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(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题

1.若0

()

lim

1sin x x x

φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||x

B.ln(1)x -

1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()

lim 1tan sin x f x x x

→=-则'''f (0)=（）

A.5

B.3

C.1

D.0 2.

【

答

案

】

解

析

由

洛

必达

法

则

可

得

300

02()

'()

''()

lim

tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x

x x -→→→==-+-42200''()''()

lim lim 16cos sin 2cos cos 21

x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3x

B.3

x C.3

D.x

3.【答案】A.解析

31233

2000311(1)1133lim lim (1)3313

x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n

n x

x x π→∞=+的间断点有（）个

A.4

B.3

C.2

D.1

4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故

20.5sin 12lim

1(2(0.5))2n x π

→--

+?-， 20.5sin

12lim

1(20.5)2n x π

→=

+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x

f x a e

=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）

A.a>0，b>0

B.a ≤0，b>0

C.a ≤0，b<0

D.a>0，b<0

5.【答案】B 。解析：0

lim ()lim 0,0b

bx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞?-=∞>??==???≤--=∞???

。 6.

关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线

D.既有水平渐近线，又有斜渐近线

6.【答案】C 。解析：由题意可知，无水平渐近线

；

()lim 2,lim[()]lim[2]

],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。 7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'20()()()

lim h f a h f a hf a h

→+--=( ) A.f"(a)/2

B.f"(a)

C.2f"(a)

D.-f"(a)

7.【答案】A 。解析：'''''200()()()()()()

lim lim 22

h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。 8.设()232x

f x =+-，则当x 趋近于0时，有（） A.f （x ）是x 的等价无穷小

B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小

C.f （x ）是比x 高阶的无穷小

D.f （x ）是比x 高阶的无穷小

8.【答案】B 。解析：0232

()232,lim

ln 2ln 3x x x

x f x x

→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。

9.2222

n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

9.【答案】A 。解析：2222414

lim

lim lim 23

22n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。 10.已知函数2

()23

x f x x x +=

--的间断点（）

A.X=7

B.X=-

C.X=-1或X=3

D.X=1或X=-3

10.【答案】C 。解析：2

37()23

x f x x x +=--，2

230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。

11.设当x (0,)∈+∞时1

f ()sin x x x

=则在（0，+∞）内（） A.f ()x 与'

f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'

f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界

D.f ()x 无界，'f ()x 有界

11.【答案】B.解析0

1lim ()lim sin

0x x f x x x →→==，01

lim ()lim sin 0x x f x x x

→∞→==故f(x)有界，

111'()sin cos f x x x x

=-，0

lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数n

f ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞

的值为（） A.1e -

B.e

C.2e

D.3e

12.【答案】A.解析.2

1'()(1)(1)(1)(1)n

n n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点

有两个,分别是x=1和11x n =

+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以1

x n =+也是最大值点，所以(1)(1)

11()()()(1)111

n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11

lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e

++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。选A 。 13. ( )

B.0

C.1

13.【答案】D 。解析：由，故选D 。 14.计算：（）. A. B. C.

D. 14.【答案】B

2+1

lim [123...]x n n →∞++++=∞12

()

22+1112lim [123...]lim 2

x x n n n n n →∞→∞+++++==33

2321

lim 752

x x x x x →∞+-=-+1237322

15.已知=2，其中a.b ,则a-b 的值为（） A.6

B.-6

C.2

D.-2

15.【答案】C.解析：由=2可得

,所以

16.设f(x)=sinx/x ，则x=0是函数f(x)的（） A ．连续点

B.跳跃间断点

C.第二类间断点

D.可去间断点

16.【答案】D 。解析：，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。

17.设，则x=0是函数f(x)的（）. A.可去间断点

B.无穷间断点

C.连续点

D.跳跃间断点

17．【答案】D

18.设函数f (x )在x =0处连续，且220)(lim n

n f n →=2，则（） A.f (0)=1且f ˊ(0)=2 B. f (0)=0且f ˊ(0)=2 C. f (0)=1且f +ˊ(0)=2

D. f (0)=0且f +ˊ(0)=2

18.【答案】B ．【解析】2'2'200()2()

