλλππ
φ=??
?
???+--
=?)4(22
11r r ； 则：0,
02
11===-=p p p A I A A A 。
（2）在2S 右侧.距离2S 为2r 的点，1S 2S 传到该点引起的位相差：
0)4
(22
22=-+
-
=
?r r λ
λ
π
π
φ； 则：212
1114,2A A I A A A A q q q ===+=
5.23解: (1)它们的合成波为：
)4cos(06.0)4cos(06.0t x t x y ππππ++-=t x ππ4cos cos 12.0=
合成波方程出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令ππk x =，则k x =，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；
令2)12(ππ+=k x ,则2
1
)12(+=k x ，,2,1,0±±=k …，此即波节的位置．
(2)波腹处振幅最大，即为12.0m ；
2.1=x m 处的振幅：：097.0)2.1cos(12.0=?=π驻A m
第六章 习题解答
第6章作业：6.5 6.13 6.14 6.18 6.20 6.21解答
6.5解：)(v f ：表示一定质量的气体，在温度为T 的平衡态时，分布在速率v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
(1) v v f d )(：速率分布在dv v v +-内的分子数占总分子数的百分比. (2) v v nf d )(：速率分布在dv v v +-内的分子数密度． (3) v v Nf d )(：速率分布在dv v v +-内的分子数．
(4)?v
v v f 0d )(：速率分布在v ~0区间内的分子数占总分子数的百分比．
(5)?∞
d )(v v f ：速率分布在∞~0区间内的所有分子，其与总分子数的比值是1.
(6)?2
1
d )(v v v v Nf ：速率分布在21~v v 区间内的分子数.
6.13解：
kT 21
：在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在每一个自由度上的能量。 kT 23
：在平衡态下，分子平均平动动能。 kT i
2
：在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量。 RT i
M M mol 2
：由质量为M ，摩尔质量为mol M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能。
RT i
2：1摩尔自由度为i 的分子组成的系统内能。 RT 23
：1摩尔自由度为3的分子系统的内能。或：1摩尔分子系统的总的平均平动动能。
6.14解：两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，……
(1)由kT
p
n nkT p =
=,；知分子数密度相同； (2)由RT p M V M mol ==ρ；知气体质量密度不同； (3)由kT n 23
；知单位体积内气体分子总平动动能相同；
(4)由kT i
n 2
；知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．
6.18解：(1)从图上可得分布函数表达式:
)(v f 满足归一化条件，但这里纵坐标是)(v Nf 而不是)(v f ，故曲线下的总面积为N 。
(2)由归一化条件可得：N v a v v av v v v =+?
?0
000
20d d ； 得：0
32v N
a =
(3)000.2~5.1v v 范围的粒子数：3
)5.12()(0025.125.10
N
v v a adv dv v Nf N v v v v =
-?==
=
??? (4) N 个粒子平均速率：??
?+==∞
00
020
02
v v v dv N
av dv Nv av vf(v)dv v
000200202
200
0209
11
9232323232000000
v v v dv v v dv v v dv N v v N dv Nv v v N v v v v v v =+=+=?+?=????
（5）05.0v 到01v 区间内粒子数：
N v v N vdv v N dv v av dv v Nf N v v v v v v 41
436232)(20205.020
5.005.01000
=?====
??
? 05.0v 到01v 区间内粒子平均速率：??==
005.015.01)(11v v v v dv v vNf N vdN N v
??
?
??≥=≤≤=≤≤=)
2(0)()2()()0(/)(00000
v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf ??
???≥≤≤≤≤=)
2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v N
a v v Nv av v f
03
03205.02205.00219
7)5.01(9832410000v v v dv v v N N dv v av N v v v v =-?===??
