隐函数的微分法习题

隐函数的微分法习题

1. 书上习题8 33.

2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由

0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x

f 。 3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定，求dx

du 。 4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：

2=-xy e xy 和dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx

du 。 5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。

6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。

1. 书上习题8 33.

证明由方程组所???'=+-=++)

(cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y

z x z =??+??，其中),(y x αα=，)(αf 为任意可微分的函数。

在（1）两边同时对x 求偏导数：

x

f x z z x y x x ??'=???+???+???-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到：

αcos 1-=???x

z z 即αc o s z x z -=?? α222cos )(z x

z =??， 同理 可得 α222s i n )(z y

z =??， 故 222)()(z y

z x z =??+??。

2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由

0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x

f 。 x

z yz e yz e f x x x ???+='22， 方程两边同时对x 求偏导：

01=??++??+x

z xy yz x z ∴ xy

yz x z ++-=??11， 当x=0, y=1, z= -1时

0|11|)1,1,0()1,1,0(=++-=??--xy

yz x z 故 1|]2[)1,1,0()1,1,0(2=???+=-'-x

z yz e yz e f x

x x 。

3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy （1）和0=-xz e z （2）所确定，求dx

du 。 dx

dz z f dx dy y f x f dx du ???+???+??= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到

xy

y xe y e dx dy xy xy -=--=112 x

xz z x e z dx dz z -=---= 上两式代入（*）得：

x

xz z z f xy y y f x f dx du -???+-???+??=12。

4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：

2=-xy e xy （1）和dt t t e z x x ?-=0sin （2），求dx

du 。 dx

dz z f dx dy y f x f dx du ???+???+??= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到

（1） 0)()(=+-+dx

dy x y dx dy x y e xy

∴ x

y dx dy -= （2） )1()s i n (dx dz z x z x e x ---= ∴ )

sin()(1z x z x e dx dz x ---= 上两式代入（*）得：

))s i n ()(1(z x z x e z f x y y f x f dx du x ---???+???-??=。

5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-（1）所确定，求du 。

dz f dy f dx f du z y x

'+'+'= （*） （法1）

对（1）求微分：

dz e ze dy e ye dx e xe z z y y x x )()()(+=+-+， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y

z x

)1()1()1()1(+++++=

把上式代入（*）得到

dy f e z e y f dx f e z e x f du z z y y z z x x

))1()1(())1()1(('+++'+'+++'=。

（法2） 令z y x ze ye xe z y x F --=),,(，

x x e x F )1(+='， y y e y F )1(+-='，

z z e z F )1(+-='，

z x z x e

z e x F F x z )1()1(++=''-=??， z y z y e

z e y F F y z )1()1(++=''-=??， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y z x )1()1()1()1(+++++=

代入（*）即可。

6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。

令 y x u +=，z y v +=， x z w += ∴ 0),,(=w v u F （*） 在（*）两边对x 求偏导，得

0)1(1=??+'+???'+?'x

z F x z F F w v u 得到 w

v w u F F F F x z '+''+'-=?? 在（*）两边对y 求偏导，得

0)1(1=??'+??+?'+?'y

z F y z F F w v u 得到 w

v v u F F F F y z '+''+'-=?? ∴ dy y

z dx x z dz ??+??= dy F F F F dx F F F F w v v u w v w u '+''+'-'+''+'-=。

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

隐函数的求导方法总结

河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

第6章 多元函数微分学6-8导学解答(6.2.3 隐函数及其微分法)

6．2 多元函数微分法 6．2．3 隐函数及其微分法 一、相关问题 1.下面各方程和方程组能确定几个几元函数？ （1）0), (=y x F ； （2）0),,(=z y x F ； （3）?? ?==0 ),,(0) ,,(z y x G z y x F ； （4）?? ?==0 ),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5）?? ?? ?===),(),(),(v u z z v u y y v u x x 二、相关知识 1.如何确定隐函数的因变量及自变量？ 2.求隐函数的偏导数的方法有哪些？ 3.一般来说m 个n m +元方程可以确定几个几元函数？如何确定因变量和自变量？ 三、练习题 1.方程组22222z x y x y z ?+= ???++=? 在点（1，-1, 2）附近能否确定隐函数？并求隐函数的导数。 解 记 ()()2 2 2 ,,,,,22 z F x y z x y G x y z x y z =+-=++-，则 F , G 连续，且具有连续的偏导数；记()01 ,1,2P -，则 ()()()()00 0022,0,0; ||4011,p p x y F G F P G P x y ?====≠?， 根据隐函数组存在定理，必存在隐函数组()() x x z y y z =???=??且可以用以下方法求得隐函数的导数。 由方程组 ()()222 ,,0 2 ,,20z F x y z x y G x y z x y z ?=+-=???=++-=? 两边对 z 求导，视x 与 y 为z 的函数，得 ()()()()'' '' 220 10 xx z yy z z x z y z ?+-=??++=??