lim lim (0)2,(0)02n n f n nf n f f n n

→→====，答案选B 。 19.设函数f （x ）=x 2

+t ，且2

lim ()1x f x →=，则t=（）

A.-3

B.-1

C.1

D.3

19.【答案】A ．【解析】2

lim ()1,(2)1,(2)41,3x f x f f t t →===+==-。

20.计算极限：0

lim →x (l+ 2x)x 1

，正确的结果为( )。

A ．0

B.1

C.e

D.e 2

20.【答案】D.解析：2

210

])21[(lim e x x x =+→.故选择D. 21．x=O 为函数f(x)=sinx.sin x

的（） A.可去间断点

B ．跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

???

??--+∞→b ax x x x 12lim 2R ∈22222lim lim 11x x x x ax ax bx b

ax b x x →∞→∞??------= ?++??

2,2a a b =--=0, 2.b a b =-=0sin lim

1x x

→=

Q 0()0 0x f x x ≠=?=?

21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01

sin

sin lim 0

=?→x

x x . 但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sin

的可去间断点. 22.设函数f （x ）=

x 21-e asinx

x 0

x =≠在x=0处连续，则常数a 的值为( )。 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

22.【答案】B.解析：由题设可知1x 21

-e lim asinx 0=→x .当0→x 时，有0sin →x a ，则

12sin sin 1lim sin 0=?-→x

a x a e x a x ，即满足12=a ，所以2=a .故选择B. 23.已知f （x ）=1

sin x e o

t dt -?

，g （x ）=33x +4

x ，则当x →0时，f （x ）是g （x ）的（）

A.高阶无穷小

B.低阶无穷小

C.等价无穷小

D.同阶但非等价无穷小

23.【答案】C 。解析：()()()()()

000'lim 0,lim lim 'x x x f x f x f x g x g x →→→=∴=Q ，()()2

'sin 1x x f x e e =-，

()2

223

230

0sin 1lim

lim 1x x

x x e e x e x x x x

→→-==++，()f x ∴是g(x)的等价无穷小。 24.如果222lim 2

x x ax b

x x →++--=2，则ab 的值为（）

A ．2

B ．-4

C ．8

D ．-16

24.【答案】D 。解析：222lim 2

x x ax b

x x →++--= 2

2lim (2)(1)x x ax b x x →++-+因为x 趋向于2，所以要消去x-2，

即2x ax b ++可分解为(2)()x x c -+的格式即

2lim (2)(1)x x ax b x x →++-+=2lim 21

x x c x →+=+，所以c=4，所以2(2)(4)28x x x x -+=+-，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。

25．设f (x )在x =0的某个邻域内连续，f (0)=0，0

()lim

12sin

x f x x

→=，则f (x )在x =0处（）

A ．可导

B ．可导且f '(0)≠0

C ．取得极大值

D ．取得极小值

25.【答案】D 。解析：()f x 在x =0的某个邻域内连续，所以'

()f x 存在，由

''''00002()()()()lim lim lim 1lim 11sin cos 2sin 4sin cos 2222x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→===?=???

得'

lim ()0()=10x f x f x →=>且，所以x=0为极小值。

27、关于曲线y=

的渐近线的正确结论是（） A.没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B.x=0为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线

D.只有水平渐近线

27.【答案】C.