6.20解：(1)由气体状态方程nkT p =得：)(1045.2300
1038.110013.11.032523
6
--?=????==m kT p n 。 (2)氧分子的质量： )(1032.51002.6032
.02623
0mol kg N M m -?=?==
。 (3)由气体状态方程RT M M
pV mol
=
得： )(13.0300
31.810013.11.0032.035
mol -?=????==m kg RT p M ρ。
(4)分子间的平均距离可近似计算：)(1026.61045.21
19325
3
m n e -?=?==。 (5)平均速率：)(58.446032
.0300
31.860.160
.11mol -?=?≈=s m M RT v 。 (6) 方均根速率：)(87.48273.11mol
2-?=≈s m M RT
v 。 (7) 分子的平均动能：)(1004.13001038.12
5
252023J kT --?=???==εJ
6.21解：理想气体分子的内能：RT i
E 2
υ=。
平动动能： 3=t )(5.373930031.823
J E t =??=。
转动动能： 2=r )(249330031.822
J E r =??=。
内能： 5=i )(5.623230031.82
5
J E i =??=。
第七章 习题解答
第7章习题：7.4 7.10 7.11 7.17 7.19 7.22解答
7.4解：
解：（1）由热力学第一定律有：A E Q +?=
；
若有两个交点a 和b ，
则经等温过程：b a →；有：0111=-=?A Q E 。
经绝热过程：b a →；有： 012=+?A E ；即：022<-=?A E ； 从上得出21E E ?≠?，这与a ,b 两点的内能变化应该相同相矛盾。
（2）若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为%100，违背了热力学第二定律．
7.10解：
由热一定律：A E Q +?=；可求出acb 过程中，
b 态和a 态的内能之差：)(224126350J A Q E =-=-=?
adb 过程，系统作功：)(42J A =，则：)(26642224J A E Q =+=+?=；系统向外吸热。 ba 过程，系统作功：)(84J A -=，则：)(30884224J A E Q -=--=+?=；系统放热
7.11解
(1)等体过程：由热一定律：E Q ?=。 系统向外吸热：)(2
)(1212V T T R i
T T C E Q -=-=?=υυ 得：)(25.623)300350(31.82
3
J E Q =-??=
?= 系统对外作功： 0=A
(2)等压过程：)(2
2
)(1212P T T R i T T C Q -+=-=υυ。 系统吸热： )(75.1038)300350(31.82
5
J Q =-??=
。 系统内能变化同（1）：)(25.623J E =?
系统对外作功：)(5.4155.62375.1038
J E Q A =-=?-=
7.17解：
b a →的等体升压过程，系统升温，：
吸热：)(
1
22111R
V p R V p C )T (T C Q V V -=-=ν
c b →的绝热过程，系统吸热： 0=bc Q
a c →的等压压缩过程，系统降温，放热：)(2
2122R
V p R V p C )T (T υC Q p a c p -=-= 循环效率： )
/p (p )
/V (V )V p V (p C )V p V (p C Q Q ηV p 11111212
12221221212---=---=-=γ 7.19解;
AB 等压膨胀过程,系统吸热:)T (T C M M
Q A B P mol
-=
1。 CD 等压压缩过程，系统放热:)(P mol
2D C T T C M M
Q -=
。 热机效率：12
1Q Q -
=η；而：)
/1()/1(12B A B C D C A B D C T T T T T T T T T T Q Q --=--= A D →绝热过程，有：γγγγ----=D D A A T p T p 11； C B →绝热过程，有：γ
γγγ----=C C B B T p T p 111
又： B A C D D C B A T T T T p p p p =
==;
; ；得：2312T T T T Q Q B C ==，则：2
31211T T Q Q
-=-=η (2)不是卡诺循环，因为不是由两个等温过程和两个绝热过程组成的循环。
7.22解：
两个容器中的总熵变：??+=-T
T T T l T
T C T T C S S 12d d mo mol 0212mol 21mol ln )ln (ln T T T C T T T T C =+=。 两个容器有相同的体积，故：)()(1mol 2mol T T C T T C -=-
得： 212T T T +=；则：2
12
12mol 04)(ln T T T T C S S +=-。
第八章 习题解答
8.6解：作图，设坐标如右图。
在带点直线上取线元dx ，其电量dx dq λ=
。
（1）dq 在p 点产生的场强为：
)2
()(4412
020a l
a i x a dx i r dq E d p +=-?==
πελπε p 点总的场强：i l a l a i x a dx E d E l l p p
??? ??+--=-=
=??-2/12/14)(402
/2
/20
πελπελ
)/(675)2
.01005.01(105109)11(499110C N i i a l a
=-????=+-=
-πελ （2）dq 在Q 点产生的场强为：
)sin cos (4442
2
20222020j i d x dx
e d x dx e r dq E d r r Q
θθπελπελπε＋-+?=+?==
带入：22
2
2
2
2
2
cos ;sin d
x x
d
x d +=+=θθ
得：)()
(422
/32220j d i x d x dx E d Q ＋-+?=πελ 则：0)(42
/2
/2/32220=+-=
=??-l l Qx
Qx d x xdx
dE E πελ
2
/0
22
2202
/2
/2/32220
2
42)(4l l l Qy Qy d x d x
d x dx d dE E +??=+=
=??-πελπελ
)/(105.105.0075.005.0075
.010510932
299C N ?≈+?
