一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE 面积最大,并求出其最大值;
(3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-4x+3.(2)当m=5
2
时,四边形AOPE面积最大,最大值为
75
8
.(3)P
点的坐标为:P13+515
2
-
),P2(
35
2
,
1+5
2
),P3(
5
2
,
1+5
2
),
P455
-15
-
.
【解析】
分析:(1)利用对称性可得点D的坐标,利用交点式可得抛物线的解析式;
(2)设P(m,m2-4m+3),根据OE的解析式表示点G的坐标,表示PG的长,根据面积和可得四边形AOPE的面积,利用配方法可得其最大值;
(3)存在四种情况:
如图3,作辅助线,构建全等三角形,证明△OMP≌△PNF,根据OM=PN列方程可得点P 的坐标;同理可得其他图形中点P的坐标.
详解:(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,
由对称性得:D(3,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入得:3=3a,
a=1,
∴抛物线的解析式;y=x2-4x+3;
(2)如图2,设P(m,m2-4m+3),
∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠AOE=45°,
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴AE=OA=3,
∴E(3,3),
易得OE的解析式为:y=x,
过P作PG∥y轴,交OE于点G,
∴G(m,m),
∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE,
=1
2
×3×3+
1
2
PG?AE,
=9
2
+
1
2
×3×(-m2+5m-3),
=-3
2
m2+
15
2
m,
=
32(m-52
)2+758,
∵-
3
2
<0, ∴当m=
52
时,S 有最大值是758;
(3)如图3,过P 作MN ⊥y 轴,交y 轴于M ,交l 于N ,
∵△OPF 是等腰直角三角形,且OP=PF , 易得△OMP ≌△PNF , ∴OM=PN ,
∵P (m ,m 2-4m+3), 则-m 2+4m-3=2-m , 解得:m=
5+5或55
-,
∴P 的坐标为(
5+5,1+5)或(55-,15-);
如图4,过P 作MN ⊥x 轴于N ,过F 作FM ⊥MN 于M ,
同理得△ONP ≌△PMF , ∴PN=FM ,
则-m 2+4m-3=m-2,
解得:35;
P 235,2
);
综上所述,点P 的坐标是:(
2
,2)或(52-,12
35,). 点睛:本题属于二次函数综合题,主要考查了二次函数的综合应用,相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法,解第(2)问时需要运用配方法,解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.
2.已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4,且该抛物线与y 轴的交点为C ,顶点为
D .
(1)求该二次函数的解析式及点C ,D 的坐标; (2)点(,0)P t 是x 轴上的动点,
①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标;
②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点,若线段PQ 与函数2
||23y a x a x =-+的图像只有一个
公共点,求t 的取值范围.
【答案】(1)2y x 2x 3=-++,C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4);(2)①最
,P 的坐标为(3,0)-,②t 的取值范围为3t ≤-或332
t ≤<或7
2t =.
【解析】 【分析】
(1)先利用对称轴公式x=2a
12a
--
=,计算对称轴,即顶点坐标为(1,4),再将两点代入列二元一次方程组求出解析式;
(2)根据三角形的三边关系:可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值,求出直线CD 与x 轴的交点坐标,就是此时点P 的坐标;
(3)先把函数中的绝对值化去,可知22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+,此函数是两个二次函数
的一部分,分三种情况进行计算:①当线段PQ 过点(0,3),即点Q 与点C 重合时,两图象有一个公共点,当线段PQ 过点(3,0),即点P 与点(3,0)重合时,两函数有两个公共点,写出t 的取值;②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x≥0)时有一个公共点时,求t 的值;③当线段PQ 过点(-3,0),即点P 与点(-3,0)重合时,线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x <0)时也有一个公共点,则当t≤-3时,都满足条件;综合以上结
论,得出t 的取值. 【详解】 解:(1)∵2a
x 12a
-=-
=, ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4, ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=, 解得a 1=-.
∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.
