2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷(五) 数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（五） 数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合{}2

|20A x x x =-->,集合1|12x

B x ??????=>?? ?

??????

,则A B =I ( ) A ．(),0-∞ B ．()2,+∞ C ．(),1-∞- D ．()0,∞+

【答案】C

【解析】化简集合A 和B ,根据交集定义,即可求得A B I . 【详解】

∴ {}

2|20A x x x =-->

∴ 化简可得()(),12,A =-∞-?+∞

根据指数函数12x

y ??= ???是减函数

∴ 121x

?? ??>?,即0

1122x ????> ? ?????,故0x < ∴ (),0B =-∞

故(),1A B =-∞-I 故选:C. 【点睛】

本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知复数12

i

z i -=+(i 为虚数单位),则z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

【解析】化简12

i

z i -=

+,可得()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++-,即可求得z 对应的点. 【详解】

Q ()()()()12113

22255

i i i z i i i i ---=

==-++-

∴z对应的点为

13

,

55

??

-

?

??

,故在第四象限

故选:D.

【点睛】

本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.

3．已知实数x,y满足

10

20

22

x y

x y

y x

-+≥

?

?

+-≥

?

?≥-

?

则z x y

=+的最小值是( )

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得z x y

=+的最小值.

【详解】

作出可行域,由z x y

=+,得y x z

=-+,

Q当y x z

=-+与边界直线20

x y

+-=重合时,z取得最小值.

∴可取公共点

13

,

22

??

?

??

,可知

min

13

2

22

z=+=

故选:B.

【点睛】

本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.

4．命题p:2

m=,命题q:直线()1120

m x y m

--+-=与直线230

mx y m

+-=垂直,则p是q成立的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】

Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直

∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.

故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =

∴命题p 是命题q 不必要条件

Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.

故命题p 能推出命题q

∴ 命题p 是命题q 充分条件

综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】

本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.

5．已知()tan 2πθ-=,则sin sin 2πθθ??+ ???

的值为( ) A ．

2

5

B ．25

-

C ．25

±

D ．

45

【答案】B

【解析】由()tan 2πθ-=,可得tan 2θ=-,根据诱导公式化简sin sin 2πθθ??+ ???

,即可求得答案. 【详解】

Q ()tan 2πθ-=

∴ tan 2θ=-

Q sin sin cos sin 2πθθθθ??

+=? ???

222cos sin tan cos sin 1tan θθθ

θθθ

=

=++

22

145

-=

=-+ 故选:B. 【点睛】

本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题. 6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:()046

h

V S S S '=

++,式中h ,S ,S ',0S 依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线()2

0y x

x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛

卜生公式可求得该几何体的体积V =( )

A ．

2

π B ．π

C ．2π

D ．4π

【答案】C

【解析】根据“辛卜生公式”:()046

h

V S S S '=++,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】

Q 根据辛卜生公式:()046

h

V S S S '=

++ Q 根据题意可知该几何体是由,曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转

一周得到.

∴ 0S '=,2

2

2S π

π==,2

01S ππ=?=,

∴ 根据辛卜生公式()2

20426

V πππ=

?++= 故选:C. 【点睛】

本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题.

7．已知()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()3f x f x +=-,当[)0,3x ∈时,()2x

f x =,则

12log 192f ??

= ???

( ) A ．

1

2

B ．

13

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】利用偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-求出函数的周期,然后化简12

log 192f ?? ??

?

,通过周期

性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】

Q 当0x ≥时,()()3f x f x +=-,

∴ ()()6f x f x +=,故()f x 最小正周期:6T =. Q ()122

log 192log 192f f ??=- ??

?

,

又Q ()f x 为偶函数

故()()()222log 192log 192log 643f f f -==?()()2log 3

226log 3log 323f f =+===

故选D. 【点睛】

本题考查了函数的周期性,需要掌握(+)()f m x f x =的周期为m ,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )

A ．

2022

2023

B ．

1011

2013

C ．

1010

2021

D ．

2020

2021

【答案】C

【解析】由程序框图可得111

133520192021

S =+++

???L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】 由程序框图可知:

111

133520192021

S =

+++

???L 1111111233520192021??=?-+-+???+- ??? 11120201010122021220212021

??=-=?

= ??? 故选:C. 【点睛】

本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.

