《离散数学》答案精修订
《离散数学》答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
3. 请给出递归关系的思想，并解答下述问题：某人举步上楼梯，每步跨1个台阶或2个台阶，设上n 个台阶的不同方式数为a n . 求出关于a n 的初始条件以及递归关系.
解：设有n 阶台阶,既然一次只能走一步或2步或3步,那么假设现在仅剩下最后一步要走,有三种情况：一 只需要走一步,这时已经走了（n －1）阶,走法与走n －1阶相同,有f （n －1）阶走法； 二 只需要走两步,同上分析有f （n －2）； ...
4. 请给出图的定义，并证明：有n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 是偶数. 证：
用n 个节点代表n 个人，两个人是朋友则在相应的两个节点之间连一条无向边，于是得到一个n 阶图,其中每个节点的度数均为3.
由于每个节点度数为3,根据定理知
,
其中m 为G 的边数.于是n 必为偶数.证毕. 5. 请给出无向树的定义，并解答下列问题：
设G 是一棵无向树且有3个3度节点，1个2度节点，其余均为1度节点.
(1)求出该无向树共有多少个节
点.
(2)画出两棵不同构的满足上述
要求的无向树..
解：（1）设该无向树G 有χ个叶节点，于是G 共有2+3+χ=χ+5个节点。根据无向树的性质知，G 有χ+4条便，由握手定理有
++χ.1=2（χ+4），
于是χ=9，进而G 有9+5=14个节点。
图（1）（2）是两棵不同构的满足上述要求的无向树。
二、 大作业要求
大作业共需要完成三道题： 第1题必做，满分30分；
第2-3题选作一题，满分30分； 第4-5题选作一题，满分40分.
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《离散数学》教案 第一章集合与关系 集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普 遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的 一个分支。 G. Cantor( 康脱 ) 是作为数学分支的集合论的奠基人。1870 年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。 1874 年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立 一一对应的有名的证明。 1878 年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然 而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利 - 福尔蒂的最大序数悖论。 1901 年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932 年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908 年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称 为策梅罗 - 弗兰克尔集合论（ ZF），其中包括 1904 年策梅罗引入的选择公理。另外一种系 统是冯·诺伊曼 - 伯奈斯 - 哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗 - 弗兰克尔集合论与选择公理一起称为 ZFC系统。 一、学习目的与要求 本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。 通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运 算方法，为学习后续章节打下良好基础。 二、知识点 1．集合的基本概念与表示方法； 2．集合的运算； 3．序偶与笛卡尔积； 4．关系及其表示、关系矩阵、关系图； 5．关系的性质，符合关系、逆关系； 6．关系的闭包运算； 7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系； 8．序关系、偏序集、哈斯图。
离散数学考试题详细答案
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（PQ）(PRS) b)我今天进城，除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为：Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不是有理数 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b. 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。 （5分） (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR）(PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR 2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a)xy(x+y=4) b)yx (x+y=4) a) T b) F 3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z)) x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→(F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
离散数学
离散数学试题（A 卷答案） 一、（10分） （1）证明(P →Q )∧(Q →R )?(P →R ) （2）求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 解：（1）因为((P →Q )∧(Q →R ))→(P →R ) ??((?P ∨Q )∧(?Q ∨R ))∨(?P ∨R ) ?(P ∧?Q )∨(Q ∧?R )∨?P ∨R ?(P ∧?Q )∨((Q ∨?P ∨R )∧(?R ∨?P ∨R )) ?(P ∧?Q )∨(Q ∨?P ∨R ) ?(P ∨Q ∨?P ∨R )∧(?Q ∨Q ∨?P ∨R ) ?T 所以，(P →Q )∧(Q →R )?(P →R )。 （2）(P ∨Q )→R ??(P ∨Q )∨R ?(?P ∧?Q )∨R ?(?P ∨(Q ∧?Q )∨R )∧((P ∧?P )∨?Q ∨R ) ?(?P ∨Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R )∧(P ∨?Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R ) ?2M ∧4M ∧6M ?0m ∨1m ∨3m ∨5m 所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。 二、（10分）分别找出使公式?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y )))为真的解释和为假的解释。 解：设论域为{1，2}。 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝F ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝F ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((F ∧F)∨(F ∧F)))∧(T →((F ∧F)∨(F ∧F))) ?(T →F)∧(T →F) ?F 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝T ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝T ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((T ∧T)∨(T ∧T)))∧(T →((T ∧T)∨(T ∧T))) ?(T →T)∧(T →T) ?T
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
离散数学