28.下列说法正确的是（）

A.若f(x)在x=x 0连续，则f(x)在x= x 0可导

B.若f(x)在x=x 0不可导，则f(x)在x=x 0不连续

C.若f(x)在x=x 0不可微，则f(x)在x=x 0极限不存在

D.若f(x)在x=x 0不连续，则f(x)在x=x 0不可导

28.【答案】D.解析：例如函数f(x)=∣x ∣在x=0处连续，但不可导，所以排除A 、B 、C ；函数若f(x)在x=x 0可导，则f(x)在x= x 0连续，根据逆否命题与其等价，可知D 正确。

29.当x→0时，（）是无穷小。 A ．

sin x

B. 2x -

D. 1cos x -

29.【答案】D.解析：当0x →时，1cos 0x -→，所以当0x →时，1cos x -是无穷小。 30.极限0

lim sin

x x x

→= （） A.0

B.1

C.2

D.-1

30.【答案】A.解析：0

lim sin

0x x x

→=。 31.下列变量中，无穷小量的是（） A.ln 1

x （x →0+

）

B.lnx(x →1)

C .cosx(x →0)

x x --

31.【答案】B.解析：0

lim ln x x

→=∞所以A 错误；1limln 0x x →=B 正确；0limcos 1x x →=C 错误；

lim

x x x →-=-故D 错误. 32.曲线1

y x =

的渐近线情况是（）。 A.只有水平渐近线

B.只有垂直渐近线

C.既有水平渐近线又有垂直渐近线

D.既无水平渐近线又无垂直渐近线

32.【答案】C.解析：方法一：画出函数图像可知。方法二：1lim 0x x

→∞

=，01

lim x x →=∞，所以既

有水平渐近线，又有垂直渐近线。

33.设1

2--=x x y ，则1=x 为y 的（）

A.连续点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.可去间断点

33.【答案】D 。解析：211

lim 21

x x x →-=-，在1=x 处左右极限存在，但是没有定义，所以是可去

间断点。

二、填空题

1.计算

sin tan cos x

xdx dx x

==?

?_____. 1.【答案】

ln 22

。中公教育解析：根据凑微分法：44440

0sin 1

tan cos ln cos ln 2cos cos 2

x xdx dx d x x

x π

π==-=-=?

?。 2. .

+=2lim 1-1x

x x →∞?? ??

2.【答案】4.解析：

3.极限=________.

3.【答案】.解析：.

________. 4.【答案】2。解析：

5. =________. 5.【答案】3.

解析：31

lim ln(3)n n n n

n e

→∞+=，根据洛必达法则，31

lim ln(3)n n n n

→∞+=

63(ln3)3(ln3)3(ln3)33ln363(ln3)lim

lim

ln363(ln3)63(ln3)3(ln3)333ln3

3n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

e e e

e →∞→∞→∞→∞

→∞+++++++======。

6.函数f (x )=e 2,0

,0x x k x ?+≠?=?

在x =0处连续，则k =________.

6.【答案】3.【解析】根据连续的定义，0e 23k +==。

7.2lim 1n

n n -→∞

+ ???

=________. 7.【答案】2e -。【解析】根据两个重要极限2

2222lim 1lim{1}n n

n n e n n ---→∞

→∞

????

+=+= ? ???

。 8.斜渐近线方程________.

8.【答案】2-=x y .

解析：根据题意可假设斜渐近线方程为b kx y +=，则有

++=-12lim 1lim 1-1x

x x x x x x x x →∞→∞?? ???

? ??? ?

-+e ===e e -21

1lim 11lim 1x

x x x x x →∞→∞

?? ?????

???

1lim 1x

x x →∞

- ???

1e 1

1111lim 1lim 1x

x x x x x ---→∞→∞????

??-=-==?? ? ?????????e e 22123

lim 1x x x x →+-=-22123lim 1

x x x x →+-=-213

lim 1=++→x x x n

n n n 3lim 3+∞

→()3

223

x f x x x =+-

32lim )(lim 22-+==∞→∞→x x x x x f k x x =1，则23

2lim )(lim 23

-=--+=-=∞→∞→x x x x x x f b x x ，所以斜渐近

线方程为2-=x y .

9.极限0tan 2lim

3x x

→的值是______。

9.【答案】2

。【解析】根据洛必达法则，200tan 22sec 22lim lim 333x x x x x →→==。

10.函数f (x )=e 2,0

,0x x k x ?+≠?=?

