【奥赛】小学数学竞赛：工程问题(二).教师版解题技巧 培优 易错 难

工程问题（二）

教学目标

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；

3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

例题精讲

模块一、工程问题——变速问题

【例 1】 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前

25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（ ）字．

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、 【关键词】走美杯，三年级，初赛，四年级 【解析】 由“前25分钟比后25分钟少打640个字”，可知：多打这640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），

那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，如果这640个字全部用饭前的速度打，则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共有：64×30+96×20=3840个字。

【答案】3840

【例 2】 工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计

划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有 件。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、 【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】 设工厂原计划每天生产产品x 件，则改进生产工艺后每天生产产品的数量为5

1011

x +件。

根据题意有5

15(10)1111

x x =+?，解得11x =。所以这批产品共有11×15=165（件）。

【答案】165件

【例 3】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040

元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 开始时甲队拿到840050403360-=元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:50402:3=；

甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17+-=．设甲开始时的工效为

“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x 天才能完成任务．有(244):(343)18:17x x ?+?+=，化简为2165413668x x +=+，解得40

7

x =

．工程总量为40

547607

?+?

=，所以原计划60(23)12÷+=天完成． 【答案】12天

【例 4】 甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高

1

10

，乙的工作效率比单独做时提高15

．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的2

5，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件

工作的

13

30

尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中

【解析】 乙的工作效率是：2131(1)653036--÷=，甲的工作效率是：215111

(6)(1)53651033

+÷-?÷+=，所以，

单独由甲做需要：1

13333

÷

=(小时)． 【答案】33小时

【巩固】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原

来的4

5

，乙只能完成原来的

9

10

．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要

合做多少天?

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由

甲单独完成．现设两人合作x天，则甲单独做8-x天，于是得到方程(

1

10

×80％+

1

15

×90％)

×x+

1

10

×(8-x)=l，解出x=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．

【答案】5天

【巩固】要发一份资料，单用A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送，要8分钟；若A、B同时发送，由于相互干扰，A、B每分钟共少发0.2页。实际情况是由A、B同时发送，5分钟内传完了资料（对

方可同时接收两份传真），则这份资料有________页。

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，一试

【解析】没受干扰时传真机的合作工作效率为

119

10840

+=，而实际的工作效率为

1

5

，所以这份资料共有

91

0.2()8

405

÷-=（页）

【答案】5天

【例 5】甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最

初，甲清理的速度比乙快1

3

，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结

果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】四中，入学测试，希望杯，六年级，2试

【解析】法一：直接求

首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成

10

20060

3

÷=（米），

开始的时候甲的速度比乙快1

3

，也就是说乙开始每分钟完成为

101

(1) 2.5

33

÷+=（米），换工具之后，

工作效率提高一倍，因此每分钟完成2.525

?=（米），问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125

?=（米），比实际少了20012575

-=（米），这是因为换工具后每分钟多扫了5 2.5 2.5

-=（米），因此换工具后的工作时间为75 2.530

÷=（分钟）.

法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3，甲比他快

1 3，甲每分钟可以清理4，60分钟之后，甲一共清理了460240

?=份的工作量，乙和他的工作总量

相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3，换工具后的工作效率为6，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240350)(63)30

-?÷-=分钟。

【答案】30分钟

【例 6】 甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的

1

2

时，乙完成了任务的1

2

还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试

【解析】 当甲完成任务的12时，乙完成了任务的1

2

还差40个，这时乙比甲少完成40个；

当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；

所以在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了402060+=个，那么乙比甲每小时多完成607.58÷=个．所以提高工效后乙每小时完成40848+=个．

【答案】48个

【例 7】 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15

天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 在晴天，一队、二队的工作效率分别为112和115，一队比二队的工作效率高111

121560

-=；在雨天，

一队、二队的工作效率分别为

()11140%1220?-=

和()13

110%1550

?-=，二队的工作效率比一队高3115020100-=．由11

:5:360100

=知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程

的

111

3512202

?+?=，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天． 方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。

【答案】10个雨天

【例 8】 一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施

工，工作效率提高20％．当工程完成

1

4

时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 甲、乙合作时工作效率为(116+120)×(1+20%)=27200．则1

4的工程量需14÷27200

=5027 (天)，则遇到地

下水后，甲、乙两队又工作了10-5027=22027

(天)．则此时甲、乙合作的工作效率为34÷22027=81

880．遇

到地下水前后工作效率的差为: 27200-81880=189

4400，则总工作量为47.25÷1894400

=1100方土.

【答案】1100方土

【例 9】 甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨

天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，1试

【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为

1

10

和

1

16

，甲队比乙队的工作效率高

113

101680

-=；

在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为

13

30%

10100

?=和

11

80%

1620

?=，乙队的工作效率比甲队高

131

2010050

-=．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴

天与雨天的天数比为13

:8:15 5080

=．

如果有8个晴天，则甲共完成工程的

13

815 1.25

10100

?+?=，而实际的工程量为1，所以在施工期间，

共有8 1.25 6.4

÷=个晴天，15 1.2512

÷=个雨天．【答案】12个雨天

【例 10】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的

1

1

2

倍，上午在甲工地工作

的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的

5

12

在乙工地工作。一天下来，甲工地的工作已完

成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有人。【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】“甲工地的工作量是乙工地的工作量的

1

1

2

倍”说明甲、乙的工作量只比为3：2。

可设这批工人有X人，每个工人的工效都为1，列式为：

3 4X：（

5

12

X+4）=3：2

6

4

X=

5

4

X+12

1

4

X=12

X=48

所以这批工人有48人。【答案】48人

模块二、工程问题方法与技巧整体分析法

【例 11】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的1

2

，乙生产的个数是

甲、丙两人生产个数之和的1

3

，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三

人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的1

2

，则总和为3，甲占了1份，甲占了总数的

1

3

；乙是甲丙和

的1

3

，同理可知乙占了总数的

1

4

，那么可知丙生产的玩具占总数的

115

1

3412

--=，所以总数是

5

5012012

÷=（个）. 【答案】120个

【例 12】 几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来

留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】西城实验 【解析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草

