2012年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .
2.已知正整数1210,,
,a a a 满足:
3
,1102
>≤<≤j
i a i j a ,则10a 的最小可能值是 .
3.若17tan tan tan 6αβγ++=
,4
cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17
cot cot cot cot 5
βγγα++=-,则()tan αβγ++= .
4.已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解,则实数k 的取值范围是 .
5.如图,?AEF 是边长为
x 的正方形ABCD 的内接三角形,已知
90∠=?AEF ,,,==>AE a EF b a b ,则=x .
6.方程1233213+?-+=m n n m
的非负整数解(),=m n .
7.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .(用数字作答) 8.数列{}n a 定义如下:()122
1211,2,,1,2,22
+++===-=++n n n n n
a a a a a n n n .若
2011
22012
>+
m a ,则正整数m 的最小值为 .
E1
D 1
A
二、解答题 9.(本题满分14分)如图,在平行四边形ABCD 中,AB x =,1BC =,对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?,记直线AB 与CD 的距离为()h x .
求()h x 的表达式,并写出x 的取值范围.
10.(本题满分14分)给定实数1a >,求函数(sin )(4sin )
()1sin a x x f x x
++=+的最小值.
11.(本题满分16分)正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=,求证:
(1)43
xy yz zx ++≥
; (2)2x y z ++≥.
O
D
C
B
A
12.(本题满分16分)给定整数(3)n ≥,记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件
的子集A 的元素个数的最小值:
(a ) 1,21n A A ∈-∈;
(b ) A 中的元素(除1外)均为A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求(3)f 的值; (2)求证:(100)108f ≤.
2012年上海市高中数学竞赛答案
1 2、9
2 3、11 4、(){},04-∞ 52
6、()()3,0,
2,2
7、
2
5
8、4025 9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
2222211
()(1)22
OB OC AB BC x +=
+=+. ① …………………(2分)
在△OBC 中,由余弦定理
2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-?∠,
所以 2
2
1OB OC OC +?=, ②
由①,②得 2
OB OC ?=. ③
…………………(5分)
所以 144sin 2
ABCD OBC S S OB OC BOC ?==??∠
OC =?21
2
x -=, 故 ()AB h x ?21
2
x -=,
所以 21
()2x h x x
-=. …………………(10分)
由③可得,2
10x ->,故1x >.
因为22
2OB OC OB OC +≥?,结合②,③可得
221(1)22x +≥
解得(结合1x >)
11x <≤.
综上所述,21
()2x h x x
-=
,11x <≤. …………………(14分)
10.解 (sin )(4sin )3(1)
()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x
++-==++++++.
当7
13
a <≤
时,02<,此时
3(1)
()1sin 221sin a f x x a a x
-=++++≥++,
且当(]()
sin 11,1x =∈-
时不等式等号成立,故min ()2f x a =+. …………………(6分) 当73a >
2,此时“耐克”函数3(1)a y t t
-=+
在(
0,内是递
减,故此时
min 3(1)5(1)
()(1)2222
a a f x f a -+==+
++=.
综上所述,min 72,1;3()5(1)7,.
2
3a a f x a a ?
+<≤??=?
+?>?? …………………(14分) 11.证 (1
)记t =
)
3
32
2
3xy yz zx xyz ++??=
≤ ???
.
…………………(4分) 于是 3
2
4993xyz xy yz zx t t =+++≤+,
所以 ()()
2
323320t t t -++≥,
而2
3320t t ++>,所以320t -≥,即2
3
t ≥
,从而 4
3
xy yz zx ++≥. …………………(10分)
(2)又因为
2()3()x y z xy yz zx ++≥++,
所以 2()4x y z ++≥,
故 2x y z ++≥. …………………(16分) 12.解 (1)设集合{}31,2,
,21A ?-,且A 满足(a ),(b ).则1,7A A ∈∈.由于
{}()1,,72,3,,6m m =不满足(b )
,故3A >. 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 (b )
,故4A >. 而集合{}1,2,4,6,7满足(a ),(b ),所以(3)5f =.
…………………(6分) (2)首先证明
(1)()2,3,4,
f n f n n +≤+=. ①
事实上,若{}1,2,,21n A ?-,满足(a ),(b ),且A 的元素个数为()f n .
令{}1
12
2,21n n B A
++=--,由于12221n n +->-,故()2B f n =+.
又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-,所以,集合{}11,2,,21n B +?-,且B
满足(a ),(b ).从而
(1)()2f n B f n +≤=+. …………………(10分) 其次证明:
(2)()1,3,4,
f n f n n n ≤++=. ②
事实上,设{}1,2,
,21n A ?-满足(a ),(b ),且A 的元素个数为()f n .令
{}222(2
1),2(21),
,2(21),21n
n n n n B A
=----,
由于 2
22(21)2(21)2(21)21n
n
n n n -<-<<-<-,
所以{}21,2,
,21n B ?-,且()1B f n n =++.而
12(21)2(21)2(21),0,1,
,1k n k n k n k n +-=-+-=-,
2212(21)(21)n n n n -=-+-,
从而B 满足(a ),(b ),于是
(2)()1f n B f n n ≤=++. …………………(14分) 由①,②得 (21)()3f n f n n +≤++. ③ 反复利用②,③可得
(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++
(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++
(3)3199108f ≤+++=. …………………(16分)