在x =0处连续，则k =______。

10.【答案】3.【解析】根据连续的定义，0e 23k +==。 11.()10

lim 12x

x x →-= ______。

11.【答案】2

e -。解析：()

()()22

2220

00lim 12lim 12lim 12x x x

x x x x x x e -----→→→????-=+-=+-=????????????????

。

12.n = ______。

12.【答案】2。解析：放缩法，

1 (2)

+=++<++==

2n =，同理，放小之后也是2。 13.当0→x 时，若α=________，则 2

x α与1cos -x 是等价无穷小。

13.【答案】1

-。解析：2000221lim

1,lim lim 1,cos 1sin cos 2x x x x x x x x αααα→→→====----。 14.设)(0x f '存在，)(0x f =0，则x

x x f x x -→0)

(lim

=________。

14.【答案】'

0()f x -。解析：00''00

()()

lim lim ()1x x x x f x f x f x x x →→==---

三、不定项选择题

1．当x →0时，下列可与x 进行等价无穷小替换的有（）

A.sinx

B.arctanx

C.cosx

D.ln(1+x)

1.【答案】ABD.

四、判断题

1.当0→x 时，）（x x cos 1sin -是3

x 的等价无穷小。 1.【答案】×.解析：

3220000sin (1cos )sin (1cos )sin 1cos lim

lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---??

=?=?????

因为21sin ,1cos 2x x x x -::

，所以30sin (1cos )11lim 122

x x x x →-=?=。

2.极限2

21lim e x x

x =-→）（。

2.【答案】×.解析：2

2200

lim 12lim 12x

x x x x e ---→→??-=-=????

（）（）. 3.已知x

ax x x -++→16

lim 21=5，则a 的值为－7。

3.【答案】√.解析：因为x

ax x x -++→16lim 21，则可设2

6(1)()x ax x b x ++=--，所以15b -=，

所以6b =，则(1)7a b =-+=-.

五、解答题

1.求极限： 1.【答案】

13lim(

)11

x x x →---

解析：

2.计算

2.【答案】。解析：

3.求极限。

3.【答案】12

.解析：2

22'20

43000sin 2sin()(sin )2sin(),lim lim 4x x x x tdt x x tdt x x x x →→==??，

22002cos()cos()1

lim lim 422

x x x x x x →→===。 4.设函数3

()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x kx =+++=,若f(x)与g(x)在x →0是等价无穷小求a,b,k 的值？

4.【答案】1

1,,23

a b k =-=-=

。解析：

0cos 3sin 1(1)

lim 1,26,23

x a

bx x bx x x a k k →-

--+=-==。 5.用δε-证明(

)

2106lim 2

=+-→x x x

()()()()()()()

()

23221112

121

32lim lim lim 1111112lim 1.

1x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x →→→→-++-??-== ?---++-++??+=

=++3lim (

)1x

x x x →+∞

++2

e 2

ln(1)21

32lim (

)lim (1)lim 11x x x

x x x x x e e x x ++→+∞→+∞→+∞+=+==++().

f ξξ=4

sin lim

x tdt x x ?→

5.【答案】证明过程如下。解析：证明：2261026824x x x x x x -+-=-+=--，对任意正数，0,ε>=min(

,1),2.3

x ε

σσ-<取则当时由于4=22x x ---223x ≤-+<,所以

243,3

x x ε

ε--

。解析： ()1()

'(),'(1).1(1).

11111

,lim lim lim 1lim 1n n

n n n n n n f x nx k f n y n x n n x f x n n n n e ---→∞→∞→∞→∞===∴-=---??????===-=-= ? ? ???????