(甲地草的14)，所以这些人在上午也能割甲地14的草，所以12人一天割了甲地3

4

的草，每人每天割草为

3112416÷=，全部的草为甲地草的54，51

20416

÷=，所以共有20名学生． 【答案】20名学生

【巩固】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的1

12倍．上午去甲

工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有

7

12

的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x 人．

那么上午有9x 人在甲工地，有3x 人在乙工地；下午有7x 人在甲工地，有5x 人在乙工地．所以甲工地

相当于()9728x x x +÷=人做了一整天；乙工地相当于()3524x x x +÷=人做了一整天． 由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的

3

2

倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份．8x 人做一整天完成3份，那么4x 人做一整天完成

32份，所以乙工地还剩下31

222-=份．这12份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要143242?

??÷= ??

?人做一整天，即824x =，可得

3x =，那么这批工人有12336?=(人)．

【答案】36人

【例 13】 有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、

乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲 小时，帮乙 小时．

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，2试 【解析】 整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完

成工作的总时间为11121

2()67144÷++=小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙

则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是1217648?=，所以丙帮甲搬了71

188-=的货物，丙帮甲做

的时间为11318144÷=小时，那么丙帮乙做的时间为2131

13442

-=小时．

【答案】丙帮甲314小时，丙帮乙1

32

小时．

【巩固】 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓

库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：1112()8101215÷++=小时，丙帮助甲搬运了11

1831015??-?÷= ???小

时，丙帮助乙搬运了835-=小时．

【答案】5小时

【例 14】 甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工作量再增加

1

4

，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，

即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A 工程的工作总量为单位“1”，那么B 工程的工作量就是“5

4

”，那么这个问题就和例5联系到了一起了。 三队合作完成两项工程所用的天数为：51

111184202430????+÷++= ? ?????天。18天里，乙队一直在完成B

工作，因此乙的工作量为

13

18244

?=，B 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在B 工程上用了531

154430

??-÷

= ???天也就是说两队合作了15天。 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率?工作时间=工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．

【答案】15天

【例 15】 甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12

小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A 仓库，乙在B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A 仓库搬了多长时间？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为A 、B 两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时可

以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是

111

::6:5:4101215

=，所以甲每小时可以完成大仓库工作量的161865420?=++，丙每小时可以完成大仓库工作量的141

865430?=

++．那么甲16小时完成了A 仓库的

1416205?=，丙在A 仓库搬了41

(1)6530

-÷=小时． 【答案】6小时

【例 16】 一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用

整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做

的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比

甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为1V 和2V ，那么1211

2V V V =+，

所以122V V =，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要1728.5÷=天．

【答案】8.5天

【例 17】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，

再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】 甲乙合做1小时后，还剩下：11171151220--=

，甲乙单独做2小时，共做113

151220

+=，还需要做2×5=10小时，还剩下

110，需要甲做1小时，还有111101260-=，乙还需要做111

60154

÷=小时，一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时

【答案】8.5天

【例 18】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替

甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？

11511171218365??

÷+=÷= ???

（小时）． ②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1135117112183636??

-?+=-= ???． ③余下的1

36

由甲独做需要多少小时？

111

36123

÷=（小时）． ④共用了多少小时？ 11

721433

?+

=（小时）． 在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．

【答案】1

143

小时

【巩固】 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每

次1小时，那么需要多长时间完成？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 甲1小时完成整个工程的16，乙1小时完成整个工程的1

10

，交替干活时两个小时完成整个工程的

11461015+=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155?=，还剩下1

5，甲再干1小时完成整个工程的

16，还剩下130，乙花1

3

小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程． 【答案】7小时20分钟

【巩固】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一

个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 根据题意，有：10.810.6++L L 甲乙甲乙甲小时乙小时

乙甲乙甲乙小时甲小时

，可知，甲做10.60.4-=小时与乙做10.80.2-=小时

的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量． 所以，乙单独工作需要9.85527.3-+÷=小时．

【答案】7.3小时

【例 19】 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、

丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，高年级，初赛 【解析】 考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，

按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分钟．所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢．也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满．甲灌1个小时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水．所以灌水速度甲∶乙∶丙342∶∶=，也就是甲刚好是平均数．所以只用甲管灌满需要7小时．

【答案】7小时

【例 20】 为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水

管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，

若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过 小时池水就会漏完。

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯

【解析】 设满水池水位单位“1”，水池漏水相当于一个工作效率为1111

341484

--=的出水管，因此关闭进水管与出水

管，经过84小时池水就会漏完

【答案】84小时

【例 21】 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水

管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 法一：

1小时排水比1小时进水多1123515-=，121

321510

÷=L

，说明排水开了3小时后（实际加上进水

3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的

1

10

，

再过1小时，水池里的水为一池子水的

113 10510

+=，

把这些水排完需要

319

10310

÷=小时，不到1小时，

所以共需要

99

617

1010

++=小时7

=小时54分．

法二：

1小时排水比1小时进水多112

3515

-=，

211

4

15230

?-=，

说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的1

30

，

排一池子需要3小时，排一池子水的1

30

需要

11

3

3010

?=小时，

所以实际需要

19

87

1010

-=小时7

=小时54分．

【答案】7小时54分

【巩固】一项工程，甲、乙合作

3

12

5

小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰

好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多1

3

小时，

那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用

的时间应与第一种做法相同，不会多1

3

小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，

第二种做法中最后1

3

小时是甲做的，而这

1

3

小时之前的一小时是乙做的，所以乙

1

3

+甲=甲，得乙

2

3

=

甲．甲、乙工作效率之和为：

35

112

563

÷=，甲的工作效率为：

5231

(1)