离散数学 作业要求： （1）禁止用附件提交作业。附件提交的作业计0分。 （2）作业按题号顺序作答，乱序、不写题号等视情况扣分。 （3）选择题直接提交答案，不要抄题。 （4）卷面整洁，文字、符号以及图等要清晰可辨。 一、单选题（每题2分，共15小题） 1.集合}}}{{},{,{c b a A =，则下列不属于A 的子集的是（ ） A.}}{{a B.}}{{b C.}}}{{{c D.}}{,{b a 2.设全集{1,2,...,9,10}U =的子集为A={偶数}，B={奇数}，则下列选项正确的是（ ） A.A B =? B.A B =? C.A B U = D. 以上答案都不对 3.已知集合}4,3,2,1{=A ， },,{c b a B =， }8,6,4,2,1{=C ,定义A 到B 的关系c)}(4,b),(3,a),(2,a),{(1,1=ρ，B 到C 的关系(c,1)}(b,6),{(a,4),2=ρ，则下列属于21ρρ的是（ ） A.)8,1( B.)4,1( C.)6,2( D.)1,3( 4.集合}3,2,1{=A 上的关系)}3,1(),1,2(),2,1{(=R ，则R 具有（ ）
A.对称性 B.自反性 C.可传递性 D.以上说法都不对 5.集合{1,2,3}A =上的下列关系，是由A 到A 的函数的是（ ） A.{(1,3),(2,3),(3,1)}f = B.{(1,2),(3,1)}g = C.{(1,1),(2,1),(3,2),(1,3)}h = D.{(1,3),(2,1),(2,2)}I = 6.集合},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射中，是单射的是（ ） A.}b)b)(3,a)(2,(1,{ B.}b)b)(3,a)(1,(1,{ C.}c)b)(3,a)(2,(1,{ D.}b)b)(3,b)(2,(1,{ 7. 下面各集合都是N 的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封闭的。 A.}16|{整除的幂可以被x x B.}5|{互质与x x C.}30|{的因子是x x D.}30|{ 学习目标: 1.深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、(最大)相容类、偏序关系、极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元、全序关系、良序关系等概念; 2.掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律; 3.掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质; 4.掌握关系的矩阵表示与关系图; 5.深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性与传递性,掌握其判别方法; 6.掌握集合的覆盖与划分的联系与区别; 7.掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元。 主要内容: 1.集合的基本概念及其运算 2.序偶与笛卡尔积 3.关系及其表示 4.关系的性质及其判定方法 5.复合关系与逆关系 6.关系的闭包运算 7.等价关系与相容关系 8.偏序关系 重点: 1.关系的性质及其判别; 2.关系的复合运算及其性质; 3.等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系; 4.偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点: 1.关系的传递性及其判别; 2.等价关系的特性; 3.偏序关系的哈斯图的画法;偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段: 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点与难点的内容,并通过大量的练习使同学们巩固与掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题: 习题3、1:4,6;习题3、2:3(8),4(12),6(m);习题3、4:1 (2)、(4),3;习题3、5:1,4;习题3、6:2,5,6;习题3、7:2,5,6;习题3、8:1(1)-(6);习题3、9:3(2)、(4),4(3);习题3、10:1 ,4,5。 《离散数学》+答案 一、选择或填空: 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6） 44 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 学习目标： 1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念； 2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律； 3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质； 4．掌握关系的矩阵表示和关系图； 5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法； 6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别； 7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。 主要内容： 1．集合的基本概念及其运算 2．序偶与笛卡尔积 3．关系及其表示 4．关系的性质及其判定方法 5．复合关系和逆关系 6．关系的闭包运算 7．等价关系与相容关系 8．偏序关系 重点： 1．关系的性质及其判别； 2．关系的复合运算及其性质； 3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系； 4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点： 1．关系的传递性及其判别； 2．等价关系的特性； 3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段： 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题： 习题 3.1：4，6；习题 3.2：3（8），4（12），6（m ）；习题 3.4：1 （2）、 (4)，3；习题 3.5：1，4；习题 3.6：2，5，6；习题 3.7：2，5，6；习题 3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。 3.1 集合的基本概念 集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。 集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。若A 是集合，a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作。若组成集合的元素个数是有限的，则称该集合为有限集(Finite Set)，否则称为无限集(Infinite Set)。 常见集合专用字符的约定： N —自然数集合(非负整数 集) I (或Z )—整数集合(I +，I -) Q —有理数集合(Q +，Q -) R —实数集合(R +，R -) F —分数集合(F +，F -) 脚标+和-是对正、负的区分 C —复数集合 P —素数集合 O —奇数集合 E —偶数集合 幂集 定义 3.1.1 对于每一个集合A ，由A 的所有子集组成的集合，称为集合A 的幂集(Power Set)，记为 ()P A 或2A ．即(){}P A B B A =?。 例如：{,,}A a b c =, (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b b c a c a b c φ=。 定理3.1.1 如果有限集A 有n 个元素，则其幂集()P A 有2n 个元素。 证明 A 的所有由k 个元素组成的子集数为从n 个元素中取k 个的组合数。 (1)(2)(1)! k n n n n n k C k ---+= L 另外，因A φ?，故()P A 的元素个数N 可表示为 1 201n k n k n n n n n k N C C C C C ==++++++=∑L L 又因 0()n n k k n k n k x y C x y -=+= ∑ 令 1x y == 得 02n n k n k C ==∑ 故()P A 的元素个数是2n 。 人们常常给有限集A 的子集编码，用以表示A 的幂集的各个元素。