圆锥曲线难题专项训练

圆锥曲线难题专项训练

1、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴

弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直

线分别交轴于点和点。

（1）试用的代数式分别表示和；

（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与

和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。

（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不

同层次的评分）

2、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，

，满足：．直线，分别交直线于，两点．

（1）求曲线弧的方程；

（2）求的最小值（用表示）；

（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

3、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对

应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；

(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若

存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则

使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断.(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．

4、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. (i)证明：MD⊥ME;

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得

=?

请说明理由。

5、

（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为

，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：

；

(3)

6、已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若

，为坐标原点，求直线的斜率；

（Ⅲ）过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以

为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

※(重点题多次出现)7、给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C

的“伴椭圆”，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为；

（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；

（2）、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。

（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证：。

8、如图所示，椭圆C：的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线：＝4与轴交

于点N，直线AF与BN交于点M。

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

10、 (本小题满分14分)

已知点

是椭圆的右焦点，

点、分别是轴、

轴上的动点，且满足

．若点

满足．

（1

）求点

的轨迹的方程；

（2

）设过点

任作一直线与点

的轨迹交于、

两点，直线、与直线

分别交于点、（为

坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．12、（本小题满分15分）

如图，四边形

为矩形，点

的坐标分别为、

，点在

上，坐标为，椭

圆

分别以、为长、短半轴，

是椭圆在矩形内部的椭圆弧．已知直线与椭圆弧相切，且

与

相交于点．

（Ⅰ）当

时，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）圆

在矩形内部，且与和线段EA

都相切，若直线

将矩形分成面积相等的两部分，求圆M面积的最

大值．

13、已知抛物线L

的方程为

，直线截抛物线L 所得弦长为．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直角三角形的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点的横坐

标为1，过点分别作抛物线L的切线，两切线相交于点，直线与

轴交于点，当直线的斜率在上变化时，直线斜率是否存

在最大值，若存在，求其最大值和直线的方程；若不存在，请说明理由．

14、在矩形中，已知，，E、F为的两个三等分

点，和交于点，的外接圆为⊙．以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求以F、E为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M

恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

15、设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴

负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切．过定点的

直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若实数

满足，求的取值范围．

16、如图，在平面直角坐标系中，M、N

分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两

点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

17

、已知椭圆

的离心率为

，右焦点

也是抛物线的焦点。（1）求椭圆方

程；（2

）若直线与

相交于、

两点，①若,

求直线

的方程；②（选作）若动点满足

，问动点

的轨迹能否与椭圆

存在公共点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

18

、已知抛物线方程

，点

为其焦点，点

在抛物线

的内部，设点

是抛物线上的任

意一点，的最小值为4.

（1

）求抛物线的方程；

（2

）过点

作直线

与抛物线

交于不同两点、

，与轴交于点

，且

，试判断是

否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.

19

、已知双曲线

的左、右顶点分别为

，动直线与圆相切，且与双曲线左、

右两支的交点分别为.

（1

）求

的取值范围，并求的最小值；

（2

）记直线

的斜率为，直线

的斜率为

，那么是定值吗？证明你

的结论.

20、某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关

于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草（如图），并以该直角三角形斜边开辟观赏小道

（其中的一条为线段）.

某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点的距离和为4（单位：百米），且椭圆上点到焦点的最近距离为1（单位：百米）.

（Ⅰ）以椭圆中心为原点建立如图的坐标系，求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）请计算观赏小道的长度（不计小道宽度）的最大值.

21

、已知双曲线

的左、右顶点分别为

，动直线与圆相切，且与双曲线左、

右两支的交点分别为.

（1

）求

的取值范围，并求的最小值；

（2

）记直线

的斜率为，直线

的斜率为，那么是定值吗？证明你

的结论.

22、已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足

（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由.

23、已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的

点到点的最大距离为3.

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 设过点的直线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率的取值范围.

24、已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆

心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；

（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．

25、如图，在,已知A(-,0), B(,0), CD AB于D, 的垂心为H，且

（Ⅰ）求点H的轨迹方程;

（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在F,H之间），且满足，求的取值范围.

26、设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于

两点.

（1）确定实数的取值范围，并求直线的方程；

（2）试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由.