6336321

÷+==，

所以甲单独做的时间为

1

121

21

÷=(小时)．

【答案】21小时

【例 22】甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多1

4

．甲、乙、丙3

队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为5

4

，A、B两项工程的工程总量为1+

5

4

=

9

4

．而

甲、乙、丙合作时的工作效率为1

20

+

1

24

+

1

30

=

1

8

，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时

完成时所需的时间为9

4

÷

1

8

=18(天)．在这18天，乙完成18×

1

24

=

3

4

的工程量，则B工程中剩下的

5 4-

3

4

=

1

2

的工程量是由丙帮助完成，即

1

2

÷

1

30

=15(天)．即丙队与乙队合作了15天．

【答案】15天

【例 23】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需

要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有1

6

的水，若按

甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：11117

345660

-+-=，循环5次后水池还空：

171

15

6604

--?=，

1 4的工作量由甲管注水需要：

113

434

÷=(小时)，所以经过

33

4520

44

?+=小时后水开始溢出水池．

【答案】

3 20

4

【例 24】一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

【解析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：135716

5050

+++

=，

246820

3030

+++

=，

此时剩下的工作量为

16201

1()

503075

-+=．还需甲做

112

75503

÷=(小时)，

所以共需

22 (1357)(2468)36

33

++++++++=(小时)．

【答案】

2

36

3

(小时)

【例 25】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

【解析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按

乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有

1

2

+=++

甲乙乙丙甲，可得

1

2

=

丙甲；

而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有

1

2

+=++

甲乙丙甲乙，可得

1

2

=

丙乙．那

么=

甲乙，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是

由甲完成的．那么有

11

22

=+=+

甲乙丙丙甲，可得

3

4

=

乙甲，

1

2

=

丙甲．这项工作由甲、乙、丙三人

一起做，要用

1314

114

10429

??

??

÷?++=

?

??

??

??

天．

【答案】

4

4

9

天

【例 26】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，

若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1

2

天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮

流工作一天，则比原计划多用1

3

天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做

这件工作，完成工作要用多少天？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期1

+天，第二种可能是完整周期2

+

天．如果是第一种可能，有

11

23

=+=+

甲乙丙丙甲，得

2

3

==

乙丙甲．然而此时甲、乙、丙的效率

和为

12228

1

10.7533129

??

?++=

?

??

，经过4个周期后完成

28112

4

129129

?=，还剩下

11217

1

129129

-=，而甲每天

完成

1412

10.7543129

==，所以剩下的

17

129

不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假

设不成立．

可得

11

23

+=++=++

甲乙乙丙甲丙甲乙，所以

1

2

=

丙甲，

3

4

=

乙甲．因为甲单独做需10.75天，所以

工作效率为4

43

，于是乙的工作效率为

433

43443

?=，丙的工作效率为

412

43243

?=．

于是，一个周期内他们完成的工程量为4329

43434343

++=．则需

9

14

43

??

÷=

??

??

个完整周期，剩下

97

14

4343

-?=的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第二

种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是9

43

，所以三人合作完成工作需要

9437

14

4399

÷==天．

【答案】

7

4

9

天

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都充分得提高和发挥。其次，通过学习，我更加意识自己才疏学浅，意识到自己教学理念的落后，教法的陈旧，我应该强迫自己改变自己的习惯，利用学校创设的学习平台，转变教学理念，认真学习新课标，诚心向各位同仁、学者、专家学习，使自己不断地进步。 新时代中国教师的角色是贯彻执行国家的教育方针政策，培养为社会主义现代化建设服务的具有良好思想道德素质、文化素质、身体素质、心理素质、劳动素质和审美素质的新型人才。一所学校能否坚持社会主义的办学方向，能否培养社会主义事业的建设者和接班人？关键在教师。教师首先要以德育人。教育思想、教育观点对教育事业的发展至关重要，正确的教育观可以造就人才，错误的教育思想则会摧残人才。教师的政治取向、道德素质、教育观、世界观和人生观对学生起直接影响作用。大多数的教师政治立场坚定，高风亮节终身不变，但也有少数人在风云变幻的社会环境中迷失方向，腐败堕落，甚至误人子弟。教书者先强己，育人者先律己，教师要终身加强政治思想修养、加强现代教育理论、国家教育政策、法规和文件的学习；坚定共产主义信念、坚持社会主义方向、坚持正确的教育观、人才观和价值观；“学为人师，身为世范”，引导学生树立各种正确观念，教育学生学会求知、学会做人、学会创造，培养学生成为“全面建设小康社会”的新型人才。 学校教育使我们获得的知识无疑会让我们终身受益，但不能完全适应现代化的教育需要。知识挑战的严峻程度有目共睹，每门学科都是学无止境。专业知识更新周期越来越短，旧知识淘汰很快，我们随

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三、“国培”学习不但告诉我们“什么”，而且结合实例，告诉我们“怎么做”、“为什么要这么做”，重在提升我们实际的教学本领。 古人曰：“授人以鱼，不如授人以渔”；专家在讲解自己的理论观点时，无不旁征博引，特别是展示了大量优秀教师的课堂实例，在实际课堂教学操作中、在过程的引领中传授知识、讲析技法、阐明理念；可以说这些专家都毫不保留地把自己的“金点子”的本领传授给了我们，让我们在教学的“迷津”中找到方向，在过程的体会、领悟中内化知识，促进自己实际的教学技能的形成、巩固。 “国培”是教育部送给我们一线教师一份“大餐”，一份精神文化的“大餐”，当然，这份大餐的消化、吸收还需要有一个过程，甚至是一个相当长的时间；这就需要我们结合自身实际，对这份弥足珍贵的“营养物质”不断咀嚼、消化吸收，使自己精神的大树长得更加茁壮茂盛，使自己思想的成长不再“缺钙”！ 通过培训，我重新审视了自己，只有通过不断的学习，不断的提高来充实自己，找到自己的人生价值。培训后，让我的业务水平不断地提高，我将带着收获、带着感悟、带着信念、带着满腔热情，在今后的教学中，我要汲取专家的精华，反思自己的教学行为，让自己在教学实践中获得成长，使自己的教学水平和教学能力更上一个台阶。