C 点坐标为()0,3,顶点
D 的坐标为()1,4.
(2)①∵PC PD CD -≤,
∴当P,C,D 三点在一条直线上时,PC PD -取得最大值.
连接DC 并延长交y 轴于点P ,PC PD CD -===
∴PC PD -
. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入,得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.
②2
y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,
y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+
设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+,将()P t,0,()Q 0,2t 的坐标代入,可得线段
PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.
(1)当线段PQ 过点()3,0-,即点P 与点()3,0-重合时,线段PQ 与函数
22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+
∴当t 3≤-时,线段PQ 与函数22x 23,0,
y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+
(2)当线段PQ 过点()0,3,即点Q 与点C 重合时,线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+
当线段PQ 过点()3,0,即点P 与点()3,0重合时,t 3=,此时线段PQ 与函数
22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+
所以当3
t 32≤<时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+
(3)将y 2x 2t =-+带入()2
y x 2x 3x 0=-++≥,并整理,得2x 4x 2t 30-+-=.
()Δ1642t 3288t =--=-.
令288t 0-=,解得7
t 2
=
. ∴当7
t 2=时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.
x x x x ?-++≥=?--+
综上所述,t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7
t 2
=. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用,先利用待定系数法求解析式,同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起;同时对于二次函数利用动点求取值问题,从特殊点入手,把函数分成几部分考虑,按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.
3.如图1,对称轴为直线x =1的抛物线y =
12
x 2
+bx +c ,与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),且点A 坐标为(-1,0).又P 是抛物线上位于第一象限的点,直线AP 与y 轴交于点D ,与抛物线对称轴交于点E ,点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. (1)求点 B 的坐标和抛物线的表达式; (2)当 AE :EP =1:4 时,求点 E 的坐标;
(3)如图 2,在(2)的条件下,将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′,旋转角为 α(0°<α<90°),连接 C ′D 、C′B ,求 C ′B+
2
3
C′D 的最小值.
【答案】(1)B (3,0);抛物线的表达式为:y=
12
x 2-x-3
2;(2)E(1,6);(3)C ′B +
2 3C′D
【解析】
试题分析:(1)由抛物线的对称轴和过点A,即可得到抛物线的解析式,令y=0,解方程可得B的坐标;
(2)过点P作PF⊥x轴,垂足为F.由平行线分线段弄成比例定理可得
AE AP =
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
,从而求出E的坐标;
(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函数表达式为y=3x+3,得到D(0,3).
如图,取点M(0,4
3
),连接MC′、BM.则可求出OM,BM的长,得到
△MOC′∽△C′OD.进而得到MC′=2
3
C′D,由C′B+
2
3
C′D=C′B+MC′≥BF可得到结论.
试题解析:解:(1)∵抛物线y=1
2
x2+bx+c的对称轴为直线x=1,∴-1
2
2
b
?=1,∴b=-1.
∵抛物线过点A(-1,0),∴1
2
-b+c=0,解得:c=-
3
2
,
即:抛物线的表达式为:y=1
2
x2-x-
3
2
.
令y=0,则1
2
x2-x-
3
2
=0,解得:x1=-1,x2=3,即B(3,0);
(2)过点P作PF⊥x轴,垂足为F.
∵EG∥PF,AE:EP=1:4,∴AE
AP =
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
.
又∵AG=2,∴AF=10,∴F(9,0).
当x=9时,y=30,即P(9,30),PF=30,∴EG=6,∴E(1,6).
(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函数表达式为y=3x+3,则D(0,3).∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称,∴EG=6,∴C(2,0),∴OC′=OC=2.
如图,取点M(0,4
3
),连接MC′、BM.则OM=
4
3
,BM
.