9．已知向量()2,0a =r ,向量(3b =r ,向量c r

满足3c a b --=

r r r ,则c r

的最大值为( )

A ．

3

3

B ．3

C ． 3

D ．33【答案】D

【解析】设(),c x y =r ,()2,0a =r

,(3b =r ,则(3,3c a b x y --=-r r r ,即可求得

()(2

2

33

3x y -+=,将c r

的起点放到坐标原点,则终点在以(3为圆心,3,即可求

得c r 的最大值. 【详解】

Q 设(),c x y =r ,()2,0a =r

,(3b =r

∴ (3,3c a b x y --=--r r r

故()

()

2

2

33

3c a b x y --=

-+-=r r r 即()(2

2

33

3x y -+-=

Q 将c r

的起点放到坐标原点,则终点在以(3为圆心,3.

∴c r

的最大值即:圆心到原点的距离+半径,93333+=故选:D. 【点睛】

本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.

10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等4位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A ．

736

B ．

16

C ．

29

D ．

772

【答案】A

【解析】根据题意,基本事件数234336n C A =?=,甲去（3）班,有222A =种,甲去（2）班,有211

2225

C C C +?=种,即可求得答案. 【详解】

根据题意基本事件数23

4336n C A =?= Q ①甲去（3）班,有2

22A =种, ②甲去（2）班,有211

2225C C C +?=种,

∴ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:736

P =

, 故选:A. 【点睛】

本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.

11．已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A ．无最小值

B ．无最大值

C ．有最小值,最小值为1

D ．有最大值,5【答案】D

【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2

224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切

点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离. 【详解】

设()11,A x y ,()22,B x y ,

可得2114x y =,2

224x y =

Q 以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=

-,即112

x

y x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :2

22

x y x y =- ——② 设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y

∴ ()00,P x y 代入①②得1001

2002,2,2x y x y x y x y ?=-????=-??

所以直线AB 的方程为002x

y x y =

-,即002x y x y =-, 又Q 002y x =-,即0122x y x ??=-+

???

Q AB 过定点()2,2P ,

∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为()()

22

20125-+-=当AB 过点F 时,距离的最小值为0 故选:D . 【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

12．已知函数()()()()()2

2213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．1,2e ??

???

B ．11,22e +??

???

C ．()1,11,2e ??

???

U D ．11,11,22e +????

? ?????

U

【答案】D

【解析】因为()0f x =,故()()()()2

22131220x x a a e a x e x ---+++=,化简

为:()()()e 221e 20x

x

a x a x ????-+--+=????,即2e x x a +=

,221e x x a +-=,构造函数()2

e x

x g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】

Q 由()0f x =,()()()()2

22131220x x a a e a x e x ---+++=

∴ 得()()()e 221e 20x x

a x a x ????-+--+=????,

可得:2e x x a +=

,2

21e x

x a +-=, 设()2

e x x g x +=

,则()()1e

x x g x -+'=, Q 当()0g x '>时,1x <-

当()<0g x '时,1x >-

∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,

故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.

Q x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,

则0e

021e 21a a a a

<

<-

,可得11e 22a +<<

,1a ≠, 故选:D. 【点睛】

本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.

二、填空题

13．二项式24

62x x ??- ??

?展开式中的常数项为______.

【答案】－32

【解析】写出二项式24

62x x ??- ??

?展开通项公式:()()462142r

r r r r T C x x --+=-,即可求得答案. 【详解】

Q 二项式24

62x x ??- ??

?展开通项公式: ()

()

()46224814422r

r

r

r r r r

r T C x x C x ---+=-=-

∴ 当3r =时,()()3

2483442232r r r

C x C -=--=-

∴二项式24

62x x ??- ??

?展开式中的常数项为:32-. 故答案为:32-. 【点睛】

本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.

14．已知函数()()()sin 2cos 202f x x x π????

?

=+++<< ??

?

,将()f x 的图像向右平移

12

π

个单位后

得到的函数图像关于y 轴对称,则?的值为______. 【答案】

512

π 【解析】将()()()sin 2cos 202f x x x π?????

=+++<<

??

?

化简可得:()224f x x π??

?=

++ ??

?,

将()f x 的图像向右平移12

π

个单位后得:()2212g x x π??

?=

++ ??

?,根据()g x 图像关于y 轴对称,

即可求得答案. 【详解】

Q ()()()sin 2cos 202f x x x π????

?=+++<< ???

∴ 由辅助角公式可得:()224f x x π??