具体方法是： 设12{,,,}n A a a a =L ，则A 子集B 按照含i a 记1、不含i a 记0(1,2,,)i n =L 的规定 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 8．图的补图为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ?； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A B C ?；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。 A．{4，3}Φ 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。 A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） Rο是自反的； A．若R，S 是自反的，则S Rο是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S Rο是对称的； C．若R，S 是对称的，则S Rο是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s t s p A R= ∧ =则P（A）/ R=（） < > ∈ s (| || |} {t ) , ( | , A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) = 《离散数学》教案 课目：第一章命题逻辑 教师：熊建英 学时： 12课时 Ⅰ教学提要 一、教学对象（人数） 学生：信息安全专业本科二年级学生50人 二、教学目标（任务） 各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握) 三、教学要求 （一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。 （二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。 四、教官分工 主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。 五、本章重点 1、利用联接词构造复合命题公式 2、真值表的构建 3、等值演算 4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法 5、推理证明 六、本章难点 1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断 2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式 3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式 七、教学方法 采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。 八、课时分配 1.1 命题及联接词2课时； 1.2 命题公式及其赋值2课时； 1.3 等值式2课时； 1.4 析取范式与合取范式2课时； 1.5 推理理论与消解法2课时； 1.6 命题逻辑应用案例2课时； 九、场地器材 多媒体教室 十、参考书目 1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。 2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。 3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。 Ⅱ教学进程 1.1 命题及联接词（2课时） 一、教学内容 1、命题的概念表示与分类 2、五种基本的联接词的逻辑关系 3、复合命题的符号化 4、复合命题的真值判断 二、课程时间安排 1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟） 2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟） 3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟） 4、联结词与复合命题（35分钟） 5、本次课小结（10分钟） 三、教学实施 （一）创设意境、导入课程（10分钟） 目的 体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。 1、从生活应用中理解逻辑推理作用，及离散数学学习意义； 如：犯罪推理、电路设计、人事安排的最优方案、网络中最优路径等； (1)逻辑推理问题范例（PPT展示一个犯罪推理案例） (2)离散数学是一门可以对逻辑推理规律建立相应的符号运算系统，解决此类问题的科学。 2、离散数学与其他专业课程的联系； (1) 涉及多门计算机专业中很多专业课程，如：编程语言、数据结构、操作系统、数据数据加密。 02任务_000 1 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A. {{1}, {a}} B. {,{1}, {a}} C. {{1}, {a}, {1, a }} D. {,{1}, {a}, {1, a }} 2. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={ 5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包． A. 自反 B. 传递 C. 对称 D. 自反和传递 6. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A. A B，且A B B. B A，且A B C. A B，且A B D. A B，且A B 7. 设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A上的整除关系，则偏序集 2017秋课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1设集合A={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题）[A] A．1∈A；B．2∈A；C．3∈A；D．{3，2,1}?A。 1-2A,B,C为任意集合，则他们的共同子集是（选择题）[D] A．C；B．A；C．B；D．?。 1-3设S={N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1）N?Q，Q∈S，则N?S，［错］（2）-1∈Z，Z∈S，则-1∈S。［错］ 1-4设集合B={4，3}∩?，C={4，3}∩{?}，D={3，4，?}，E={x│x∈R并且x2-7x+12=0}，F={4，?，3，3}，试问：集合B与那个集合之间可用等号表示（选择题）[A] A.C; B.D; C.E; D. F. 1-5用列元法表示下列集合：A={x│x∈N且3－x〈3}（选择题）[D] A.N; B.Z; C.Q; D.Z+ 1-6为何说集合的确定具有任意性?(简答题) 答：按研究的问题来确定集合的元素。我们所要研究的问题当然是随意的呗。之所以，集合的定义（就是集合成分的确定）当然带有任意性哪。 第二章二元关系 2-1设A={1，2，3}，A上的关系R={〈1，2〉，〈2，1〉}∪IA， 试求：（综合题） (1)domR=?;(2)ranR=?;(3)R的性质。 （4）商集A/R=？（5）A的划分∏=？（6）合成运算（R。R）=？ 答：R={<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}； (3)R的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R不是等价关系。 （4）商集A/R={{1，2，3}，{2，3}，{3}}。由于R不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。这是不允许的。请看下面的划分问题。 （5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢！！！ 所以，关系R必须是等价关系。至于作业中，此两题应说：因为R不是等价关系，此题无解。 2-2设R是正整数集合上的关系，由方程x+3y=12决定，即 R={〈x，y〉│x，y∈Z+且x+3y=12}， 试给出dom（R。R）。（选择题）[B] A.3； B.{3}； C.〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P离散数学教案
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