文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 数学选修2-2练习题

数学选修2-2练习题

数学选修2-2

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.. 1.若函数()y f x =在区间(),a b 内可导,且()0,x a b ∈,()()

000

lim

h f x h f x h h

→+--的值

.A ()0'f x .B ()02'f x .C ()02'f x - .D 0

2.若1

x

m e dx =

?

,11

e

n dx x =?

,则m 与n 的大小关系是(.A ) A .m n >

B .m n <

C .m n =

D .无法确定

3.函数()ln f x x x =,则 ()D

.A 在()0,+∞上单增 .B 在()0,+∞上单减 .C 在10,e ?? ???上单增 .D 在10,e ??

???

上单减

4.由曲线2

1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S .给出下列结果: ①

1

21

(1)x dx --?

;②121

(1)x dx --?;③120

2(1)x dx -?;④0

21

2(1)x dx --?.

则S 等于( D ) A .①③ B .③④ C .②③ D .②④

5.

3

20

4x dx -?

等于( C )

A .

21

3 B .

223

C .

233

D .

253

6.0

(sin cos sin )x

y t t t dt =+?

,则y 的最大值是(B )

A .1

B .2

C .72

-

D .0

7、函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( C ) A -1

B-3

C a <-3或a >6

D a <-1或a >2

8、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 ( A )

A

B .

C

D .0

9、

数学选修2-2练习题

数学选修2-2练习题

数学选修2-2练习题

4

2

x

e dx

-?

的值等于 ( C )

42.Ae e -- B .42e e + C .422e e +- D .422e e -+-

10、函数2sin(2)y x x =+导数是 ( C ) A.

2cos(2)x x + B.22sin(2)x x x + C.2(41)cos(2)x x x ++ D.24cos(2)x x +

11、'()f x 是()f x 的导函数,'()f x 的图象如右图所示,则()f x 的图象只可能是(D)

数学选修2-2练习题

数学选修2-2练习题

(A ) (B ) (C ) (D )

12、函数2()2ln f x x x =-的递增区间是 (C )

A .10,2?? ???

B .1,02??- ???及1,2??+∞ ???

C .1,2??+∞ ???

D .1,2?

?-∞- ???及10,2?? ???

第II 卷(非选择题,共90分)

二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分). 13.设函数()()5

ln 23f x x =-,则1'3f ??

= ???

-15

14.计算定积分

π2

20

cos 2

d θ

θ?

=

15.若()f x 是一次函数,且

1

()5f x dx =?

,1

017

()6xf x dx =?,

则21()f x dx x

?的值是 . 16.已知x x f lg )(=,函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠,有如下结论:

①0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<; ②0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-;

;

0)

()(2

121>--x x x f x f

.

2

)()()2(2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确结论的序号是 ① ③ .

三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、求函数()f x =543551x x x +++在区间[]1,4-上的最大值与最小值。 鼎尖教案p125.19题

18、已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (1)求函数)(x f 的单调区间;

(2).函数()f x 的图象的在4x =处切线的斜率为

32.若函数()()321'32m g x x x f x ?

?=++ ?

?

?在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 解:(I ))0()

1()('>-=

x x

x a x f

(2分)

当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为

时x f a

当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞

(II )32ln 2)(,223

43)4('-+-=-==-

=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22

(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m

x x g (6分)

2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间 ???><∴.

0)3(',0)1('g g (8分)??

?

??>-<∴,319,

3m m (10分))3,319(--∈m

(12分)

19.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围;

(II )若()f x '是()f x 的导函数,设2

2

()()6g x f x x '=+-

,试证明:对任意两个不相等正数12x x 、,不等式121238

|()()|||27

g x g x x x ->

-恒成立. 解:(I )226()26a x x a

f x x x x

-+'=-+=, ………………(2分)

∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性,∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0, 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………(4分)

∵226y x x a =-+是对称轴是3

2

x =,开口向上的抛物线,∴222620y a =?-?+< 的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………(6分)

(II )由(I )22

()2a g x x x x =+-,

方法1:2222

()()62(0)a g x f x x x x x x

'=-+=+->,

∵4a <,∴323233

444244

()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=,…………(8分)

设2344()2h x x x =-+,3448124(23)

()x h x x x x -'=-=

()h x 在3(0,)2是减函数,在3(,)2+∞增函数,当32x =时,()h x 取最小值

38

27

∴从而()g x '3827>,∴38(())027g x x '->,函数38

()27

y g x x =-是增函数,

12x x 、是两个不相等正数,不妨设12x x <,则22113838

()()2727g x x g x x ->-

∴212138

()()()27

g x g x x x ->-,∵210x x ->,∴

1212()()3827g x g x x x ->- ∴

1212()()g x g x x x --3827

>

,即121238

|()()|||27g x g x x x ->- ………………(12分) 方法2: 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点,

121222

121212

()()2()2g x g x x x a

x x x x x x -+=+--

,12x x +> 4a <

数学选修2-2练习题

12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+

->+

-12

4

2x x >+- ………(8分)