27、已知椭圆的离心率为，且经过点

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率满足

（定值），求直线的斜率。

28、设点M（x，y）到直线x＝4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF＝90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；

（Ⅲ）设A（2，0），B（0，）是曲线C的两个顶点，直线y＝mx（m>0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．求四边形AEBF面积的最大值。

29、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2．F2也是抛物线C2：

的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且．

(Ⅰ)求C1的方程；

(Ⅱ)平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若2=0，求直线l的方程．

30、如图，已知抛物线与圆相交于、、、

四个点。

（I）求得取值范围；

（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标

31、设椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

32、在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于A、B两点.

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值;

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线，使得被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程;若不存在，说明理由.

（此题不要求在答题卡上画图）

33、已知F1、F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是．

参考答案

一、计算题

1、解．（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以

则……………. 2分[来源:学科网]

令则……………. 4分

同理可得：，……………. 6分

（3）第一层次：

①点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交

轴于点和点，则。……………. 16分

证明如下：由（1）知：

在圆C：上，，

则

是与和点位置无关的定值

②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线

分别交轴于点和点，则。……………. 16分

是与和点位置无关的定值

第二层次：

点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分

别交轴于点和点，则。…………. 18分

证明如下：由（1）知：，

在抛物线C：上，

则

是与和点位置无关的定值

2、解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，

. ……………………………………………1分

∴的方程为. ……………………………………………3分

（注：不写区间“”扣1分）

（2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，

则有，即……①………………………………4分

又，，从而直线的方程为

AP：； BP：……………5分令得，的纵坐标分别为

；.

∴……②………………………………………7分

将①代入②，得.

∴.

当且仅当，即时，取等号．

即的最小值是. ……………………………………………9分

解法2：设，则由三点共线，得．．①

同理，由三点共线得：…②…………………5分

由①3②得：.

由，代入上式，.

即 . …………………………………………………………7分

，

当且仅当，即时，取等号．

即的最小值是 . ………………………………………………9分

（3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有

，…………………………………………………10分

从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，

；，……………………………11分

于是有，而，矛盾.………………………13分

∴不存在点Ｐ，使为正三角形．……………………………………………14分

注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.

3、解(1) 设动点为， 1分

依据题意，有

，

化简得． 3分

因此，动点P所在曲线C的方程是：．…………4分

(2) 点F在以MN为直径的圆的外部．

理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：

，如图所示． 5分

联立方程组，可化为，

则点的坐标满足． 7分

又、，可得点、．

点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．

因，，则=．9分

于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部． 10分

(3)依据(2)可算出，，

则

，

． 14分

所以，，即存在实数使得结论成立． 15分对进一步思考问题的判断：正确． 18分

4、

5、【解析】

圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)

圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0>=-b a b y a x ，焦点坐标为()()0,0,21c F c F ，-，c 2=a 2+b 2； ②)0,0(122 22>>=-b a b x a y ，焦点坐标为()()c F c F ,0,021，-，c 2=a 2+b 2； 3.双曲线的几何性质 1）范围：x ≥a 或x ≤?a ；如图． 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．

高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）

圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)

第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2

(完整版)圆锥曲线高考题及答案

数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)解答

专题30圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀?每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分 值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性?比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传 统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； (2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围； (3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 2 2 1. 已知双曲线务-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲 a2 b2 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2, ?：：) 2 2 2. P是双曲线—-y 1的右支上一点，M N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和(x —5)2+ y2= 1上 9 16 的点，贝U |PM| —|PN|的最大值为乙 24 3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是一 2 4. 已知抛物线y2=4x,过点F(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y",B(x 2,y 2)两点，贝U y^+y?2 的最小值是32 . 5. 已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件| FM |-|PN |=2、.2.记动点F的轨迹为W (I)求W的方程；_1 (n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值. 解：(I)依题意，点P的轨迹是以M N为焦点的双曲线的右支， 2 2 所求方程为：———=1 (x 0) 2 2 (n)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为斗x= x o, 此时A (x o,?林0 —2 ), B (X0, —丿X。一2 ), (A(B' = 2