?=++ ??

?

将()f x 的图像向右平移

12

π

个单位后得:()2212g x x π??

?=

++ ??

?

∴ ()2212g x x π??

?=++ ??

?图像关于y 轴对称

∴()12

2

k k π

π

?π+

=+

∈Z ,512

k ?ππ=+,又02

π

?<<

,

∴0k =,512

?π=

. 故答案为:512

π. 【点睛】

本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

15．已知双曲线C :22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的

渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______. 51

【解析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c b

y x

a ?+=?

?=??

解得,,

x a y b =??

=?,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +?? ???,将其代入22

221x y a b -=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】

Q 以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,

∴ 222

x y c b

y x

a ?+=?

?=??

解得:,,x a y b =??=? 故(),P a b , 又Q ()2,0F c ,

∴,22a c b M +?? ???,代入双曲线方程22221x y a b

-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=

∴ 15e =-±,又1e >, ∴51e =.

故答案为51. 【点睛】

本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.

16．已知数列{}n a ,满足()(

)*

112n n na n a n +--=∈N

,{}n

a 的前n 项和为n

S

,对任意的*n ∈N ,当

5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______.

【答案】()5,6

【解析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()11212

12n n n n na n a n a na +++?--=??

+-=??

可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围.

【详解】

Q 由()112n n na n a +--=,

∴ 当1n =,得12a =.

Q ()112n n na n a +--=——①

可得()1212n n n a na +++-=——②

∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.

又Q 120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <, 即240,250

d d +>??

+

25d ?-<<-,

又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6. 【点睛】

本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

三、解答题

17．已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:11

2b =

,24164

b b ?=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++???+<.

【答案】（1）n a n =，12n

n b ??= ???

（2）证明见解析

【解析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,

35,

a d a a d +=??

++=?即可求得首项和公差,即可求得

{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ?==

,2

3118

b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12n

n b ??= ???,所以()2

3

1

11111123122222n n

n T n n -????????

=?+?+?+???+-?+? ? ? ? ???????

??

,

根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】

（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,

∴1112,

35,

a d a a d +=??

++=?

∴11,1,a d =??=?

∴()11n a a n d n =+-=.

Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >,

∴2243164b b b ?==

,2

3118

b b q ==, ∴12q =,1

111222n n

n b -????

=?= ? ?????

. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++???+,

∴ ()231

11111123122222n n

n T n n -????????

=?+?+?+???+-?+? ? ?

? ???????

??

——①

可得:()231

11111

12122222n n n T n n +????????=?+?+???+-?+? ? ? ? ?????????

——②

∴由①-②得:23111112211111111222222212

n

n n n n T n n ++????

- ? ?

?

??

????????????=+++???+-?=-? ? ? ? ? ???????????

-

,

∴1

112222n n

n T n -????

=--?< ? ???

??

.

故11222n n a b a b a b ++???+<. 【点睛】

本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.

18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y (单位:十亿元).绘制如下表1: 表1 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

销售额

y

0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5 172.5 218 268

根据以上数据绘制散点图,如图所示.

(1)根据散点图判断,y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)

(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数ξ的分布列与期望.

参考数据:2

i i t x =.

10

1

1020i i y ==∑

10

1

8088i i i x y ==∑

10

1

385i i t ==∑

10

21

25380i i t =≈∑

10

1

67770i i i t y =≈∑

()

2

1483t

≈

参考公式:对于一组数据()11,u v ,()22,u v ,…,(),n n u v ,其回归直线$μv

a u β=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为μ12

2111

1

n

i n

i u v nuv

u nu

β

==-=-∑∑,μμv u α

β=-$. 【答案】（1）2

y cx d =+更适宜（2）$22.7 2.0y x =-，预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元

（3）答案见解析

【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.

（2）根据10

1

10

2

2

1

1010i i

i i t y t y

b

t

t =-=-=-∑∑$,a y bt =-$$,即可求得y 关于x 的回归方程,即可预测2020年天猫双十一

销售额;

（3）因为畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出

()0P ξ=,()1P ξ=,()2P ξ=,()3P ξ=,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.

【详解】

（1）根据其图像的形状可知,2

y cx d =+更适宜.

（2）10

1

10

2

2

1

10677701038.510228500570

2.7253801483010550211

10i i

i i t y t y

b

t

t =-=--??==

==≈--∑∑$,

$102 2.738.5 2.0a

y bt =-=-?≈-$, ∴ $22.7 2.0y x =-,当1x =时,$324.7y =（十亿元）, ∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元.