???=-
即：)/(105.13C N j j E E Qy Q
?== （C a
x x
a a x dx ++?=+?2222/3221)(）
8.7解：作图，设坐标如右图。
任取电荷元θλλRd dl dq ==，该电荷元在o
点产生的
场强：)cos (sin 44020j i R
d e r dq E d r
θθπεθ
λπε＋==
o 点总的场强：j R
j R d j i R E d E L
002/2/0242)cos (sin 4πελπελθθθπελππ=?==
=??-＋
8.10解：做半径为r ，与球壳同心的球面为高斯面（右图）。 由高斯定理：0int /εq s d E =??
。
而：24r E s d E π?=??
得：
0;0.5==I E cm r
)/(1048.3100.208.01085.8306.008.0;0.84
52
1233C N E cm r II ?≈?????-==-- )/(101.4100.212
.01085.8306.01.0;0.12452123
3C N E cm r III
?≈?????-==-- 场强方向沿半径向外。
8.11解：做半径为r,高L,与带电圆柱面同轴的柱面为高斯面（下图）。
由高斯定理：0int /εq s d E =?? 。而：rL E s d E π2?=??
8.6解（求电势）：作图，设坐标如右图。 在带点直线上取线元dx ，其电量dx dq λ=
。
（1）dq 在p 点产生的电势为：
)2
(44100a l
a x a dx r
dq dU p +=-?=
=
πελπε p 点的总电势为：2/2
/ln 4402
/2
/0
l a l a x a dx dU U l l p p -+=-=
=??-πελπελ
)(4.62075
.0125.0075
.0125.0ln 10510999V ≈-+???=-
（2）dq 在Q 点产生的电势为：22
20044d x dx
r
dq dU Q +?
=
=
πελπε Q 点的总电势为：)42ln(4242
22
202
/2
/2220
d d l l d x dx dU U l l Q Q ++?=+=
=?
?-πελπελ
)(5.10705
.005.045.01075.0ln(1051092
2
99V ≈++???=- （C a x x a x dx +++=+?)ln(222
2）
8.17解：作图，设坐标如右图。 （1）由于电荷分布均匀和对称性知： AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消。 在BC 上取线元θRd dl =，其电量：θλλRd dl dq ==。
dq 在O 点产生的场强：r r
o e R
d e r dq E d
02044πεθλπε==
；由对称性知，O 点场强沿y 轴负向。 则：R R d dE E oy o 02
/2
/02cos 4πελθπεθλππ-=-
==??- （2）CD 段电荷在O 点产生的电势：2ln 44402001πελ
πελπελ===??R R D
C
x dx x dx U
类似，AB 段电荷在O 点产生的电势：2ln 40
2πελ
=
U
半圆环BC 在O 点的电势：0
000344141
4ελλππεπεπε=
?=
=
=??
R R
dq R R
dq U Q
Q
O 点的总电势：0
032142ln 2ελ
πελ+
=++=U U U U
8.23解：作图如右图；
（1）内球带电q +；则外球内表面带电q -，外表面带电q +。 外球电势：2
020202
044442R q
R q R q R q U R πεπεπεπε=
+-+
=
（2）外球壳接地时，外表面电荷流入大地，外表面不带电，内表面电荷不变，球壳电势由内球电荷及外球内表面电荷产生。 得：0442
02
02=-+
=R q
R q U R πεπε
8.24解：如右图所示，设金属球感应电荷为/q ，则球接地时， 球心电势：00=U 。 由电势叠加原理：0)
3(4400/
0/
=+
=
?R q
R
dq U q πεπε。
而：R
q dq R R
dq q q 0//
00/441
4/
/
πεπεπε=
=
??