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

圆锥曲线解析版

绝密★启用前 2013-2014学年度12月练考卷 圆锥曲线 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．F 1，F 2是双曲线22 22:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与 双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ） A B C ．2 D 【答案】A 【解析】 试题分析： 22||:||:||3:4:5AB BF AF =，令)0(3>=m m AB ，m BF 4||2=， m AF 5||2=， ∴2BF AB ⊥， 由双曲线的定义a AF AF 2||||12=-，a BF BF 2||||12=-， a m AF 25||1-=∴，a m BF 24||1+=， ||||||11AB AF BF +=， ∴m a m a m 32524+-=+，即a k =， ∴由勾股定理知，222)2()4()6(c a a =+，求得 13=a c （负值舍去）， 故13=e . 考点：双曲线的定义，性质.

2．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为 （ ） D.56 或7 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，实数4,,9m 构成一个等比数列，所以， 6m ==±. 当6m =时，圆锥曲线22 1x y m +=为2216 x y +=， 表示焦点在x 轴的椭圆，其离心率6 e ==； 当6m =-时，圆锥曲线22 1x y m +=为-2216 x y -+=表示焦点在y 轴的双曲线，其离 心率为e ==C ． 考点：椭圆、双曲线的几何性质. 3．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F ，1，则双曲线的方程是（ ） A ．22 1 2x y - = B ．22 12y x -= C ．221x = D ．221y -= 【答案】A 【解析】 试题分析：由焦点为(0F ，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c ，焦点到 1，所以，a 1）＝1，所以，b = ， 所以，双曲线方程为：2 2 12 x y -=.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 4．设12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若 a PF PF 6||||21=+，且12PF F ?的最小内角为30，则C 的离心率为（ ）

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B

4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．

2019届高考数学理总复习微专题5 高考中的圆锥曲线问题

微专题5高考中的圆锥曲线问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是() A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为() A. B. C. D. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是() A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,] 4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是() A.(,) B.[-,-] C.[,] D.[-,-]∪[,] 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0

7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ 平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值. 图5-1 8.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-,0), 且过点T(,). (1)求椭圆C的方程; (2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围. 9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB 面积的最小值为16. (1)求抛物线的方程; (2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由. 图5-2 10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l与线段CB的交点为P. (1)求点P的轨迹Γ的方程; (2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D两点,求的取值范围. 答案

圆锥曲线综合检测1(含解析)

圆锥曲线综合检测1 一、单选题 1．已知椭圆22 1102 x y m m +=--的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．8 B ．7 C ．5 D ．4 2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 3．已知直线l 在y 轴上的截距为2，且与双曲线22 13 y x -=的渐近线平行，则直线l 的 方程是（ ） A ．2y = + B ．2y =+或2y =+ C ．2y x = +或2y x =+ D ．2y x = + 4．已知双曲线()22 22100x y a b a b -=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2 C 1 D 1 5．已知双曲线22 215 x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦 点到其渐近线的距离等于() A B ．3 C ．5 D ．6．已知点P 是双曲线C ：x 2 2 4 y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线 C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（ ） A ． B C ．± D ．7．若双曲线2 22312x y a -=的离心率为2，则其渐近线方程为（ ） A ．3 y x =± B ．y =

C ．1 3 y x =± D ．3y x =± 8．抛物线2y mx =的准线方程为（ ） A ．4m y =± B ．14x m =± C ．1 4y m =- D ．4 m x = 9．与直线240x y -+=平行的抛物线2y x 的切线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．210x y --= 10．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点，则3 2 PA PF + 的最小值为（ ） A ． 72 B ． 92 C ． 112 D ． 132 11．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1?F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（ ） A ．3倍 B ．4倍 C ．5倍 D ．7倍 12．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 3 3 B 3 C ． 13 D ． 16 二、填空题 13．若椭圆2 2 1y x m +=的焦距是4，则m =________ 14．设F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_______ 15．设F 为抛物线2 :12C y x =的焦点，经过点()1,0P 的直线与抛物线交于A ， B 两点，且2BP PA =，则||||AF BF += __________． 16．已知,A B 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，过点B 与双曲线的一条