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27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z

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小学数学教师自培计划 小学教师个人自培计划XX学校 :读书使人明智，读书使人聪慧，读书使人高尚……..以推进素质教育为宗旨，以提高教师的素质为目的，尽快掌握现代教育的方法，认真贯彻执行学校教育工作方针，争做优秀教师为了促进教学实践与理论的结合，提高自己的政治、业务水平和师德修养，使自己的教育教学行为更能符合时代的要求，以满足学校教育教学工作的需要，特制定个人自培计划如下：一、个人学习目标1、提高自身的政治、业务理论水平，提高教育实践能力，以适应形势的发展2、坚持个人理论学习制度，不断提高自己的理论水平认真学习教育书刊，如苏霍姆林斯基的《给教师的建议》、《教育心理学》，《班主任之友》等，并认真做好读书笔记通过读书活动不断提升自己的文化内涵和修养，提高自己运用科学发展观点看待和解决教育问题的能力3、培养提高自身学习的兴趣是理论与实践相结合，逐步提高自己的教育教学水平二、具体方案1、继续学习新基础教育理念，应用于我校的自主性学习教改中，摸索适用于我所带班级的整合点，通过多看、多学、多听、多做来提高自己的钻研能力2、、调整好自己工作的心态，把工作当成是人生的一大趣事来完成用科研的观点去认真备好每一节课，上好每一节课在教学中应面向全体学生，实施启发、探索和讨论式教学，指导学生主动学习，尊重和保护学生的学习自主

性和积极性在课堂上营造民主和谐的氛围，让孩子真正成为学习的主人3、.教学中要因材施教，有的放矢，不盲目追求形式，注重知识产生发展过程，提高生生互动、师生互动的有效性在还给课堂生命气息的同时努力提高课堂效益同时，注重知识的积累，做好实践反思本的撰写，及时总结反思每堂课的优缺点，及时加以调整及改进4、树立终生学习的观念，不断学习各方面的理论知识充实自己，武装自己，提高理论素养，使自己成为一个有内涵的教师向身边的每一位老师学习，学习他们的经验和教学技巧5、倾听学生的心声，关注每个孩子的成长采用激励的策略，以一颗宽容的心对待班级中的点点滴滴及时与学生进行交流与沟通，帮助学生找出数学薄弱的原因6、多看刊物，提高自己的理论水平，做好笔记和摘录，为自己的工作积累经验；同时利用网络，搜索学习先进的教育教学方法以及先进的教育理念和管理经验同时，我还将结合学校发展规划，坚持以校为本，积极投入生命教育课题研究，踊跃参加校本研修，尽我所能，成就自我，为学校的发展做出贡献校本研修教师自培计划时光飞逝，转眼之间一年之初又来到了在工作的几年中，有工作的艰辛与压力，也有收获的喜悦与欣慰，有求索的痛苦，也有成长的快乐教育教学道路上的成长要有明确的目标和合理的规划为此，我对自己今年的成长作了一个计划一、自我剖析(一)优势分析1．作为年青人，我有着充沛的精力和灵

小学数学教师国培心得体会

小学数学教师国培心得体会 这次我非常幸运地参加了省教育部“国培计划”培训,在培训学习中，我聆听了专家与名师的报告，他们以鲜活的案例和丰富的知识内涵及精湛的理论阐述，给了我强烈的感染和深深的理论引领，每一天都能感受到思想火花的冲击；结交了一群优秀的同行朋友，探讨了疑惑。在一次次的感悟中，我深感自己的责任重大、知识贫乏。通过这次培训，收获颇丰、感想颇深：眼界开阔了、理念更新了，思考问题也能站在更高的境界，许多疑问得到了解决或者启发。对我们的教育与新课程极其改革又有了一个新的认识。下面将我的学习心得小结如下： 一、在学习中反思。 “一个人能走多远，看他与谁同行，一个人有多优秀，看他有什么人指点，一个人有多成功，看他与什么人相伴，有几位好同伴，将会成就你的一生。”当我听了专家的专题报告后，心中不由地涌起了这句话。在贯彻新《课标》精神的过程中，他们带来的思想道德教育：鼓励教师安心——是最高的境界；激发教师负起责任、开拓视野；勉励教师不辱使命——建设现代教育；激起我心中的许多感想。老师们带来的心理健康教育，使我能对自己的心态作一个调适，让我树立了新的正确的教育观，并能以良好的心态投入到教学工作中；感受到要先做人，再教书。做人要有一个好心态，一个好心情。心理健康，身体才能健康，工作才能愉快。好心态成就一切事业。爱学生，爱同事，轻轻松松地当老师，快快乐乐地当老师，简简单单地当老师，放下包

袱，抛却沉重，让微笑永远绽放在脸上！感悟到要善待学生，尊重生命。要善于引导，做到能理解、宽容。要通过改变目标、改进方法、转换活动、合理宣泄、调整认知等六个方面向名师靠近，促进自己向大师方向发展，学到了自信，学到了方法，感悟至深。就如古人说的“授人以鱼不如授人以渔”。作为一名教师，我认为这种观念的形成是很重要的。有了这个观念的引导，在今后课程改革中尽管可能会碰到各种各样的问题、挫折，坚信我会去探索、解决，而不是躲避，因为希望就在前面！ 我们以前评课总是在关注教师的设计和讲授，而很少关注学生的认知水平和参与度，也很少去体察学生的情感和需求。听了老师的讲座后使我在上课方面有了更深入的了解，提高了自身的素养，为后来开展的讲课比赛奠定了理论基础。由此，我又一次在观念上、理念上发生了巨大的变化。我想，新课改的精神就像阳光一样，普照到了与之相关的每一人。 通过本次培训学习，让我充分领略到专家与名师那份独特的魅力――广博的知识积累和深厚的文化底蕴。“恰当把握教学生成,切实提高教学实效”，使我的心灵受到了很大的冲击。他们关心偏远农村地区中小学的精神，对教育事业深深地爱，让我们感受到无形的压力及敬佩的心情，心中不由联想起“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干”这一古诗句的深深意境；深深地感受到身为一名教育者的魅力所在；在聆听他讲述自己放下自己的头衔，在武汉市偏远中学当老师的报告后，我的头脑中产生了无限思绪，似有一种无形的动力激励我们