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

隐函数的微分法习题

隐函数的微分法习题 1. 书上习题8 33. 2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由 0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x f 。 3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定，求dx du 。 4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定： 2=-xy e xy 和dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。 6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。

1. 书上习题8 33. 证明由方程组所???'=+-=++) (cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y z x z =??+??，其中),(y x αα=，)(αf 为任意可微分的函数。 在（1）两边同时对x 求偏导数： x f x z z x y x x ??'=???+???+???-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到： αcos 1-=???x z z 即αc o s z x z -=?? α222cos )(z x z =??， 同理 可得 α222s i n )(z y z =??， 故 222)()(z y z x z =??+??。

微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导） 一．累次极限与重极限 例.1 ()y x f ,= ? ?=?≠?+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x 例.2 ??? ??=+≠++=0 03),(22222 2y x y x y x xy y x f 例.3 22 222(,)() x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0 →→不存在。 一般结论： 二．多元函数的极限与连续，连续函数性质 例.4 求下列极限： （1） 1 1 ) 0,1(),() (lim -+++→+y x y x y x y x ； （2） )ln()(lim 22) 0,0(),(y x y x y x ++→; （3） (,)(0,0)sin() lim x y xy x →； （4）22lim x y x y x xy y →∞→∞ +-+； （5）2 2 () lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +。 例.5 证明：极限0) ( lim 2 2 2) ,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．

例.6 若()y x f z ,=在2 R 上连续, 且 ()22 lim ,x y f x y +→+∞ =+∞, 证明 函数f 在2R 上一 定有最小值点。 例.7 )(x f 在n R 上连续,且 (1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>?c )()(x x cf c f = 例.8 若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且 a y x y x y x f y x =++-→2 2 2 2) 0,0(),(),(lim a 为常数。证明： （1）),(y x f 在)0,0(点连续； （2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。 例.9 函数?? ???=+≠+++=0,00),sin(),(2 22 2222 2y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点是否连续? (填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)． 三．多元函数的全微分与偏导数 例.10 有如下做法： 设),()(),(y x y x y x f ?+=其中),(y x ?在)0,0(点连续, 则 [][] dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(????+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=?. (1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法. 例.11 设二元函数),(y x f 于全平面2 ?上可微，),(b a 为平面2 ?上给定的一点，则极限 =--+→x b x a f b x a f x ) ,(),(lim 。 例.12 设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，

2.4隐函数微分法

高等数学AⅠ 吉林大学数学学院 金今姬

第二章多元函数的微分学及其应用 一、偏导数 二、全微分 三、复合函数的微分法 四、隐函数微分法 五、方向导数与梯度 六、多元微分学的几何应用 七、多元函数的Taylor公式与极值问题

§4隐函数微分法 4.1 由方程式确定的隐函数的微分法4.2 由方程组确定的隐函数的微分法4.3 Jacobi行列式的性质

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程012 2=?+y x 除了(-1,0),(1,0)外, 能确定隐函数; 在(-1,0),(1,0)的任何邻域内,y 都有两个值2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 所以不能确定隐函数; 2 1x y ?±=

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法 定理4.1 设函数),(00y x P ),(y x F ;0),(00=y x F 则(1)方程00),(x y x F 在点=单值连续函数 y = f (x ) ,,)(00x f y =(2)函数y = f (x )在点x 0的某邻域内具有连续的偏导数， y x F F x y ?=d d (隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足 ),(00≠y x F y ②满足并且()[],0,≡x f x F

))(,(≡x f x F 两边对 x 求导 0d d ≡??+??x y y F x F y x F F x y ?=d d 0 ≠y F ,0),()(所确定的隐函数为方程设==y x F x f y 在),(00y x 的某邻域内则

