2018届高三数学过关测试：第13练 函数与方程 含答案
一、选择题
1．(2017·长沙调研)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,4)
D ．(4,5)
2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x
＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
4．已知函数f (x )＝2mx 2
－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( )
A.??????－38，18
B.? ????－38，18
C.????
??－38，18 D.? ??
??－18，38 5．已知函数f (x )＝???
??
log 3x ，0 |x －4|，x >3， 若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则 实数m 的取值范围是( ) A.? ?? ??12，1 B.? ????－∞，12∪(1，＋∞) C.? ????－∞，12∪[1，＋∞) D.? ?? ??12，1 6．已知函数f (x )＝x ＋sin x ＋2x －1 2x ＋1，且方程f (|f (x )|－a )＝0有两个不同的实数根，则实 数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－1,2) D ．(－1,2) 7．(2016·太原期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝? ?? ??22x －1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A.? ?? ??14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞) 8．已知符号函数sgn(x )＝???? ? 1，x >0，0，x ＝0， －1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2 x 的零点个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 9．(2015·湖北)函数f (x )＝2sin x sin ? ????x ＋π2－x 2 的零点个数为________． 10．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N * ，则a ＋b ＝________. 11．定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.则函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数为________． 12．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题： ①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根；②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有7个根；④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根． 其中正确命题的序号为________. 答案精析 1．C [∵函数f (x )＝|x －2|－ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f (1)＝1>0，f (2)＝－ln 2<0，f (3)＝1－ln 3<0， f (4)＝2－ln 4>0，f (5)＝3－ln 5>0， ∴f (1)·f (2)<0，f (3)·f (4)<0. ∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.] 2．C [方程f (x )＝log 3|x |的零点个数，即函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |图象的交点个数，作函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.] 3．C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点， 当x >0时，f (x )＝2x ＋x －3＝0，则2x ＝－x ＋3， 分别画出函数y ＝2x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点， 所以函数f (x )有一个零点， 又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C.] 4．D [当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件． 当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2 －x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或 ②? ???? f (－2)＝0，－2<1 4m <0或③???? ? f (2)＝0，0<1 4m <2. 解①得－18 8 ， 解②得m ∈?，解③得m ＝3 8. 综上可知－18 8 ，故选D.] 5．A [令f (x )－mx ＋2＝0，则f (x )＝mx －2，设g (x )＝mx －2，可知函数f (x )＝ ????? log 3x ，0 |x －4|，x >3 与函数g (x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出 它们的大致图象，其中A (0，－2)，B (3,1)，C (4,0)，可知直线g (x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈? ?? ??12，1.故选A.] 6．B [由于f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称．由于(x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x －12x ＋1＝1－2 2x ＋1为增函数．故f (x )为R 上的增函数，且f (0)＝0.所以|f (x )| －a ＝0，即|f (x )|＝a 有两个不同的实数根，|f (x )|的图象是由f (x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈(0，＋∞)．] 7．D [由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，即为f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，则f (x )是周期为4的函数．当x ∈[－2,0)时，f (x )＝? ?? ??22x －1，可得x ∈(0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1.在同一坐标系内作出f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)在区间(－2,6)内的图 象，若要使它们有4个交点，则0 8．B [令sgn(ln x )－ln 2 x ＝0，得 当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ； 当ln x <0，即0 x ＝0，无解； 当ln x ＝0，即x ＝1时，成立． 故方程sgn(ln x )－ln 2 x ＝0有两个根，即函数f (x )有2个零点．] 9．2 解析 函数f (x )＝2sin x sin ? ????x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ? ????x ＋π2－x 2 ＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ? ????x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2 的图 象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．故函数f(x)有2个零点． 10．5 解析∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5. 11．4 解析∵定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝2f(x)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|， ∴函数f(x)在区间[1,28]上的图象如图所示： 函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f(x)在区间[1,28]上的图象与直线y＝2交点的个数，由图可得函数f(x)在区间[1,28]上的图象与直线y＝2有4个交点，故函数g(x)＝f(x)－2在区间[1,28]上有4个零点． 12．①④ 解析①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，则t1＝0或－2 ②设t＝f(x)，若g[f(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2 ∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误． ③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2 ④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2