(完整)小学高年级数学教研组工作计划

小学高年级数学教研组工作计划 一、指导思想 新的一学期里，我们数学教研组把学校总体教学工作作为依据，以提高教研质量和教学质量作为目标，把培养学生的创新精神和实践能力作为我们教研重点，积极探索发掘教研工作的增长点，促进教师专业成长和学生的全面发展，提高数学教学质量。 二、工作目标 针对本学期学校的工作重点，制定以下目标： 1、以“新基础教育理念，新课改精神”为宗旨开展教研活动，促进教师树立全新的教育教学理念。 2、在教研活动中为每位老师创造机会，提高老师的教学业务水平。 3、学习相关理论、撰写教学案例及教学论文，提高教研能力。 4、在课堂教学中，培养学生自觉、主动的学习品质，培养学生自主、创新、实践的学习精神，从而全面提高学生的素质。 三、主要工作 （一）、学习新课改和新基础理论，转变教师的教育观念。 1、组织教师进行教育教学理论学习。 2、每位教师都要立足课堂，用新课标的理念改进教法，树立只有统一的教学理念，没有统一的教法模式，要主动构建具有自我特色的个性化教学模式，在课堂这个舞台上展示自己的风采，让课堂焕发出生命的活力。

3、重视教学过程的反思，每节课后教师要认真地反思教学过程，及时地把教学中点点滴滴的感受写下来，重视备课和反思，要从深层次上去考虑自己的教学工作，写出有质量的教学反思和重建。 （二）定时开展教研活动，提高活动质量和教学效益。 1、组织好业务学习，做到定时、定点、定人、定内容，转变教研理念，改进教研方法，优化教研模式，力争形成浓厚的教学研究氛围。 2、组织教师的听评课活动，落实好教学研讨课。关注对学生学习过程的研究，重视对学生学习习惯的培养，落实减负增效的措施。在听课评课、反思重建中提高每位教师自身的业务水平。 （三）加强青年教师的培养工作，形成强大的数学教师队伍。 1、加强对青年教师的自培工作,走教师专业化发展道路，促进教师在新课改实践中探索并形成具有自身特点的教学方法。关心青年教师的成长，在业务上对青年教师进行指导，做到有目的，有成效，帮助他们尽快适应教学。 2、骨干教师应多听青年教师的课，听后及时反馈，指出不足之处，让青年教师能及时成长。组内要创造更多的机会让新教师展现，给教学带来新的思想。教师之间多交流教学的经验，共同提高数学教学质量。

小学数学国培学习总结三篇

小学数学国培学习总结三篇 【导语】好的总结，能让一年工作完美收官，给领导留下好印象。《小学数学国培学习总结三篇》是为大家准备的，希望对大家有帮助。 篇一 时光飞逝，转眼间，为期三个月的“国培计划（20XX）”贵州省小学数学骨干教师脱产置换研修培训已结束。这次培训内容丰富，形式多样。通过这次国培计划学习，使我不断的完善自己，对新课程、新理念有了一个全面全新的认识；同时也使我认清了自己在教学中的不足，需要学习的东西很多，需要改进的地方也颇多。现就这段时间的学习情况及取得的成绩总结如下： 一、培训学习的经历和感触。 这次培训活动安排合理，内容丰富，专家们的解惑都是我们一线数学教师所关注和急需的领域，是我们发自内心想在这次培训中能得到提高的内容，可以说是“人心所向”。在培训过程当中，我始终流露出积极、乐观、向上的心态。我认为，保持这种心态对每个人的工作、生活都是至关重要的。作为一名新课改的实施者，我应积极投身于新课改的发展之中，成为新课标实施的引领者，与全体教师共同致力于新课标的研究与探索中，共同寻求适应现代教学改革的心路，切实以新观念、新思路、新方法投入教学，适应现代教学改革需要，切实发挥新课标在新时期教学改革中的科学性、引领性，使学生在新课改中获得能力的提高。同时，我还深刻体会到，教材是教学过程中的

载体，但不是的载体。在教学过程中教材是死的，但作为教师的人是活的。在新课程改革的今天，深刻的感受到了学生知识的广泛化，作为新时代的传道、授业、解惑者，名教师，应该不断地学习，不断地增加、更新自己的知识，才能将教材中有限的知识拓展到无限的生活当中去。“我是用教材教，还是教教材？”作为一名教师，应当经常问问自己。而这次专家给了我明确的回答。 二、本次学习的收获 1、坚持不懈地学习教育思想和教育理论，从思想上给自己充电。 “活到老，学到老，知识也有保质期”、“教师不光要有一桶水，更要有流动的水”。作为教师，实践经验是财富，同时也有它的局限性。教师都要有熟练地驾驭课堂的能力，那是在应试教育的模式下形成的，在实施新课程中会不自觉地走上老路。新课程标准出台后，教材也做了很大的修改，教材体系打乱了，熟悉的内容不见了，造成许多的不适应，教师因此对课程改革产生了抵触情绪，这种抵触情绪我也有过，一开始都感到新教材不好教。正是本次的“国培”小学数学学习，使我从教学理论上得到了提高，知道如何处理教材中题少难教的问题，怎样进行最有效的课堂教学，在业务了却实得到了提高。今后，我们教必须要用全新、科学、与时代相吻合教育思想、理念、方式、方法来更新自己的头脑。 2、有效的组织好课堂教学。 课堂是学校教育的主阵地和主渠道，是学生学习知识，获取知识，不断完善自我的主要场所；教师的教学活动是在课堂中展开、进行、