7.求极限)1(1

lim 0

---→x

x x e x x e 7.【答案】1

2。解析：根据洛必达法000111(1)122lim lim lim x x x x x x x x

x x x e x e e x e xe e xe e

→→→---===-+-+。

求极限的方法总结

学号：0 学年论文求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日

摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨作者：张彩霞来源：《科技创新导报》2011年第12期摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。关键词:数学分析极限概念教学中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02 《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。 1 正常极限概念 1.1 数列极限概念数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。首先观察数列:: 特征:当无限增大时,无限接近于此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。 “无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。求225 lim 3 x x x →+-的极限解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２．求3 x →

33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在，则此极限值就称函数f(x) () 'f x。即

高等数学中极限问题的解法详析

数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

数学分析求极限的方法

求极限的方法具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为：令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

数学分析中求极限的方法总结

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数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11 =112 2- ? 111=2323-?

因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。例4. 3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形：（1，

数学分析3.4两个重要的极限

第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题) 4 两个重要的极限一、证明：=1. 证：∵sinx

∴=e. 注：e的另一种形式：=e. 证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e. 例3：求. 解：==e2. 例4：求. 解：==. 例5：求. 解：<→e(n→∞)，又当n>1时有 =≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e.

习题 1、求下列极限： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2； (2)==··=0； (3)== -1； (4)=·=1； (5)=== ====； (6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0， ∴===1； (7)==1； (8)==·2sin a =··2sin a= sin2a； (9)==8=8； (10)=== 2、求下列极限：

数学分析中求极限的方法总结

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数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

数学分析求极限的方法

求极限的方法具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为：令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x

数学分析-数列极限

第二章数列极限 §1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：

对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称该数为收敛数列，a 为它的极限。例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．

数学分析中求极限的方法总结

精心整理数学分析中求极限的方法总结 1利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1 （1 （2 （3 （4（5 例1.例2.例3.已知()11 1 1223 1n x n n = +++ ??-?解：观察 11=1122-?1 1=232-?因此得到()11 11223 1n x n n = +++ ??-?

所以1lim lim 11 n n n x n →∞→∞?? =-= ??? 2利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x) 如果存在，即的导数。例 3（2 例5：x x x x 10 ) 1() 21( lim +-→ 解：为了利用极限e x x x =+→10 )1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外

的指数互为倒数进行配平。 x x x x 1 0) 1() 21(lim +-→=x x x x 1 0131(lim +-+→ =313 310]131[(lim -+--+→=+-+ e x x x x x x 例6：20cos 1lim x x x -→ 解：将分母变形后再化成“0/0”型所以例7:求 4例8：x 解:因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此例8：求x x sin ln lim 2 π → 解：复合函数x sin ln 在2 π = x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有2sin ln sin ln lim 2 π π =→ x x

=1 ln 2 sin lim =π =0 5利用两个准则求极限。（1）函数极限的迫敛性：若一正整数N,当n>N 时，有n n n x y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有lim n x y a →∞=。利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z ，使得n n n y x z ≤≤。例9（2）例12)2,n 。试证数列解:由1x 即数列{令A x n n =∞ →lim 对n n x x +=+61两边取极限，有A 2 60A -A -=解得A=3,或2A =-。因为...)2,1(0 =>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞ = 6利用洛必达法则求未定式的极限定义6.1：若当x a →（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限

浅谈数学分析中求极限的常用方法.

浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysis

摘要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。因此要学好数学分析，就要学好极限。解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。因为极限贯穿于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。关键词：数列极限；函数极限；方法

Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysis Abstract Limit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progression. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis.

数学分析下——二元函数的极限课后习题.doc

第二节二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）：（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ；（2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2 x 2+y 2 ；（3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ；（4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ；（5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ；（6）(,)(0,0) lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ；（7）(,)(0,0) lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ；（2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1 y ；（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ；（4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ；（5）f(x,y)=ysin 1x ；（6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ；（7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有lim x a f(x,y)= (y) 则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义：（1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ；（2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限：（1）(x,y)(,)lim x 2+y 2 x 4+y 4 ；（2）(x,y)(,) lim (x 2+y 2)e -(x+y)；（3） (x,y) ( ,) lim (1+1 xy )xsiny ；（4） (x,y) ( ,0) lim 211+ x x y x . 8、试作一函数f(x,y)使当x + ,y + 时，（1）两个累次极限存在而重极限不存在；（2）两个累次极限不存在而重极限存在；（3）重极限与累次极限都不存在；（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.

