人教版九年级上册数学 二次函数单元培优测试卷

人教版九年级上册数学二次函数单元培优测试卷

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）

（1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；

（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为

2

4

；（3）M点坐标为可以为（2，

3），（55

2

+

，3），（

55

2

-

，3）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．

（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．

（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．

【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），

∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），

∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．

又∵点D（4，3）在二次函数上，

∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，

∴解得：a＝1．

∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

（2）如图1所示．

因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）． ∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ， ∴点C 的坐标为（0，3）． 又∵点B 的坐标为B （3，0）， ∴OB ＝OC

∴△COB 为等腰直角三角形． 又∵PF//y 轴，PE//x 轴， ∴△PEF 为等腰直角三角形． ∴EF 2PF ．

设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ， 又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，

30

3k b b +=??

=?

， 解得：1

3

k b =-??

=?，

∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3． ∴y F ＝﹣p+3．

FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF 2p 22． ∴线段EF 的最大值为，EF max 42-2

4

． （3）①如图2所示：

若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ， BF ⊥l 交l 于点F ．

设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3）， ∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3）， ∴CD ∥x 轴．

又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°， ∴△CNE ∽△NBF ． ∴

CE NE ＝NF

BF

， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，

∴24m m

m

-+＝2343m m m --+-，

化简得：m 2﹣5m+5＝0． 解得：m 1＝

552

+，m 2＝552-．

∴M 点坐标为（

55+，3）或（55-，3）

②如图3所示：

当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ， ∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°， ∴△BFN ∽△CGB ． ∵△BFN 为等腰直角三角形， ∴BF ＝FN ，

∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ． ∴化简得，m 2﹣5m+6＝0． 解得，m ＝2或m ＝3（舍去） ∴M 点坐标为，（2，3）．

综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552

+，3），（55

2-，3）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．

2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．

（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2x =；（2）2

122

y x x =-

+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(

33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2?

?- ??

?

【解析】 【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．

（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】

解：（1）∵抛物线L：y＝ax2﹣4ax(a＞0)，

∴抛物线的对称轴x＝﹣

4

2

a

a

＝2．

（2）如图1中，

对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，

∴A(4，0)，

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M((2，﹣2)，M′(2，2)

把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，

可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝1

2

，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1

2(x﹣2)2+2＝﹣

1

2

x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD 为平行四边形的边时，PQ ＝OD ＝2，设P (m ，12m 2﹣2m )，则Q [m ﹣2，﹣1

2

(m ﹣2)2+2(m ﹣2)]或[m +2，﹣1

2

(m +2)2+2(m +2)]， ∵PQ ∥OD ， ∴

12m 2﹣2m ＝﹣12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)或12m 2﹣2m ＝﹣1

2

(m +2)2+2(m +2)， 解得m ＝3±3或1±3，

∴P (3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣

3

2

)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣32

)． 【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

3．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -

()1求此抛物线的关系式；

()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点

,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；

()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中

BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=?的点M 的坐标

【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ?? ???

；（3）点M 的坐标为()0,3或

113113,22??++ ? ???

【解析】 【分析】

（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.

（2）首先设点()

2

,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的

关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得

()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为

()213

33,22

S PD t t =

?=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=?，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点

33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】

()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++

可解得1,3,a c =-=

即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．

()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=

解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．

设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)， 将点,B C 的坐标代入，

可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．

∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+

设BCP 的面积为,S 则()213

33,22

S PD t t =

?=-+ ∴当3

2t =时，S 有最大值，此时点33,22D ?? ???

．

()3∵

PD y 轴，45PDM ∠=?

第一种情况：令DM y x b =+,33

D(22

，） 解得：b=0 ∴2

23y x

y x x =??

=-++?

解得：113

x 2

=

∴M 第二种情况：令DM y x b =-+,33

D(22

，） 解得：b=3

∴2

323y x y x x =-+??=-++?

解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）

满足条件的点M 的坐标为(

)0,3

或1122??+ ? ???

【点睛】

此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

4．已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；

（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，

()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，

OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内

角为60，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：

PA 平分MPN ∠．

【答案】（1）21b a =-；（2）2

2y x =-；（3）见解析.

【解析】 【分析】

（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；

（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2

12)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21

2

x x =-

，进而可得出点N 及点'N 的坐标，

由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】

解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得

2420c a b c =-?

?

-+=?