小学数学教研组工作计划(第一学期)

小学数学教研组工作计划（第一学期） 一、教研思想： 本学期我校数学教研组工作坚持“高效、低耗、和谐、进步”的教育发展主题，进一步确立新课程标准的基本理念，稳步推进素质教育，深化教育改革。积极围绕教研组的专题，转变教育理念，以提高课堂教学效率为重点，深化教学研究，优化教学指导，强化教学管理，努力提升学生的数学素养，同时凝聚整个教研组的力量，促进每个教师的专业成长。 二、教研目标： 1、以“问题教学法”为宗旨积极开展教研活动，促进教师进一步更新教学观念，树立全新的教育教学理念。 2、结合专题研究，开展专题学习，探索问题教学法的新模式，努力提高课堂教学效率。 3、立足于课堂，实行“研教结对”活动，提高全组教师的数学学科教学水平。 4、加强教学常规管理，发现问题及时反馈、改进，形成质量监控制度。 5、积极开展教学研讨，营造研讨氛围，提升数学教师教研水平。 三、教研内容： 学习《新课标》和《基础教育改革纲要》等理论知识；有专题讲座、案例分析、听课、说课、评课、新教师跟踪、“青蓝工程”结对、“同课异构”等活动；还

有观看教学录像、宽展兴趣小组活动。 四、具体措施及要求： （一）认真组织理论学习，更新教师的教育教学观念。 1、组织教师继续学习《数学新课程标准》、《基础教育改革纲要》及有关的教育教学资料，写好学习笔记，并组织好教师之间的交流工作。 2、立足课堂，用新课标的理念改进教法，树立只有统一的教学理念，没有统一的教法模式的思想，要主动构建具有自我特色的个性化教学模式，在课堂这个舞台上展示自己的风采，让课堂焕发出生命的活力。 3、重视教学过程的反思，每节课后教师要认真地反思教学过程，及时地把教学中点点滴滴的感受写下来，重视备课和反思，要从深层次上去考虑自己的教学工作，写出有质量的教学反思和改进措施。 （二）定时期开展教研活动，提高活动质量和教学效益。 1、每2周观看一次教学录像。 2、每周定期检查教师的常规。 3、每周有一个教师提出教学中的一个困惑，形成书面形式。 4、每学期进行一次说课比赛。 5、每学期领导带头上好一节示范课。 6、每学期上好一个年级的同课异构课。 7、每学期举行一次青年教师优质课竞赛。 （三）狠抓平时，认真做好培优、扶中、补差等工作。 1、要抓好后进生的转化工作，补差重在平时的

小学数学教师国培总结

篇一:《小学数学教师国培学习心得体会》 小学数学教师国培学习体会 张秀森 2013、12、18 有一句话学到老，活到老，的确，不学习的话，人就要落后。不学习就不能使我们的教育具有后续动力，不学习就跟不上时代的发展要求，不学习就会使人的头脑僵化，终身学习是当今的时代要义；“国培计划”就是一次难得的机会。经过这一阶段的学习，我受益匪浅，并有以下几点深刻的心得 一、“国培”学习使我们更加全面深刻地理解了新课标理念，为实施素质教育奠定了基础。新课标理念强调语文教学过程(本文来自优秀教育资源网斐.斐.课.件.园)中，应以学生发展为中心，应注重语文学科的工具性和人文性，强调知识与技能、方法与过程、情感、态度、价值观的三维整合。“国培”专家深入浅出的讲析、诠释无不紧扣新课标理念，让我们这些一线的教师对新课标又有了一个全新与更刻的认识，丰实了我们的头脑，使我们领悟到了新时期数学教学的精神实质，为教学能力了基础。 二、国培让认识到我们教师应树立新观念。新课程已经走进课堂，作为教师，我们应把握时代的脉搏，顺应历史的要求，那就要迅速转型，由“知识仓库型”升级为“创新型”教师，以创新教育来促进社会的发展。教师要勤于学习，充实自我，使自己具备相应的知识结构、教育理念、文化素养、道德素养。不断提升自己的知识结构，要视角敏锐，跟上时代步伐，勇于接受新思想，新观念。根据学生的不同个性特点，采用不同的教育方法。总之，不能停滞不前，不能只靠过去的经验，不能做个教书的匠人，而应做个育人的艺术家。一个知识面不广的教师，很难给学生以人格上的感召。所以我们要不断充实自己，提高自己。 三、国培活动让我增强了投身数学教学的兴趣和信心。通过学习探讨，我对数学教学有了崭新的认识，学海无涯，教学相长，我要把自己所学的新的理念、知识运用到日常教学及班级管理之中，用科学的理论指导自己的言行，用科学的方法引导自己的学生。在国培教师的指引下，在众多同行们的帮助下，我相信自己通过自身的努力，会在语文教学中不断进步。“刀不磨要生锈，人不学要落后”，在今后的教学工作中，我会把握国培这个难得的机会，好好钻研教学业务，让自己理论水平更高、实践能力更强，发展进步更快。我会不断研究，反思，改进，悉心向同仁们学习,把数学教学当作自己毕生的追求，思索数学教学中的问题。我也相信在倾听、反思、实践中，我的教学之路会愈趋成熟，相信会做得更好。 篇二:《小学数学国培学习总结》 小学数学国培学习总结 石佛中心小学马朝霞 时间过得真快，转眼间整个国培就快结束了。虽然培训学习是短暂的，但它对我的教学