∵
4
2
3
'23
OM
OC
==,
'2
3
OC
OD
=,且∠DOC′=∠C′OD,∴△MOC′∽△C′OD.∴
'2
'3
MC
C D
=,
∴MC′=2
3C′D,∴C′B+
2
3
C′D=C′B+MC′≥BM
,∴C′B+
2
3
C′D
的最小值为
点睛:本题是二次函数的综合题,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式,相似三角形的性质和判定,求得AF 的长是解答问题(2)的关键;和差倍分的转化是解答问题(3)的关键.
4.某厂家生产一种新型电子产品,制造时每件的成本为40元,通过试销发现,销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系,其图象如图所示.
()1求y 与x 的函数关系式;
()2物价部门规定:这种电子产品销售单价不得超过每件80元,那么,当销售单价x 定为每件多少元时,厂家每月获得的利润()w 最大?最大利润是多少?
【答案】(1)2280y x =-+;(2)当销售单价x 定为每件80元时,厂家每月获得的利润()w 最大,最大利润是4800元. 【解析】 【分析】
()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160,利用待定系数法即可求出y 与x 的函数
关系式;
()2先根据利润=销售数量(?销售单价-成本),由试销期间销售单价不低于成本单价,
也不高于每千克80元,结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围,根据二次函数的增减性可得最值.
【详解】
解:()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠, 函数图象经过点()40,200和点()60,160,
{
40200
60160k b k b +=∴+=,解得:{
2
280k b =-=,
y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+.
()2由题意得:()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+.
试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克80元,且电子产品的成本为每千克40元,
∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤.
20-<,
∴当90x <时,w 随x 的增大而增大, 80x ∴=时,w 有最大值, 当80x =时,4800w =,
答:当销售单价x 定为每件80元时,厂家每月获得的利润()w 最大,最大利润是4800元. 【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用,根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键,并注意最值的求法.
5.如图,已知A (﹣2,0),B (4,0),抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点,并与过A 点的直线y=﹣
1
2
x ﹣1交于点C . (1)求抛物线解析式及对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使四边形ACPO 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M 为y 轴右侧抛物线上一点,过点M 作直线AC 的垂线,垂足为N .问:是否存在这样的点N ,使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似,若存在,求出点N 的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为:y=211
184
x x --,抛物线对称轴为直线x=1;(2)存在P 点坐标为(1,﹣1
2
);(3)N 点坐标为(4,﹣3)或(2,﹣1) 【解析】
分析:(1)由待定系数法求解即可;
(2)将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可;
(3)利用相似三角形对应点进行分类讨论,构造图形.设出点N 坐标,表示点M 坐标代入抛物线解析式即可.
详解:(1)把A (-2,0),B (4,0)代入抛物线y=ax 2+bx-1,得
0421
01641a b a b --??
+-?
== 解得18
14a b ?
???
?-??
== ∴抛物线解析式为:y=
18x 2?1
4
x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1
41228
b
a -
=-?
=1 (2)存在
使四边形ACPO 的周长最小,只需PC+PO 最小
∴取点C (0,-1)关于直线x=1的对称点C′(2,-1),连C′O 与直线x=1的交点即为P 点.
设过点C′、O 直线解析式为:y=kx
∴k=-12 ∴y=-12
x
则P 点坐标为(1,-
12
) (3)当△AOC ∽△MNC 时,
如图,延长MN 交y 轴于点D ,过点N 作NE ⊥y 轴于点E
∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似,∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称,则N为DM中点
设点N坐标为(a,-1
2
a-1)
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为(0,-5
2
a?1)
∵N为DM中点
∴点M坐标为(2a,3
2
a?1)
把M代入y=1
8
x2?
1
4
x?1,解得
a=4
则N点坐标为(4,-3)
当△AOC∽△CNM时,∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由(2)N(2,-1)
∴N点坐标为(4,-3)或(2,-1)
点睛:本题为代数几何综合题,考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似.解答时,应用了数形结合和分类讨论的数学思想.