（3）畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3

()34384105614C P C ξ====,()21

443

8243

1567C C P C ξ?====, ()2144382432567C C P C ξ?====,()343

841

35614

C P C ξ====, ξ

0 1 2 3

P

1

14 37 37 114

∴()1331301231477142

E ξ=?+?+?+?=. 【点睛】

本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力. 19．已知,在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为

a ,

b ,

c ,()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,若1cos 22

B

p q +?=

u r r

. （1）求角B ;

（2）若3b =,求ABC V 面积的最大值. 【答案】（1）2

3B π=

（233 【解析】（1）因为()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22

B

p q +?=u r r 可得:

222cos sin sin sin cos p q C A A C B ?=--=u r r

,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.

（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,则3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】

（1）Q ()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22

B p q +?=

u r r ∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ?=--=u r r

,

可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,

∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.

由正弦定理:222a c ac b ++= 故:2222cos a c b ac ac B +-=-=

∴ 1

cos 2

B =-,

Q 0B π<<,

∴23

B π=.

（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,

∴2293a c ac ac =++≥,

∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =, ∴1333sin 244ABC S ac B ac ==≤V .

∴ABC V 面积的最大值为:334

.

【点睛】

本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c

A B C

==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题. 20．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为22直线l :1y x =-与椭圆C

相交于A ,B 两点,31,44P ??

-

??

?为弦AB 的中点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r

（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.

【答案】（1）2

213

x y +=（2）113m <<或113m -<<-

【解析】（1）因为31,44P ??- ???为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22

221x y

a b

+=利用点

差法,即可求得答案.

（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r , 根据三点共线性质可得:1133

λ+=,则2λ=,将

直线l 和椭圆C 联立方程22

,

33

y kx m x y =+??+=?消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】

（1）Q 焦距为22则2c =设()11,A x y ,()22,B x y ,

Q 31,44P ??

- ???

为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-,

又Q 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22

221x y

a b

+=

∴ 222222

11222222

22b x a y a b b x a y a b

?+=?+=? ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()221212

22121231AB

b x x y y b k x x a y y a

+-==-==-+, ∴223a b =——①. Q 222a c b -=——②

由①②得: 22

3

1

a b ?=?=? ∴椭圆的标准方程为2

213

x y +=.

（2）Q M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r

∴ 根据三点共线性质可得: 1133λ

+=,则2λ=

设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212

033x x +=,

∴122x x =-.

将直线l 和椭圆C 联立方程22

,

33

y kx m x y =+??+=?消掉y . 可得:(

)2

2

2136330k

x

kmx m +++-=.

220310k m ?>?-+>——①,

根据韦达定理:122613km x x k +=-+,2122

33

13m x x k

-=+, 代入122x x =-,可得:22613km x k =+,22

22

33213m x k --=+, ∴ ()

22

22

22363321313k m m k

k --?

=++,即()2229131m k m -?=-. Q 2910m -≠,219

m ≠

, ∴2

2

213091

m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22

2

11091m m m -+->-, ∴()()

2221910m m m --<,

∴

21

19

m <<满足②式, ∴1

13m <<或113m -<<-.

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.

21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；

（2）若不等式23ln 0

322

x x x e x λλ?

?+-≥ ???+

对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ?

? ???,()f x 的单增区间为1,e ??+∞ ???,()1

e

f x =-

极小值,无极大值.（2）127ln

32

λ≤ 【解析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;

（2）223e ln 0322

x

x x x x x λλ???+-≥ ???+,故2

302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ????+?+≥? ? ?????,

()23e 2x f x x f λ?

?+≥ ???,由（1）知()f x 在1,e ??+∞ ???

上单

增,23e 2

x x x λ+≥,23ln 2x x x

λ??

+ ???

≤,即可求得正实数λ的取值范围. 【详解】

（1）Q ()ln f x x x =

∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,

又∴()0f x '>,1e x >

,()0f x '<,10e

x <<. ∴()f x 的单减区间为10,e ??

???,()f x 的单增区间为1,e ??+∞ ???

∴()111

1ln e e e

e f x f ??===- ???极小值,无极大值.

（2）Q 223e ln 0322

x

x x x x x λλ???+-≥ ???+,故2

302

x x +>