2016-2017学年度淮阴师院附中第一学期期中卷

高二文化班数学

总分：160考试时间：120分钟

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.．

1.如果过点(－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________．

2. 圆x 2＋y 2

－4x －4y －10＝0的圆心坐标为 .

3.过点M （3，2）且倾斜角为135°的直线方程为 ．

4.以椭圆15

82

2=+y x 的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是 ． 5．已知βα,是不同的平面，l m ,是不同的直线，给出下列4个命题：

①若,,//αα?m l 则;//m l ②若,,//,m l l =?βαβα 则;//m l

③若α?m m l ,//则α//l ；④若,//,ααm l ⊥则.m l ⊥

则其中真命题为 （写出所有真命题的序号）．

6.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则=+b

a 11________． 7.空间四个点C B A P ,,,在同一个球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且,a PC PB PA ===那么这个球的表面积是 ．

8.已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＝1和l 2：A 2x ＋B 2y ＝1相交于点P （2，3），则过点P 1（A 1，B 1）、P 2（A 2，B 2）的直线方程为 ．

9.已知直线x ﹣2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是 ．

10.过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为 ．

11.若两直线x ﹣2y ＋5＝0与2x ＋my ﹣5＝0互相平行，则实数m ＝ ．

12. 如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为________．

13．已知椭圆C ：x 24＋y 2b

＝1和直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是 .

14．若方程2)(12+=+-x a x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）根据下列条件，求圆的方程． (1) 经过A (6，5)，B (0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上．

(2) 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6．

16.（本小题满分14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，

且PA ＝AB ，点E 是PD 的中点．

(1)求证：AC ⊥PB ；(2)求证：PB ∥平面AEC ；

17．（本小题共14分）设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为

A ，过点A 且与AF 垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF 平行.

(1)求椭圆的离心率； (2)设入射光线与右准线的交点为B ，过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线3x -y +3=0相切，求椭圆的方程. 18. （本小题共16分）已知圆C :，直线:

（1）求证：直线过定点；（2）判断该定点与圆的位置关系；

（3）当为何值时，直线被圆C 截得的弦最长.

19. （本小题共16分）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，AC ∩BD ＝O ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ﹣ACD ，点M 是棱BC 的中点，DM ＝2

．

（1）求证：OM ∥平面ABD ；

（2）求证：平面DOM ⊥平面ABC ；

（3）求三棱锥B ﹣DOM 的体积．

20. （本小题共16分）已知椭圆33:22=+y x C ，过点D （1，0）且不过点E （2，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3=x 交于点M ．

（I ）求椭圆C 的离心率；

（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

高二数学期中答案解析（理科）

1.【答案】1

【解析】由斜率公式知＝1，解得m＝1.

2．（2，2）

3.【答案】x+y﹣5＝0

【解析】解：倾斜角为135°的直线的斜率为﹣1，

故直线方程为y﹣2＝﹣1（x﹣3），即x+y﹣5＝0，

故答案为x+y﹣5＝0．

4.【答案】

【解析】.

5. ②④

6.【答案】

【解析】过BC的直线方程为＝1，

∵A、B、C共线，∴把A(2，2)代入得＝1即.

3a

7. 2

8.【答案】2x＋3y﹣1＝0

【解析】解：∵直线l1和直线l2交于P（2，3），

∴把P（2，3）代入两直线得：2A1＋3B1＝1；2A2＋3B2＝1；

通过观察得到：过点P1（A1，B1）、P2（A2，B2）的直线方程为2x＋3y＝1即2x＋3y﹣1＝0 故答案为2x＋3y﹣1＝0

9.【答案】﹣1≤k≤1且k≠0．

【解析】解：令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝﹣2k．

∴三角形面积S＝|xy|＝k2．

又S ≤1，即k 2

≤1，

∴﹣1≤k ≤1．

又当k ＝0时，直线过原点构不成三角形，故应舍去，

故答案为：﹣1≤k ≤1且k ≠0．

10.【答案】x ＋y ﹣5＝0，或3x ﹣2y ＝0 【解析】解：若直线的截距不为0，可设为

，把P （2，3）代入，得，a ＝5，直线

方程为x ＋y ﹣5＝0 若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P （2，3）代入，得3＝2k ，k ＝，直线方程为3x ﹣2y ＝0 ∴所求直线方程为x ＋y ﹣5＝0，或3x ﹣2y ＝0

故答案为x ＋y ﹣5＝0，或3x ﹣2y ＝0

11.【答案】﹣4

【解析】解：∵两直线x ﹣2y ＋5＝0与2x ＋my ﹣5＝0互相平行，

∴m ＋2×2＝0，解得m ＝﹣4，

故答案为：﹣4．

12.【答案】

【解析】由(a ＋c )2＝2a 2＋b 2，

∵b 2＝a 2－c 2

，

∴c 2＋ac －a 2＝0， ∵e ＝，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝

.

13． [1,4)∪(4，＋∞) 14. ]1,22(- 15. 解：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，

由???=++=-+0910301523y x y x 解得 ?

??-==37y x ，∴圆心为C (7，－3)，半径r ＝65 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65 ………………7分

(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点坐标代入得 ???-=+-=--②F E D ①F E D 1032042 令y ＝0得x 2

＋Dx ＋F ＝0

由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③

解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0

故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0………………14分

16.【答案】(1)证明 由PA ⊥平面ABCD 可得PA ⊥AC .

又AB ⊥AC ，所以AC ⊥平面PAB ，所以AC ⊥PB .

(2)证明 如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，则EO 是△PDB 的中位线，

∴EO ∥PB .又EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，

∴PB ∥平面AEC .

17．⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为?45，

即?=∠45FAO ，所以b c =

． …………………4分

⑵由⑴知,==b c a ，可得()()0,,2,A c B c c -，又AF AB ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的圆心坐标为,22c c ??- ???

，半径12r FB ==， ……………………………………6分 因为过,,A B F 三点的圆恰好与直线330x y -+=相切，

所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r

=，得1c =，……………… 12分

所以1,b a ==，所以椭圆的方程为2

212

x y +=． ……………………14分

18.【答案】（1）证明见解析

（2）点在圆C 内；

（3）当时，直线被圆C截得的弦最长．

【解析】（1）证明：把直线的方程整理成，由于的任意性，有，解此方程组，得，

所以直线恒过定点；

（2）把点的坐标代入圆C的方程，得左边右边，

∴点在圆C内；

（3）当直线经过圆心C(1，2)时，被截得的弦最长(等于圆的直径长)，

此时，直线的斜率，

由直线的方程得，由点C、D的坐标得

∴，解得，

所以，当时，直线被圆C截得的弦最长．

19.【答案】解：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．

又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，

∴OM∥平面ABD．

（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B﹣ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可得BD＝4．

∵O为BD的中点，∴DO＝BD＝2．

∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM＝AB＝2．

因此，OD2＋OM2＝8＝DM2，可得OD⊥OM．

∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，

∴OD⊥平面ABC．

∵OD?平面DOM，

∴平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D﹣BOM的高．

由OD＝2，S△BOM＝×OB×BM×sin60°＝，

所以V B﹣DOM＝V D﹣BOM＝S△BOM＝×DO＝×．

20.【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为.

所以，，.

所以椭圆的离心率.

（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，. 直线的方程为.

令，得.

所以直线的斜率.

（Ⅲ）直线与直线平行.证明如下：

当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.

又因为直线的斜率，所以.

当直线的斜率存在时，设其方程为.

设，，则直线的方程为. 令，得点.

由，得.

所以，.

直线的斜率.

因为

，

所以.

所以.

综上可知，直线与直线平行.