；得：3
/q q -
=。
附加题：一半径为R 的均匀带电球体，所带电量为q
。
求球体内外的电势分布。
解：由高斯定理，可求得球体内外的场强为：
由电势的定义，可求出球体内外的电势：
r
q dr r q l d E U R r r
r
r 02
044;πεπε=
=?=>?
?∞
∞
??
???∞
∞∞
+=?+?=?= R r R R r r r dr r q dr R qr l d E l d E l d E U R r 203044;πεπε 3 02202 2 308) 3(4)(8R r R q R q r R R q πεπεπε-= +-= 第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图 则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图 第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2 。 作业 1-1填空题 (1) 一质点，以1-?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大 小是 ；经过的路程 是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间 的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻 质点的速度v 0为5m 2s -1，则当t 为3s 时， 质点的速度v= 。 [答案： 23m 2s -1 ] 1-2选择题 (1) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时 速度s m v /2=，瞬时加速度2/2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (2) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运 动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其 平均速度大小和平均速率大小分别为 (A)t R t R ππ2,2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] (3)一运动质点在某瞬时位于矢径) ,(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d || (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] 1-4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3） x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的 速度和加速度，并说明该时刻运动是加速 的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于 习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为 2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外 第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m /s 102=g 。 1–4 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 1–5 一质点沿x 轴正向运动，其加速度与位置的关系为x a 23+=，若在x =0处，其速度m /s 50=v ，则质点运动到x =3m 处时所具有的速度为__________。 1–6 一质点作半径R =1.0m 的圆周运动，其运动方程为t t 323+=θ，θ以rad 计，t 以s 计。则当t =2s 时，质点的角位置为________；角速度为_________；角加速度为_________；切向加速度为__________；法向加速度为__________。 1–7 下列各种情况中，说法错误的是[ ]。 A ．一物体具有恒定的速率，但仍有变化的速度 B ．一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C ．一物体具有加速度，而其速度可以为零 D ．一物体速率减小，但其加速度可以增大 1–8 一个质点作圆周运动时，下列说法中正确的是[ ]。 A ．切向加速度一定改变，法向加速度也改变 B ．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 C ．切向加速度可能不变，法向加速度不变 D ．切向加速度一定改变，法向加速度不变 1–9 一运动质点某瞬时位于位置矢量),(y x r 的端点处，对其速度大小有四种意见： （1）t r d d （2）t d d r （3）t s d d （4）2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 下述判断正确的是[ ]。 A ．只有（1），（2）正确 B ．只有（2），（3）正确 C ．只有（3），（4）正确 D ．只有（1），（3）正确 1–10 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 22bt at +=（其中a 、b 为常量），则该质点作[ ]。 A ．匀速直线运动 B ．变速直线运动 C ．抛物线运动 D ．一般曲线运动 1–11 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S ＝5＋4t –t 2（SI ），则小球运动到最高点的时刻是[ ]。 1 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1） r ?是位移的模，? r 是位矢的模的增量，即r ?1 2r r -=，1 2r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即t v a d d = ， t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢） ，所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y = y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝2 2y x +，然后根据v = t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 一、判断题 1. 在自然界中，可以找到实际的质点. ···················································································· [×] 2. 同一物体的运动，如果选取的参考系不同，对它的运动描述也不同. ···························· [√] 3. 运动物体在某段时间内的平均速度大小等于该段时间内的平均速率. ···························· [×] 4. 质点作圆周运动时的加速度指向圆心. ················································································ [×] 5. 圆周运动满足条件d 0d r t =，而d 0d r t ≠ . · ··············································································· [√] 6. 只有切向加速度的运动一定是直线运动. ············································································ [√] 7. 只有法向加速度的运动一定是圆周运动. ············································································ [×] 8. 曲线运动的物体，其法向加速度一定不等于零. ································································ [×] 9. 质点在两个相对作匀速直线运动的参考系中的加速度是相同的. ···································· [√] 10. 牛顿定律只有在惯性系中才成立. ························································································ [√] 二、选择题 11. 一运动质点在某时刻位于矢径(),r x y 的端点处，其速度大小为：（ C ） A. d d r t B. d d r t C. d d r t D. 12. 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为2 54SI S t t =+-（） ，则小球运动到最高点的时刻是： （ B ） A. 4s t = B. 2s t = C. 8s t = D. 5s t = 13. 一质点在平面上运动，已知其位置矢量的表达式为22 r at i bt j =+ （其中a 、b 为常量）则 该质点作：（ B ） A. 匀速直线运动 B. 变速直线运动 C. 抛物线运动 D. 一般曲线运动 14. 某物体的运动规律为2d d v kv t t =-，式中的k 为大于0的常数。当0t =时，初速为0v ，则速 度v 与时间t 的关系是：（ C ） A. 0221v kt v += B. 022 1 v kt v +-= C. 021211v kt v += D. 0 21211v kt v +-= 15. 在相对地面静止的坐标系中，A 、B 二船都以2m/s 的速率匀速行驶，A 沿x 轴正方向，B 习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2 /2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R ππ2, 2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 -?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的 速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321=++V V V ] 1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2 -4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt = =+== t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2 。