6.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标. 【答案】(1)y=-
21x 2+3
2
x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,1
2
. 【解析】 【分析】
(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;
(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),
①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2; 【详解】
解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,
将点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)代入解析式,
∴0a b c 016a 4b c 2c =-+??
=++??=?
, ∴1a 23b 2?=-????=??
,
∴y=-
21x 2+3
2
x+2;
(2)∵点C 与点D 关于x 轴对称, ∴D (0,-2).
设直线BD 的解析式为y=kx-2. ∵将(4,0)代入得:4k-2=0, ∴k=
12
. ∴直线BD 的解析式为y=
1
2
x-2. 当P 点与A 点重合时,△BQM 是直角三角形,此时Q (-1,0);
当BQ ⊥BD 时,△BQM 是直角三角形, 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8, ∴-2x+8=-21x 2+3
2
x+2,可求x=3或x=4(舍) ∴x=3;
∴Q (3,2)或Q (-1,0); (3)两个和谐点; AO=1,OC=2,
设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1), ①当A 1、C 1在抛物线上时,
∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 22
22?=-++????-=-++++??
,
∴x 1y 3=??=?
,
∴A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,
()22
13y 1x x 222
13y 1(x 2)x 22
22?
-=-++???
?-=-++++??, ∴1
x 221y 8
?=????=??
, ∴A 1的横坐标是
12
;
【点睛】
本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.
7.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是3元,经市场预测,销售单价为40元时,可售出600个;销售单价每涨1元,销售量将减少10个设每个销售单价为x 元. (1)写出销售量y (件)和获得利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系; (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少? 【答案】(1)y =﹣10x+1000;w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 (2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元. 【解析】 【分析】
(1)利用销售单价每涨1元,销售量将减少10个即可表示出y =600﹣10(x ﹣40),再利用w= y?(x ﹣30)即可表示出w 与x 之间的关系式;(2)先将w =﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式,找到对称轴,利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x =46时有最大值,代入求值即可解题. 【详解】 解:
(1)依题意,易得销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系:y =600﹣10(x ﹣
40)=﹣10x+1000
获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系为:w=y?(x﹣30)=(1000﹣
10x)(x﹣30)=﹣10x2+1300x﹣30000
(2)根据题意得,x≥14时且1000﹣10x≥540,解得:44≤x≤46
w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250
∵a=﹣10<0,对称轴x=65
∴当44≤x≤46时,y随x的增大而增大
∴当x=46时,w最大值=8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,难度较大,求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价,熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax﹣3a(a<0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E.
(1)当a=﹣1时,求抛物线顶点D的坐标,OE等于多少;
(2)OE的长是否与a值有关,说明你的理由;
(3)设∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a的取值范围;
(4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.
【答案】(1)(﹣1,4),3;(2)结论:OE的长与a值无关.理由见解析;(3)﹣3≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD的解析式即可解决问题;
(2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断;
(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断;
(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.两条全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解:(1)当a=﹣1时,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,
∴顶点D(﹣1,4),C(0,3),
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
(2)结论:OE的长与a值无关.
理由:∵y=ax2+2ax﹣3a,
∴C(0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a,
当y=0时,x=3,
∴E(3,0),
∴OE=3,
∴OE的长与a值无关.
(3)当β=45°时,OC=OE=3,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
当β=60°时,在Rt△OCE中,OC=3OE=33,
∴﹣3a=33,
∴a=﹣3,
∴45°≤β≤60°,a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1.(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.
∵PD=PE,∠PMD=∠PNE=90°,∠DPE=∠MPN=90°,∴∠DPM=∠EPN,
∴△DPM≌△EPN,
∴PM=PN,PM=EN,
∵D(﹣1,﹣4a),E(3,0),
∴EN=4+n=3﹣m,
∴n=﹣m﹣1,
当顶点D在x轴上时,P(1,﹣2),此时m的值1,∵抛物线的顶点在第二象限,
∴m <1.
∴n=﹣m ﹣1(m <1).