． 所以21b a =-．

（2），如图1，

当120x x <<时，()()12120x x y y --<，

120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；

同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，

∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，

0b ∴=．

OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴?为等腰三角形，

又ABC ?有一个内角为60?， ABC ∴?为等边三角形．

设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=?， 又2OB OC OA ===，

·303CD OC cos ∴=?=，·

301OD OC sin =?=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为31)． 点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，

321a ∴-=，

1

a

∴=，

∴抛物线的解析式为22

y x

=-．

（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为1(x，212)

x-，点N的坐标为

2

(x，2

2

2)

x-．

如图2，直线OM的解析式为()

11

y k x k

=≠．

O、M、N三点共线，

1

x

∴≠，

2

x≠，且

22

12

12

22

x x

x x

--

=，

12

12

22

x x

x x

∴-=-，

()

12

12

12

2x x

x x

x x

-

∴-=-，

12

2

x x

∴=-，即2

1

2

x

x

=-，

∴点N的坐标为

1

2

(

x

-，

2

1

4

2)

x

-．

设点N关于y轴的对称点为点'N，则点'N的坐标为

1

2

(

x，2

1

4

2)

x

-．

点P是点O关于点A的对称点，

24

OP OA

∴==，

∴点P的坐标为()

0,4

-．

设直线PM的解析式为24

y k x

=-，

点M的坐标为1(x，212)

x-，

2

121

24

x k x

∴-=-，

2

1 2

1

2

x

k

x

+

∴=，

∴直线PM的解析式为

2

1

1

2

4

x

y x

x

+

=-．

()

22

2

11

1

22

1111

224

224

·42

x x

x

x x x x

+-

+

-==-，

∴点'

N在直线PM上，

PA

∴平分MPN

∠．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；

②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上．

5．如图，已知点()

1,2

A、()()

5,0

B n n>，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数

()0

k

y x

x

=>的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”

（1）当1

n=时．

①求线段AB所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

【答案】（1）①

19

44

y x

=-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当

9

2

x=时，k 有最大值

81

16

；当1

x=时，k有最小值2；（2）

10

9

n≥；

【解析】

【分析】

（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则219

44

k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；

（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k

x

），则得到2210

44

n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b

a -

≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则

251a b a b +=??

+=?，解得：14

94a b ?=-????=??

， ∴19

44

y x =-

+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得19

44

y x =-

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 1944

k x x =-+， ∴22191981

()444216

k x x x =-+=--+； ∵1

04

-

<， ∴当9

2x =

时，k 有最大值8116

； 当1x =时，k 有最小值2；

∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在9

2

x =

的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则

25a b a b n +=??

+=?，解得：24

104n a n b -?=???-?=??

， ∴21044

n n

y x --=

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 2210

44

n n k x x --=

-， 当

2

04

n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：10

10

42242

n n x n n --==--；

∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．

即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当

2

04

n ->时，有 ∴2

04

10124

n n n -?>???-?≤?-?，解得：26n n >??≥-?，

∴不等式组的解集为：2n >； 当

2

04

n -<时，有 ∴2

0410524n n n -?

，解得：

10

29n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：10

9

n ≥． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．

6．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点． （1）若点()1,2，

()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；

（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位

置关系，并说明理由；

（3）抛物线2

y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线

于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】（1）

2

3

；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0 【解析】 【分析】

（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.

（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.

（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案. 【详解】

（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点， 设3t ＝2 解得t ＝

23

所以a ＝t×1＝

23

（2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，

所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）

设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0. 分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得

111pk b tp b tp +=??=?. 解得11k t

b tp

=-??

=? 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得

2222

pk b tp qk b tp +=??

+=?. 解得22k t

b tp tp =-??=+? 所以k 1＝k 2. 所以AB ∥PQ

（3）解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）交y 轴于点D ， 所以点D 的坐标为（0,c ）. 因为DM ∥x 轴，

所以点M 的坐标为（x M ,c ），又因为点M 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）上. 可得ax M 2＋bx M ＋c ＝c ，即x M （ax M ＋b ）＝0. 解得x M ＝0或x M ＝－

b a . 因为点M 不与点D 重合，即x M ≠0，也即b≠0， 所以点M 的坐标为（－

b

a

,c ） 因为直线y ＝ax ＋m 经过点M ，

将点M （－

b a ,

c ）代入直线y ＝ax ＋m 可得，a·（－b a

）＋m ＝c. 化简得m ＝b ＋c

所以直线解析式为：y ＝ax ＋b ＋c.

