2015年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷
(满分150分,考试时间100分钟) 2015.4
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.下列根式中,与24是同类根式的是( )(A )2;(B )3; (C )5; (D )6. 2.如果关于x 的一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ) (A )4
(C )0 (D )0>k . 3.已知一次函数y =kx ﹣1,若y 随x 的增大而增大,则它的图像经过( ) (A )第一、二、三象限;(B )第一、三、四象限;(C )第一、二、四象限;(D )第二、三、四象限. 4.一组数据:-1,1,3,4,a ,若它们的平均数为2,则这组数据的众数为( )(A )1;(B )2;(C )3;(D )4. 5.已知在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ) (A )AD =BC ; (B )AC =BD ; (C )∠A =∠C ; (D )∠A =∠B . 6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,AB =c ,∠A =α,则CD 长为( )(A )α2 sin ?c ;(B )α2 cos ?c ;(C )ααtan sin ??c ;(D )ααcos sin ??c . 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.计算:1 -2=________.8.分解因式:224b a -=__________. 9.已知1 )(-=x x x f ,那么)3(f =______. 10.已知正比例函数的图像经过点(-1,3),那么这个函数的解析式为________. 11.不等式组? ? ?><+625 1x x 的解集是___________. 12.用换元法解方程221201 x x x x -++=-时,可设21 x y x -=,则原方程可化为关于y 的整式方程为 . 13.任意掷一枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),朝上的面的数字大于2的概率是______. 14.将抛物线2 21y x =-向上平移4个单位后,所得抛物线的解析式是___________. 15.在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,如果=,=,那么=AC .(用a 、b 表示) 16.如图,DE 为△ABC 的中位线,点F 在DE 上,且∠AFB 为直角,若AB =8,BC =10,则EF 的长为 . 17.如图,当小明沿坡度3:1=i 的坡面由A 到B 行走了100米,那么小明行走的水平距离=AC 米.(结果可以用根号表示) 18.如图,在△ABC 中,AB =AC =5cm ,BC =6cm ,BD 平分∠ABC ,BD 交AC 于点D .如果将△ABD 沿BD 翻折,点A 落在点A ′处,那么△D A ′C 的面积为___ __cm 2. 三、解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分) 计算:32 3112---÷-+x x x x )( 20.(本题满分10分) 解方程组:???=--=+054832 2 y xy x y x B A E F C D (第16题 A B C D (第18题 A B C (第17题 A C B D 21.(本题满分10分)某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆,二月份的销售量比一月份增加10%,二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元,二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元,问一月份每辆电动车的售价是多少? 22.(本题满分10分,每小题各5分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,且CD =24,点M 在⊙O 上,MD 经过圆心O ,联结MB .(1)若BE =8,求⊙O 的半径;(2)若∠DMB=∠D ,求线段OE 的长. 23.(本题满分12分,每小题各6分)如图,已知在正方形ABCD 中,点E 在CD 边上,过C 点作AE 的垂线交于点F ,联结DF ,过点D 作DF 的垂线交AF 于点G ,联结BG . (1)求证:△ADG ≌△CDF ;(2)如果E 为CD 的中点,求证:BG ⊥AF . 24.(本题满分12分,每小题各4分)如图,二次函数bx x y +-=2的图像与x 轴的正半轴交于点A (4,0),过A 点的直线与y 轴的正半轴交于点B ,与二次函数的图像交于另一点C ,过点C 作CH ⊥x 轴,垂足为H .设二次函数图像的顶点为D ,其对称轴与直线AB 及x 轴分别交于点E 和点F .(1)求这个二次函数的解析式; (2)如果CE =3BC ,求点B 的坐标;(3)如果△DHE 是以DH 为底边的等腰三角形,求点E 的坐标. 25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)如图,已知在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90o,AB =4,AD=3,5 5 2sin = ∠BCD ,点P 是对角线BD 上一动点,过点P 作PH ⊥CD ,垂足为H .(1)求证:∠BCD =∠BDC ;(2)如图1,若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时,求DP 的长;(3)如图2,点E 在BC 延长线上,且满足DP =CE ,PE 交DC 于点F ,若△ADH 和△ECF 相似,求DP 的长. A (第23题图) E G D F C A B C H P D (第25题图1) A B C H P D E F (第25题图 (第24题图) x (第22题图) 2015年松江区初中毕业生学业模拟考试数学参考答案及评分标准 2015.4 一、选择题 1、D ; 2、A ; 3、B ; 4、C ; 5、C ; 6、D . 二、填空题 7、 21; 8、()()b a b a 22-+; 9、23; 10、x y 3-=; 11、43< 2 ; 14、322+=x y ; 15、-2; 16、1; 17、1030; 18、11 12 . 三、解答题 19.解: 原式=()()3 1232-+-÷--x x x x x ………………………………………………………6分 = ()() 123 32+--?--x x x x x …………………………………………………………2分 = 1 1 +x ……………………………………………………………………………2分 20.解:由②得0,05=+=-y x y x …………………………………………………………4分原方程组化为 ?? ?=-=+0583y x y x ,???=+=+0 8 3y x y x …………………………………………2分 解得?? ?=-=?? ?==4 4 152211y x y x …………………………………………………………4分 21.