故答案为:(1)(﹣1,4),3;(2)OE 的长与a 值无关;(3)﹣3≤a≤
﹣1;(4)n=﹣m ﹣1(m <1). 【点睛】
本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质。
9.在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -,(3,0)B ,与y 轴交于点C ,连接AC ,BC ,将OBC 沿BC 所在的直线翻折,得到DBC △,连接OD . (1)用含a 的代数式表示点C 的坐标.
(2)如图1,若点D 落在抛物线的对称轴上,且在x 轴上方,求抛物线的解析式.
(3)设OBD 的面积为S 1,OAC 的面积为S 2,若
122
3
S S =,求a 的值.
【答案】(1)(0,3)C a -; (2) 抛物线的表达式为:252535
y x =++
; (3) 22a =-22a =【解析】 【分析】
(1)根据待定系数法,得到抛物线的表达式为:(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--,即可求解;
(2)根据相似三角形的判定证明CPD DQB ∽,再根据相似三角形的性质得到
CP PD CD
DQ BQ BD
==,即可求解; (3)连接OD 交BC 于点H ,过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ,由三角形的面积
公式得到
122
3S S =,29m DM =,11299
m HN DM OC ===,而2
2899m HN ON BN ??
=?== ???
,即可求解.
【详解】
(1)抛物线的表达式为:(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--,即3c a =-,则点
(0,3)C a -;
(2)过点B 作y 轴的平行线BQ ,过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q , ∵90CDP PDC ?∠+∠=,90PDC QDB ?∠+∠=, ∴QDB DCP ∠=∠,
设:(1,)D n ,点(0,3)C a -,
90CPD BQD ?∠=∠=,
∴
CPD DQB ∽,
∴CP PD CD
DQ BQ BD
==, 其中:3CP n a =+,312DQ =-=,1PD =,BQ n =,3CD a =-,3BD =, 将以上数值代入比例式并解得:55
a =±, ∵0a <,故55
a =-
, 故抛物线的表达式为:252535
y x x =-
++
; (3)如图2,当点C 在x 轴上方时,连接OD 交BC 于点H ,则DO BC ⊥, 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ,
设:3OC m a ==-,
113
22
OBD S S OB DM DM ?==
??=,
21
12
OAC S S m ?==
??,而1223S S =
,
则29m DM =,11
299
m HN DM OC ==
=, ∴1193BN BO =
=,则18333
ON =-=, 则DO BC ⊥,HN OB ⊥,
则BHN HON ∠=∠,则tan tan BHN HON ∠=∠,
则2
2
899m HN ON BN ??
=?== ???
,
解得:62m =±(舍去负值),
|3|62CO a =-=,
解得:22a =-(不合题意值已舍去),
故:22a =-.当点C 在x 轴下方时,同理可得:22a =;故:22a =-或
22a =
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算,其中(3)用
几何方法得出:2
2
899m HN ON BN ??
=?== ???
,是本题解题的关键.
10.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)、D (8,8).抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.
(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P 从点A 出发.沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发,沿线段CD 向终点D 运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ,交抛物线于点G.当t 为何值时,线段EG 最长?
②连接EQ .在点P 、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.
【答案】(1)点A 的坐标为(4,8)
将A (4,8)、C (8,0)两点坐标分别代入y=ax 2+bx
得8=16a+4b
0=64a+8b
解得a=,b=4
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=PE
AP
=
BC
AB
,即
PE
AP
=
4
8
∴PE=AP=t.PB=8-t.
∴点E的坐标为(4+t,8-t).
∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)
=-t2+t.
∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2.
②共有三个时刻:t1=16
3
, t2=
40
13
,t3
85
25
.
【解析】
(1)根据题意即可得到点A的坐标,再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,由tan∠PAE,即可表示出点E的坐标,从而得到点G 的坐标,EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标,得到一个函数关系式,根据函数关系式的特征即可求得结果;②考虑腰和底,分情况讨论.