圆锥曲线高考常见题型与分析

圆锥曲线高考常见题型与分析 湖南 黄爱民 有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型． 一、轨迹问题 例1 椭圆方程为2 2 14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2 OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，， 由题意，得122x x x +=，122 y y y +=，21211y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上， 代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++-+=． 当12x x ≠时，有121212121()04y y x x y y x x -++ +=-g ． 即112204y x y x -+=g g ， 整理，得2240x y y +-=；① 当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)，，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①． 故点P 的轨迹方程为：2 212111 1616 y x ??- ???+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键． 二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22 143 x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称． 解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，， 代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．①

2020年高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ? 面积的取值范围是

1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。 解析：（1）由中点弦公式22OM b k k a ?=-，解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内，故302m << ，故1 2 k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k = =-，即3||2 FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有

专题五 高考中的圆锥曲线问题

专题五 高考中的圆锥曲线问题 1． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2 9 ＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB | ＝_______. 2． 设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( ) A.p 2 B ．p C ．2p D ．无法确定 3． 若双曲线x 2a 2－y 2 3 ＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 4． 在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 5． 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB → 等于( ) A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题

例 1 (浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，1 2 ) 到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为5 4 .点M (t,1)是C 上的 定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线 OM 上． (1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB | 1＋4m 2 ，求d 的最大值． 思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

2018年度高考圆锥曲线部分小题解析

圆锥曲线2018年高考小题解析 一、 考点分析 1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系； 2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法； 3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质； 4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析 1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则 ||AB =___________ 解析：2222230(1)4x y y x y ++-=?++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r = 圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程； （2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8 sin p AB θ = = ，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =- （2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+ 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005 (1)(1)162 y x y x x =-+?? ?-++= +?? 解得0000311 2-6 x x y y ==??? ?==??或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：

2021年新高考数学冲刺高考满分系列专题24圆锥曲线证明(解析版)

专题24圆锥曲线证明（解析版） 易错点1：忽视定义中的隐含条件致误； 易错点2：忽视直线存在性的检验致误； 易错点3．忽视斜率不存在致误； 易错点2．忽视截距为0致误； 易错点4：忽视曲线的范围致误； 易错点5：缺乏对圆锥曲线定义的深刻理解致误。 题组一：两直线的斜率关系 1.(2015年新课标2卷）已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 【解析】设直线:(0,0),l y kx b k b =+≠≠1122(,),(,),(,)M M A x y B x y M x y 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2 2 2 2 (9)20k x kbx b m +++-=， 故1222 9,299 M M M x x kb b x y kx b k k +-= ==+=++ 于是直线OM 的斜率9 M OM M y k x k ==-，即9OM k k =- 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. 2.(2016年新课标3卷）已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点，若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ. 【解析】由题设)0,2 1(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2 ,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则 22 2111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. 3．已知o 为坐标原点，抛物线2 y x 与直线(1)y k x 相交于A,B 两点．求证：OA ⊥OB. 【解析】 2 220,14(1) y x x ky y k k y k x 由 消去得>0

高考圆锥曲线题型之共线向量问题

题型五：共线向量问题 解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y + =于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。 分析：由DP DQ l =uuu r uuu r 可以得到121 23(3)x x y y l l ì?=?í ?=+-??，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), Q DP DQ l =uuu r uuu r \(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121 23(3)x x y y l l ì=??í?=+-??? 方法一：方程组消元法 又Q P 、Q 是椭圆29x +2 4 y =1上的点 \22222222 194()(33)194x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=???? 消去x 2， 可得222 222 (33)14 y y l l l l +--=- 即y 2= 135 6l l - 又Q －2￡y 2￡2， \－2￡ 135 6l l -￡2 解之得： 1 55 λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55?? ???? 。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠， 由22 3 4936 y kx x y =+?? +=?消y 整理后，得

22(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点 22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k -≥ 即2 95k ≥ ① 由韦达定理得： 121222 5445 ,4949k x x x x k k +=- =++ 21212 1221()2x x x x x x x x +=++ 222 254(1)45(49)k k λλ +∴= + 即2222 3694415(1)99k k k λλ+==++ ② 由①得211 095 k < ≤，代入②，整理得 2 369 15(1)5λλ< ≤+， 解之得 1 55 λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15 λ=。 总之实数l 的取值范围是1,55?? ???? 。 方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。 例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24 1x y =的焦点，离心率为 5 5 2． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1λ=，