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=，12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量， 大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5) r ?v 和r ?v 有区别吗？v ?v 和v ?v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt =v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t = ，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r = dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性 的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度 也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解： (1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0(/)2 ave x v m s t ?= ==? 大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解： () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2) [习题解答] 1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。 解汽车行驶的总路程为 ； 汽车的总位移的大小为 ?r = 位移的方向沿东北方向，与 方向一致。 1-4 现有一矢量R是时间t的函数，问 与 在一般情况下是否相等？为什么？ 解 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导， 表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。 1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r = 6t 2 -2t 3 ，r和t的单位分别是m和s。求： (1)第二秒内的平均速度； (2)第三秒末和第四秒末的速度； (3)第三秒末和第四秒末的加速度。 解取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。 (1)第二秒内的平均速度 m?s-1； (2)第三秒末的速度 因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，为 v3 = - 18 m?s-1； 用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为 v4 = - 48 m?s-1； (3)第三秒末的加速度 因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，为 a3 = - 24 m?s-2； 用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为 v4 = - 36 m?s-2 . 1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为和，试证明： (1) v d v = a d s； (2)当a为常量时，式v 2 = v02 + 2a (s-s0 )成立。 大学物理上册答案详解 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=， 12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中 dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加 速度时，有人先求出r ＝2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求 得结果；又有人 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 222 22d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标 系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 22 2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明 t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r 也不是加速 习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零， 则Q与q的关系为：（） （A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案：A] (2)下面说法正确的是：（） （A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案：A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0 [答案：C] (4)在电场中的导体内部的（） （A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零； （C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。 [答案：C] 9.2填空题 (1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。 [答案：零] (2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中 心向外移动至无限远，则总通量将。 [答案：q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。 [答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：1：5] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷 第9章 静电场 习 题 一 选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变 习题9-3图 (C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变 答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于OP =OT ， 即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零 答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时，j i r 5.081-= m ；2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ，则：437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x =+，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得：2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得：2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时，2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ?== 即：βωR R =2 ，亦即t t 18)9(2 2=，解得：9 23= t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2=t 时，4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈? 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故 t s t ΔΔΔΔ≠ r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故 t s t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 分析与解 t r d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；t d d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可 习题八 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无 关． 题8-1图 题8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计， 求每个小球所带的 解: 如题8-2图示 ?? ? ?? ===220)sin 2(π41 sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强 →∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解 ? 解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f = 2 024d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε= ，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少 ? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε=，另一板受它的作用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r 与l 的夹角为 θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为 r E = 302cos r p πεθ, θE =3 04sin r p πεθ 证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ． ∵ l r >> ∴ 场点P 在r 方向场强分量 3 0π2cos r p E r εθ = 垂直于r 方向，即θ方向场强分量 3 00π4sin r p E εθ =大学物理学下册答案第11章
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