七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）

图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1

小学英语教师自培计划

小学英语教师自培计划 小学英语教师自培计划(一) 作为一名小学英语教师，我个人认为只有不断的学习才能适应这个迅速发展的社会，所以平时我十分注重自身素质的提高，学习一些英语的教学方法、参加各种培训和学历进修。为了提高自身的教学能力和基本素质，在本学期，我对自己进行了如下的学习和进修。 一、积极参加校本培训。 二、积极参加各类教研活动。 三、积极参加暑期宁波大学组织的中小学英语国际教学技能培训。 四、个人学习目标 1、提高自身的政治、业务理论水平，提高教育实践能力，以适应形势的发展。 2、通过读书活动不断提升自己的文化内涵和修养，提高自己运用科学发展观点看待和解决教育问题的能力。 3、培养提高自身学习的兴趣是理论与实践相结合，逐步提高自己的教育教学水平。 五、具体方案 1.继续学习新基础教育理念，应用于我校的自主性学习教改中，摸索适用于我所带班级的整合点，通过多看、多学、多听、多做来提高自己的钻研能力。 2.在教学中应面向全体学生，实施启发、探索和讨论式

教学，指导学生主动学习，尊重和保护学生的学习自主性和积极性。在课堂上营造民主和谐的氛围，让孩子真正成为学习的主人。 3.教学中要因材施教，有的放矢，不盲目追求形式，注重知识产生发展过程，提高生生互动、师生互动的有效性。在还给课堂生命气息的同时努力提高课堂效益。同时，注重知识的积累，做好实践反思本的撰写，及时总结反思每堂课的优缺点，及时加以调整及改进。 4.向身边的每一位老师学习，学习他们的经验和教学技巧。 5.倾听学生的心声，关注每个孩子的成长。采用激励的策略，以一颗宽容的心对待班级中的点点滴滴。及时与学生进行交流与沟通，帮助学生找出数学薄弱的原因。 同时，我还将结合学校发展规划，坚持以校为本，积极投入生命教育课题研究，踊跃参加校本研修，尽我所能，成就自我，为学校的发展做出贡献。 小学英语教师自培计划(二) 新的一年到来了在新的一年里我对自己的教学有以下计划。 一、近期个人发展目标。 1、认真钻研新教材，研究教法，体会新课程的性质、价值、理念，提高自己的执教能力。 2、继续探索生活化、情境化的创设方法，掌握生活化、情境化的课堂风格。

2019年小学数学国培研修总结

2019年小学数学国培研修总结 我有幸参加了“国培计划(XX)”贵州省农村中小学教师远程培训项目·小学数学培训班的学习。这次培训以专家讲座为主，配合观摩教学、小组讨论、相互交流等活动，内容丰富、实用。既重视对学员理念的更新，又重视具体操作技能的介绍，既有理论上居高临下的指导，同时也有具体的教学工作实践经验的交流。在这段时间的学习中，虽然有点累，但我却很充实，快乐。我认真聆听了专家们的讲座，与同行在互动平台进行了交流，现将学习体会总结如下 一、专家引领，更新观念。 专家在专题讲座中，阐述了自己对小学数学教学的独特见解，对中小学教师专业标准的各种看法，对数学思想的探讨，在专家的引领下，我对新课程有了全新的理解和完整清晰的认识。站在素质教育的高度，对照中小学教师专业标准，审视自己的教学行为。发现在平常的教学中，自己思考的太少，只注重上好每一堂课，发现问题及时查漏补缺，对学生的个性发展、终身发展考虑的不多。通过学习我觉得应该转变思想观念，作为一线教师，在数学教学过程中要注意把握和体现新课标理念强调的“一中心”、“两性质”、“三维度”，即数学教学应以学生发展为中心，应注重语文学科的工具性和人文性数学，强调知识与技能、方法与过程、情感、态度、价值观的三维整合。明白了与其给学生以“鱼”，不如授其以“渔”。使我领悟到了新时期数学教学的精神实质，为教学能力的提升奠定了基础。 二、积极交流，教学相长。

这次网络培训，给了不同地域的教师们一次互相交流，取长补短，畅所欲言的学习机会。在培训中，我彻底打开了固步自封的思想，无所顾虑的和同事们共同交流，共同研讨。开拓了教研视野，解决了自己在教育教学中的一些困惑，从而做到了教学相长。 通过观看教学视频和专家授课，我明白了小学数学教学设计的重要性，以及怎样进行教学设计。教师应挖掘数学本质，科学地进行教学设计将远期目标和近期目标相结合，让学生做更大一些的事情，让学生看清核心概念是很重要的，围绕核心概念，按照数学思想指引的方向，从学生的实际情况出发，通过多种方式，将数学过程拉长，有目的，有方法，有效地进行教学，使教学设计更有底蕴。教学过程中的提问同等重要，不容忽视。所提的问题要精心设计，不能过于频繁，空泛，不能只针对少数学生，却让多数学生冷场，不能只求标准答案，对学生的想法一时不去处理。提问要将学生的兴致引入课堂，问题应具体些，具有挑战性，指向背后的道理。应该引导学生善于发现问题，学会提出有价值的问题。从而提高课堂教学效益，在教学中，教师要经常反思，让反思成为一种习惯，而且更重要的是引领学生经常反思，让学生也养成反思的好习惯。 三、终身学习，提升自己。 平时由于工作忙，很少潜下心来学习，相当于新时期的半文盲，有了这次网络培训，让我足不出户就得以再次充电，找到了自己的不足，明确了今后努力的方向，真正感觉到到终身学习的重要性。我要以这次培训作为起点，活到老，学到老，博览群书，不断进取，不断创新，探索，提高自己的教学教研能力，养成终身学习的习惯，和学生共同成长，与时俱进。以高度的责任心对待自己的工作，大胆尝