因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋b ＋c 交于另一点N ， 由ax 2＋bx ＋c ＝ax ＋b ＋c ，可得ax 2＋（b －a ）x －b ＝0. 因为△＝（b －a ）2＋4ab ＝（a ＋b ）2， 解得x 1＝－b

a

，x 2＝1. 即x M ＝－

b a ，x N ＝1，且－b

a ≠1，也即a ＋b≠0. 所以点N 的坐标为（1,a ＋

b ＋

c ） 要使M （－

b

a

,c ）与N （1,a ＋b ＋c ）是一对泛对称点， 则需c ＝t ×1且a ＋b ＋c ＝t ×（－b a

）. 也即a ＋b ＋c ＝（－

b

a

）·c 也即（a ＋b ）·

a ＝－（a ＋

b ）·c.

因为a ＋b≠0，

所以当a ＝－c 时，M ，N 是一对泛对称点.

因此对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形. 此时点M 的坐标为（－

b

a

,－a ），点N 的坐标为（1,b ）. 所以M ，N 两点都在函数y ＝b

x

（b≠0）的图象上. 因为a ＜0，

所以当b ＞0时，点M ，N 都在第一象限，此时 y 随x 的增大而减小，所以当y M ＞y N 时，0＜x M ＜1；

当b ＜0时，点M 在第二象限，点N 在第四象限，满足y M ＞y N ，此时x M ＜0.

综上，对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M （x M ,y M ），N （x N ,y N ），当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0. 【点睛】

本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.

7．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)

(0)x x y x x ≥?=?

-

.

（1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2

1

42

y x x =-+-

. ①当点3,2B m ?? ???

在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2

1

42

y x x =-+-

的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12??-

???、9,12??

???

，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2

4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.

【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =

，min 1

2

y =-；（3）31n -<≤-，5

14

n <≤

【解析】 【分析】

（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

1

2

，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-1

2

，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）根据题意，

一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)

5,(0)ax x y ax x -≥?=?

-+

， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则

(5)510a -?-+=，

∴1a =；

（2）根据题意，二次函数2

142y x x =-+-的相关函数为2

214,(0)214,(0)

2x x x y x x x ?-+-≥??=??-+

，

①当m ＜0时，将B （m ，

32）代入y=x 2-4x+1

2得m 2-4m+1322

=，

解得：

m=2 当m≥0时，将B （m ，

32

）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=3

2，

解得：

或

m=2．

综上所述：

m=2-或

m=2+或

m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+

1

2

，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2

143(3)4(3)22

y =--?-+=， ∴此时y 的最大值为

432

． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 1

2-

，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12

-

，

当x=2时，有最大值，最大值y=7

2

．

综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x

1

2

-的相关函数的最大值为43

2

，最小值为

1

2

-；

（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．

如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，

∴-n=1，解得：n=-1．

∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），

∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（

1

2

-，1），

∴1

4

+2-n=1，解得：n=

5

4

．

∴1＜n≤5

4

时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤5

4

．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．

8．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）．（1）若点A（2，1）的变换点A′在反比例函数y=k

x

的图象上，则k= ；

（2）若点B（2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b上，则这条直线对应的函数关系式为，∠BOB′的大小是度．

（3）点P在抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P 的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，求m的取值范围．

（4）抛物线y=（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求n的值．

【答案】(1) －2；(2) y=1

3

x+

10

3

，90；(3) m＜0，

113

+

或

321

+

；(4) n=﹣8，

n=﹣2，n=﹣3．

【解析】

【分析】

（1）先求出A的变换点A′，然后把A′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B′的坐标，把问题转化为方程组解决；

（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．

（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】

（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k

x

中，得到k =－2． 故答案为：－2．

（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．

得到：2442a b a b +=??-+=?，解得：13

103a b ?=????=??

，∴11033y x =+．

∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22

(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，

∴∠BOB ′=90°． 故答案为：y =

13x +10

3

，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．

解得：12m m ==

（不合题意，舍去）．

所以m =

③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）． 将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．

解得：12m m ==

所以32

m +=

． 综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m

=

12+或m

=32

． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称． ∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）． ①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）． 代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．