数学选修2-2练习题

数学选修2-2练习题

设0t t =

>,令32()244MN k u t t t ==+-,()4(32)u t t t '=-,

数学选修2-2练习题

由()0u t '>,得2,3t >由()0u t '<得2

0,3

t <<

()u t ∴在)32,0(上是减函数,在),32(+∞上是增函数,

)(t u ∴在32=t 处取极小值2738,38()27u t ∴≥,∴所以1212

()()g x g x x x --38

27>

即121238

|()()|||27

g x g x x x ->- ………………(12分) 20.已知函数2

1()ln ,()(1),12

f x x a x

g x a x a =

+=+≠-. (I )若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的取

值范围;

(II )若(1,]( 2.71828)a e e ∈= ,设()()()F x f x g x =-,求证:当12,[1,]x x a ∈时,不等式12|()()|1F x F x -<成立. 解:(I )(),()1a

f x x

g x a x

''=+

=+, ……………(2分) ∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,

∴当[1,3]x ∈时,2(1)()

()()0a x a f x g x x

++''?=

≥恒成立, ……………(4分) 即2

(1)()0a x a ++≥恒成立, ∴21a a x >-??≥-?在[1,3]x ∈时恒成立,或2

1a a x

<-??≤-?在[1,3]x ∈时恒成立, ∵91x -≤≤-,∴1a >-或9a ≤- ………………(6分)

(II )21()ln ,(1)2F x x a x a x =

+-+,()(1)

()(1)a x a x F x x a x x

--'=+-+=

∵()F x 定义域是(0,)+∞,(1,]a e ∈,即1a >

∴()F x 在(0,1)是增函数,在(1,)a 实际减函数,在(,)a +∞是增函数

∴当1x =时,()F x 取极大值1

(1)2M F a ==--,

当x a =时,()F x 取极小值21

()ln 2

m F a a a a a ==--, ………………(8分)

∵12,[1,]x x a ∈,∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………(10分)

设211

()ln 22

G a M m a a a =-=--,则()ln 1G a a a '=--, ∴1

[()]1G a a

''=-

,∵(1,]a e ∈,∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数,∴()(1)0G a G ''>=

∴211

()ln 22

G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………(12分)

∴()()G a G e ≤,即2

211(1)()1222

e G a e e -≤--=-,

而22211(1)(31)1112222

e e e ----=-<-=,∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时,不等式

12|()()|1F x F x -<成立 21、(本小题满分12分)

已知函数322382016)(a x a ax x x f y -+-==,其中0≠a 。 (1)求)(x f 的极大值和极小值;

(2)设(1)问中函数取得极大值的点为),(y x P ,求P 点所在的曲线。 21、解:(1)322382016)(a x a ax x x f y -+-== ,其中0≠a

3

,20)('),3)(2(884048)('2

2

a x a x x f a x a x a ax x x f =

==--=+-=∴得由

① 当

2

30a a a <

>时,,见下表

数学选修2-2练习题

∴当

3a x =时,函数取得极大值,27

)3(3a a f =

; 当

2a x =时,函数取得极小值,0

)2

(=a f ② 当

3

20a a a <

<时,,见下表

数学选修2-2练习题

2a x =时,函数取得极大值,0

)2

(=a

f ;

22

2323[2(42)]1(242)1

2

(22)

132

(1)3

a S x x dx a x x dx a x x x a =----=++-=++-=+?

?

3a x =时,函数取得极小值,27)3(3a a f =(2)当0>a 时, ???

????==273

3a y a x ,消去a 得,)0(3>=x x y ;

当0

?????

==

2y a x ,消去a 得,)0(0<=x y ,所以P 点的轨迹方程为:

??

?<>=)

0(0)

0(3x x x y

…………………………………14分

22、(本小题满分14分)

已知A (-1,2)为抛物线C: y=2x 2上的点,直线1

l 过点A ,且与抛物线C 相切,

直线2

l :x=a(a≠-1)交抛物线C 于B ,交直线1

l 于点D.

(1)求直线1

l 的方程.

(2)设BAD ?的面积为S 1,求

BD 及S 1的值.

(3)设由抛物线C ,直线12,l l 所围成的图形的面积为S 2,

求证S 1:S 2的值为与a 无关的常数.

22、(1)由224,y x y x '==得当x=1时,y '

数学选修2-2练习题

数学选修2-2练习题

∴1

l 的方程为y-2=-4(x+1)即(2)

2

2y x x a

?=?

=?得B 点坐标为(22,a a )由

4120

x a x y =??

++=?得D 点坐标(a ,-4a -2)点A 到直线BD 的距离为

1,a +

BD = 2a 2

+4a +2=2(a +1)2

∴S 1=

31

+a ………………………………

(3)当a >-1时,S 1=(a +1)3, 8分

…………………………………………9分

…………………………………………10分

∴S 1:S 2= 3

2

………………………………………………………………………11分 当a <-1时,S 1= -(a +1)3

(12)

3

22

2)1(3

2

)242(1)]24(2[1+-=++-=----=??a dx x x a dx

x x a S ……………………………………………13分 ∴S 1:S 2=3

2

综上可知S 1:S 2的值为与a 无关的常数,这常数是3

2

…………………………………14分