数学分析中求极限的方法汇总

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数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 则：000 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x g x g x →→→A ==B （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3 x x x x x x →→→→+= + 225 923+==-- 例2. 求3 12 lim 3x x x →+--的极限解：分子分母同时乘以x 12++

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 则：000 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x g x g x →→→A ==B （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3 x x x x x x →→→→+= + 225 923+==-- 例2. 求3 12 x x →+-的极限解：分子分母同时乘以x 12++

()( ) 3312 12 12312x x x x x x x →→+++-=-++ ()( )3 312 x x x →=-++ 14 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()11 11223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11=112 2- ? 111 =2323 -? ()()111 =n 1n n-1n --? 因此得到 ()1111223 1n x n n =+++ ??-? 1111111 1223311n n n =-+-+ - +--- 11n =- 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0 x 附近有定义， χ??，则 ()() 0y f x x f x ?=+?- 如果 ()()000lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，

《数学分析》中极限问题的浅析

《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。一求数列极限（一）利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1] 求极限，这是一种简单而常用的方法。例1、证明（1） (a > 0) （2）证明：（1）当a = 1时，等式显然成立。当a >1时，令则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n < h n = 0 即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时： lim ∞→n 1=n a lim ∞→n 1=n n n n h a +=1 (h n > 0) n n n n nh h h n n >++- 22 )1(n a 由迫敛性定理 lim ∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n = n a 11 1 = 1

（2）设 n = (1 + h n )n = 1 + nh n + > 由迫敛性定理得 h n = 0 从而：例：求极限即：e n 由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2] ，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。 n n h n +=1其中h n > 0 则 2≥n n n n h h n n ++- 22 )1(2 2 )1(n h n n -即： 0 < h n < )2(1 2 ≥-n n lim ∞ →n lim ∞→n =n n lim ∞→n (1 + h n ) = 1 lim +→0λ??? ? +++ ? ?λλλn e e e n 21时：解：当0>λλ λλλn n n ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ? ?????++≤ 1令 + →0λlim +→0n n n e e e e =??? ?+++ ??λλλλ 21lim +→0n λn e e n n =??? ? ??++λλ 1 λ {}，，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >?>ε{}为极限。不以。则而a a a a n N 01ε≥-

数学分析中极限的求法总结

数学分析中极限的求法总结 1.1 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。例：()0 lim x x f x A →=的ε-δ 定义是指：?ε＞0， ?δ=δ(0x ，ε)＞0，0＜|x-0x | ＜δ?|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对0x 的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A ｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：｜x+a ｜=|(x-0x )+(0x +a)|≤|x-0x |+|0x +a|＜｜0x +a ｜+δ1 域|x+a|=|(x-0x )+(0x +a)|≥|0x +a|-|x-0x |＞|0x +a|-δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-0x |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε. 例：设lim n n x a →∞=则有12 ...lim n n x x x a n →∞++=. 证明：因为lim n n x a →∞=,对110()N N εε?>?=，,当1n N >时， -2 n x a ε ∣∣<于是当1n N >时， 1212......n n x x x x x x na a n n +++∣+++-∣∣-∣= 0ε<<1 其中112N A x a x a x =∣-∣+∣-∣+∣-α∣是一个定数,再由 2 A n ε <，解得2A n ε> ,故取12max ,A N N ε?? ??=???????? 12...+=22n x x x n N n εεε+++>-α<当时，。 1.2 利用极限的四则运算性质求极限定理[1]：若极限0 lim ()x x f x →和0 lim ()x x g x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ?当 0x x →时也存在且 ①[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=± ②[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→?=?

巧用定积分求极限(数学分析)

定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“0 ”型的极限和 “∞ ∞ ”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2, ,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积 ()i i f x ξ?(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式