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全

高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念

第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2

如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1

.隐函数微分法

第五节 隐函数微分法 教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论； (2) 会求隐函数的导数和偏导数。 教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、一个方程的情形 1.(,)0F x y = 定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ， ②00(,)0F x y =， ③00(,)0y F x y ≠， 则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有 y x F F dx dy -=. （1） 说明： 1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x = 2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且 .y x F dx dy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导： 设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 ()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡ 两边对x 求导，得 0,x y dy F F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得 y x F F dx dy -=。 隐函数的求导公式

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．

多元函数微分习题

多元函数微分学 1．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 2．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连 续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 3．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 4．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答C 5．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 （ ）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答B 6．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（ ）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微 答C

隐函数的求导方法总结

百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册

. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）

. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：

多元函数微分法及其应用复习题及解答

多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12 ； (D)存在且不等于0或 12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 +； (B) - +y x y 22 ； (C) y x y 22 + ； (D) -+x x y 22

多元函数微分法及其应用 复习题

第八章多元函数微分法及其应用 教学与考试基本要求 1．理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2．会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等； 3．会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程； 4．会求方向导数和梯度 5．会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题． 多元函数的概念

二、常考题型 1.多元复合函数的定义域 例1.函数2 2 4arctan y x x y z --=的定义域是_____________． 2.求二元函数极限 例2 求极限 1）222200 sin()lim x y x y x y →→++ 2）x y x xy 1 00)1(lim -→→； 3）22001sin lim y x xy y x +→→．、 4）22 12 3lim x y xy x y x y →→++ 3.证明极限不存在 例3 证明下列极限不存在 （1） y x y x y x +-→→0 0lim （2）362 00 lim x y x y x y →→+ 4. 求偏导数及全微分 例4 求下列函数的偏导数 （1）44224z x y x y =+-； （2 ）u （3）22sin()x y z e xy +=； （4）ln tan x z y =； 例5 求下列函数的全微分 （1 ）z =； （2）(1)y z xy =+； （3）y z u x = ； 例6 求下列函数的偏导数 1） 设4422(,)4f x y x y x y =+-，求(0,1),(0,1)x y f f ． 2 ）(,)(f x y x y =+-(,1)x f x ．

多元函数微分法及其应用练习习题及标准答案.doc

第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1) 若 z f x, y 在区域 D 上的两个混合偏导数 2 z ， 2 z ，则在 D 上， x y y x 2 z 2 z 。 x y y x (2) 函数 z f x, y 在点 x 0 , y 0 处可微的 条件是 z f x, y 在点 x 0 , y 0 处的 偏导数存在。 (3) 函数 z f x, y 在点 x 0 , y 0 可微是 z f x, y 在点 x 0 , y 0 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1) z x y ；(2) u arccos z x 2 y 2 3．求下列各极限 (1) lim sin xy ； (2) lim xy ； (3) lim 1 cos( x 2 y 2 ) x 222 2 x 0 x 0 xy 1 1 x 0 ( x y ) x y y 0 y 0 y 0 4．设 z x ln xy 3 z 3 z 。 ，求 x 2 y 及 x y 2 5．求下列函数的偏导数 (1) z arctg y ； (2) z ln xy ；(3) u e xy 2 z 3 。 x 6．设 z uv 2 t cosu ， u e t ， v ln t ，求全导数 dz 。 dt 7．设 u e x y z ， x t ， y sin t ， z cost ，求 du 。 dt 8．曲线 z x 2 y 2 ，在点 (2,4,5) 处的切线对于 x 轴的倾角是多少 4 y 4 9．求方程 x 2 y 2 z 2 1所确定的函数 z 的偏导数。 a 2 b 2 c 2 10．设 z ye 2 x xsin 2 y ，求所有二阶偏导数。

多元函数微分学及其应用归纳总结习题课

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222(,)(0,0) sin()lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数332 222 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===???

多元函数微分学习题课

第七章多元函数的微分学本章知识结构导图 §7.1 数学家的故事：笛卡尔 勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法国都兰城．笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”．笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠

之一，被誉为“近代科学的始祖”． 笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上 创立了解析 几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向．他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触．解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折．而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础．直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了． 轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立 据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思