小学数学教师个人校本培训总结

小学数学教师个人校本培训总结 一、积极参加区骨干教师联盟活动，并承担公开课一节。在活动中不断充实自己，提高自己的业务水平。 二、积极参加学校的校本教研，在活动中认真记录，努力提高。 1、开展有效课堂教学研究提高课堂教学质量 认真开展有效备课，有效课堂教学、有效作业设计和批改的研究，严格要求自己，在听课之后，与大家共同讨论分析，取长补短，发 表自己的见解。这使我受益匪浅。 2、积极听课、研讨，总结优点，发现不足，逐步提高;使自己不断走向成熟，给课堂注入更多的活力，取得更大的效益。 3、自我反思及案例 反思，是教师提高教学水平的一种有效方法，经过不断的反思与积累，悟出了一些道理，丰富、完善了自己的课堂，最大限度的调 动了学生学习的积极性与主动性。 三、参加多种校本培训模式，全面提升自我素质 2、自主学习模式。我学习教学理论、自我反思，找出自己在某 一方面的不足，然后制定自培计划，并实施计划，以弥补自身不足，提高自身能力的方式。 四、培训内容丰富多彩 1、加强师德培养 2、新课程理念培训。 总之，在工作中，有收获信任的喜悦，也有困惑的苦恼。路漫漫兮我将上下求索，为这最光辉的事业奉献着无悔的人生。

20xx年我有机会参加了多次的教师培训，这些培训课程对我今 后的教学工作有着重大影响和指导意义，各位专家的讲座给了我很 多启示，让我受益匪浅，下面就是我在今年的培训中的一些体会。 一、在培训学习、交流和反思中的认识与体会 二、培训中的粗浅思考 首先，通过远程网络培训使广大一线教师认清初中课程改革的形势，使每一位教师能够从国家和民族利益出发，从时代发展的要求 出发，树立初中新课程改革的责任感、紧迫感和使命感，要以满腔 的热 情和教育科学研究的姿态，积极投身于这场史无前例的初中新课程改革之中，结合教育学、心理学的理论，深入学习理解《初中语 文课程标准》中的理念，转变教育观念并在自己的教育教学实践中 不断交流、创新和提初。 第二，学校要为教师的专业化发展提供良好的环境和条件。倡导民主、平等、自由、团结、和谐的学校学术氛围;倡导崇尚学术，追 求卓越的学术思想。鼓励教师钻研业务并在自己的教育教学实践中 大胆创新、立志成为教育教学的学术专家。只有教师树立了崇尚学术，追求卓越的学术思想，才能在民主、平等、自由、团结、和谐 的的环境中，抛弃功利思想，静下心来潜心钻研业务，完成自己的 专业化成长道路。 第三，加强教师间的学术交流，重点培训和全员培训相结合。大力开展初中新课程改革的学术交流活动，尤其要加强学校教研组、 年级备课组等组织的专业学术研讨，促进教师间的相互交流。思想 上的交流不同于物与物的交换，两人各有一个苹果，相互交换每人 还是一个苹果，如果两人各有一个思想，相互交换、交流的结果， 将使每个人产生两个或更多的思想。重点培养自己的名师，使他们 经常走出去，开拓视野，增长见识，跟上时代发展的脉搏与时俱进，取经回来带动一片。同时，把外校的名师请进来，传经送宝，举办 专题讲座，全员培训本校教师。 第四，充分利用现代网络信息平台，开展广泛的合作与交流

小学数学教师国培学习心得体会

小学数学教师国培学习心得体会 我是一名小学数学教师，首先感谢学校校领导给我们这次学习的机会，学校给我们提供了网络学习的优越条件，为教师专业成长开创了新的基地，特别是让我们教师能在紧张的工作中合理的安排时间进行学习，为我们提供了学习的方便。因此，在培训期间，每天的感觉是紧张而又充实，忙碌而又愉快，在不知不觉中，将近两个月的学习结束了，回味两个月的培训，感触甚深。 一、国培行动，给石柳教师搭建了自主学习的平台。 “形成全民学习，终身学习的学习型社会，促进人的全面发展。”介绍新的全国义务教育数学课程标准的理念、课程标准的三维目标、从双基到四基等新课标中各位老师比较关注的问题进行分析与讲解。就新的全日制义务教育数学课程标准实施的背景下，小学数学教师的素养问题进行了分析与讨论。教育专家的讲座和优秀教师教学过程的实录，使我大开眼界，给我指引了学科教学的新方向和目标，特别是在每个模块的讨论帖中，汇集了同仁们的精美反思和独到的见解，对我的教学起到了推动作用。 二、数学教育教师为本 百年大计，教育为本;教育大计，教师为本，如果说教育是国家发展的基石，教师就是基石的奠基者。教师是知识的传播者和创造者，更要不断地用新的知识充实自己。教师只有学而不厌，才能做到诲人不倦。 三、国培行动，给教师开辟了自我反思的驿站。 国培行动，以开放自由的特点，为我们教师打开一扇收纳外来新鲜空气的窗户，汇集了四面八方的精华，欣赏广大同仁们精美的帖子和反思，还有对教学的一些独到的见解，使我深刻体会到山外有山人外有人的含义，同时也使我产生强烈的震撼，使我深刻意识到反思不再是应付学校常规检查而所做，而要真正反思每堂课的成功和不足之处，不再使反思成为一种形式，而要使它成为一种真正习惯，一种动力。 通过国培行动，在以后的工作中我要做到以下几点： 一、不断学习。 “活到老，学到老，知识也有保质期”，因此，知识更新是必要的，我要抽出课余时间通过不同的形式和资源学习专业知识。 二、自我反思。 在教学中不断进行反思，从以往的教学实践中找出“得”与“失”，转“败”为“胜”，吸取教训，总结经验，吃一堑，长一智，日积月累，形成自己的教学风格，不断提高教学成绩。 三、相互交流。 虚心同同事相互交流，相互学习，虚心听取同事们直言不讳的真言，久而久之，一定会大有进步和发展的。 总之，这次国培行动使我受益匪浅，感谢“国培”为我们提供了这么难得的合理的自由学习机会，我决心把培训中所学的业务知识运用到教学实践中去，努力与学生共同进步、共同发展。

小学数学竞赛：定义新运算.教师版解题技巧 培优 易错 难

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算