中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案
一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√
二.解:A =????
????????1111111111111111,
3|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重). 将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量:
11111
,,,)'2222α=(
,2α=,
3α=
,4'6662α--=(-.
所以正交阵1
2612
10210
2
2T ?-?????
?=???????????
而40'00T AT ??????=??????. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可.
(2) 令1101
010011
0n E D E -????
?
???
??== ?????
??????
O
O
O
,D 为循环阵, 00n k k
k
E D E -??
=
???
,(k E 为k 阶单位阵) 则2
1
,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++L ,令1
12(),n n f x a a x a x -=++L 有
()A f D =.
B M ?∈,必P ?上1n -次多项式()g x ,使()B g D =,反之亦真.
()()()()AB f D g D g D f D BA ∴===
(3)由上可知:2
1
,,,,n E D D D
-L 是M 的一组基,且dim M n =.
四.解:A 的行列式因子为3
3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.
所以,不变因子为3
3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==,初等因子为3
(2)λ+,
因而A 的Jordan 标准形为21212J -??
??=-??
??-??
五.证:"":()()()
()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴==
""?:()0,()0f A g A ==
设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?. 所以0()()()()f A g A q A r A =+=, 因而()0r A =. 因为()g x 为最小多项式,所以()0r x =.()|()g x f x ∴. 六.证:在B 的核0V 中任取一向量ξ,则
()()()()00ξξξξ→
→
=====B A BA AB A B A
所以ξA 在B 下的像是零,即0V ξ∈A .即证明了0V 是A 的不变子空间. 在B 的值域V B 中任取一向量ηB ,则()()V ηη=∈A B B A B . 因此,V B 也是A 的不变子空间.
综上,B 的值域与核都是A 的不变子空间.
七.解:22
()n
E A a b λλ??-=--??
当0b =时,由于A aE O -=,()A m x x a ∴=-
当0b ≠时,由于22
()A aE b E O --=,22()()A m x x a b ∴=--
八.证:先证V W S =+,显然,W S V +?
(),()p x q x Q 互素,(),()[],u x v x p x ∴?∈使得()()()()1u x p x v x q x += ()()()()u f p f v f q f ε∴+=(单位变换) ,()()()()V p f u f q f v f αααα?∈+=
设111()(),()()()[()]0q f v f p f p f q f v f W ααααα→
===∴∈Q 222()(),()()()[()]0p f u f q f q f p f u f S ααααα→===∴∈Q
V W S V W S ∴?+∴=+
再证:W S +是直和
,()0,()0
()()()()0{0}W S p f q f u f p f v f q f W S V W S
αααααα→
→
→
→
?∈==∴=+=∴=∴=⊕I I