解:(1)设一月份每辆电动车的售价是x 元.…………………………………………1分 根据题意得:()()12200100-80%101100=-+x x …………………………………………5分 解得2100=x …………………………………………………………………………………2分 答:一月份每辆电动车的售价是2100元.……………………………………………………2分 22.解:(1)设⊙O 的半径为r ,则OD =OB =r ∵BE =8,∴OE =r -8………………………………………………………………………………1分 ∵OB ⊥CD ,OB 是半径,∴ED = CD 2 1 …………………………………………………………1分 ∵CD =24,∴ED =12 ……………………………………………………………………………1分 在Rt △OED 中,222OD ED OE =+ ∴222128r r =+-)( …………………………………………………………………………1分 解得13=r ………………………………………………………………………………………1分 ∴⊙O 的半径为13. (2)∵ OM =OB ,∴∠OMB =∠B ……………………………………………………………1分 ∵∠DOE =∠OMB +∠B ,∴∠DOE =2∠OMB ………………………………………………1分 ∵∠DMB=∠D ,∴∠DOE =2∠D ,∵∠DOE +∠D =90°,∴∠D =30°………………………1分 在Rt △OED 中,ED OE D =∠tan ………………………………………………………………1分 ∵ED =12,∠D =30° ∴OE =34………………………………………………………………………………………1分 23.证明:(1)∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =DC ,∠ADC =90°…………………………………………………………………………2分 ∵GD ⊥DF ,∴∠ GDF =90° ∴∠ ADG =∠CDF ………………………………………………………………………………1分 ∵CF ⊥AF ,∴∠AFC =90°,∴∠ CFD =90°+∠DFG …………………………………………1分 ∵∠ AGD =∠GDF +∠DFG =90°+∠DFG ∴∠ AGD =∠CFD ………………………………………………………………………………1分 ∴△ADG ≌ △CDF ………………………………………………………………………………1分 (2)∵∠ADE =∠EFC ,∠DEA =∠FEC ,∴△ADE ∽△CFE ,∴FC EF AD DE =……………1分 ∵E 为CD 的中点,∴ 21=DC DE ,∴21=AD DE ,∴2 1 =FC EF ∵△ADG ≌△CDF ,∴FC =AG ,∴21=AG EF ,∵21=AB EC ,∴AB EC AG EF = ……………1分 ∵AB ∥EC ,∴∠FEC=∠GAB …………………………………………………………………1分 ∴△EFC ∽△AGB ………………………………………………………………………………1分 ∴∠EFC =∠AGB =90° …………………………………………………………………………1分 ∴BG ⊥AF ………………………………………………………………………………………1分 24.解:(1)∵抛物线bx x y +-=2经过点A (4,0) ∴b 416-0+=…………………………………………………………………………………1分 ∴4=b …………………………………………………………………………………………1分 ∴ 4x 2 +-=x y ………………………………………………………………………………1分 ∴抛物线的解析式为x x y 42+-=……………………………………………………………1分 (2)∵422 +--=)(x y ,顶点D 的坐标是(2,4)……………………………………1分 由抛物线的对称性可得OF =AF =2 ∵BO ∥CH ∥EF ,∴ OF OH BE BC = ∵CE =3BC ,∴41=BE BC ,∴OH =21 …………………………………………………………1分 ∴CH =y =4 7 ∵AO AH OB CH =,∴4 21 447- =OB ………………………………………………………………1分 ∴OB =2,∴B (0,2) …………………………………………………………………………1分 (3)设点C 的坐标为(x ,-x 2+4x ),∵ AH AF CH EF =,∴x x x EF -=+42 4-2 ∴EF =2x …………………………………………………………………………………………1分 ∵EH =DE ,∴x x x 24222 2-=+-)()(…………………………………………………1分 ∴3461+-=x ,3462--=x (舍)…………………………………………………1分 ∴38122+-==x EF ,∴),(38122+-E …………………………………………1分 25.解:(1)过点D 作DG ⊥BC ,垂足为G ∵在Rt △ABD 中,∠ABC =90o,AB =4,AD=3,∴BD=5……………………………………1分 在Rt △DCG 中,∠DGC =90o,5 52sin =∠BCD =DC DG …………………………………1分 ∵AD ∥BC ,∴AB =DG =4,AD =BG =3,∴DC=52,∴CG=2 ∴BC=3+2=5……………………………………………………………………………………1分 ∴BD=BC ,∴∠BCD =∠BDC …………………………………………………………………1分 (2)设DP=x ,则R P =PB=5-x ………………………………………………………………1分 ∵∠BCD =∠BDC ,∴5 5 2sin sin = ∠=∠BDC BCD ……………………………………1分 在Rt △PDH 中,∠PHD =90o,5 52sin = ∠BDC =x PH PD PH = ∴PH = x 552,∴DH =x 55,∴R H =HD=x 5 5 ……………………………………………1分 ∵⊙P 与⊙H 外切,∴PH R R H P =+ ………………………………………………………1分 ∴x x x 552555=+ -,∴4 5 525-= x …………………………………………………1分 即4 5 525-= DP (3)过点P 作PM ∥BC 交DC 于点M ,∴∠DMP =∠DCB ∵∠BDC =∠DCB ,∴∠DMP =∠BDC ,∴PD =PM ,∵PH ⊥CD ,∴DH =HM ……………1分 ∵PM ∥BC ,∴ CE PM FC MF =,∵DP =CE ,∴PM =CE ,∴MF =CF ∴521== DC HF ,∴x HF DH CD CF 5 55-=--=…………………………1分 ∵AD ∥CE ,∴∠ADH=∠FCE …………………………………………………………………1分 (ⅰ)若 CF DH CE AD =,则△ADH ∽△ECF ∴ x x x 55 5553-=,解得2693+-=x (负值已舍)……………………………………1分 (ⅱ)若 CE DH CF AD =,则△ADH ∽△FCE ∴ x x x 555 553=- ,解得10-=x (舍)………………………………………………1分 综上所述,2 69 3+-=DP