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例题

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1. 推求如图示空间六面体(边长为2)20节点等参数单元的形函数,N 3,N 9

解:对图示中单元,根据试凑法(形

函数的性质),可设

())2(1)1)(1(33?ηξ?ηξα+---++=N

在第3节点,1,1==ηξ,1-=?,13=N ,则1833=-=αN ,解得

81

3-

=α,

())

2(1)1)(1(81

3?ηξ?ηξ+---++-=N

()())1(112

99?ηξα---=N 在第9节点,1-=ξ、1-=η、0=?,19=N ,则1499==αN ,

41

9=

α,

()())1(1141

29?ηξ---=

N

2. 根据有限单元法,给出图示桁架的结构整体节点平衡方程,各杆EA

相同。

已知:

[]

???

???--=

1111L EA k e

, ???

? ?

?=αα

α

αsin 0000sin cos con T 。

解:平面桁架节点位移为x 、y 两个方向的位移u ,v 。

单元1:单元局部坐标系下单元刚度矩阵:

[]?????

?--=11

11

11

EA

k 。(2分)

单元局部坐标系与整体坐标系一致,0=α,

[]???

???=01000001T , 整体坐标系下单元刚度阵:

[][][]

[]T k T k T

11==????????????--00

00

0101

00000101

EA ,(2分)

定位向量=(0,0,1,2),

[]

?

??

???=00011

22EA k (2分)

单元2:单元局部坐标系下单元刚度矩阵:

[]????

?

?--=11

11

22

EA k (2分)

单元局部坐标系x 轴与整体坐标系x 轴夹角,0

135=α,

[]???

???--=

1100001122T ,

整体坐标系下单元刚度阵:

[][][

]

[]T k T k T 22==?

?????--??????--????????????--11000011111110100101212EA =

?

?

?

?????????--------111111111111111122EA (2分)

定位向量=(1,2,0,0),

[]??????--=

111142

211EA k (2分)

结构整体节点位移列阵:{}()T

v u 11

1=?,(2分)

结构整体刚度矩阵:

[][][]???

?

??--=+=354.0354.0354.0354.1211122EA k k K ,(2分)

A —5—4

结构整体荷载矩阵:{}[]T

P

1051=,{}()T

v u 111=?(2分)

结构整体节点平衡方程:????

??=???? ????????--105354.0354.0354.0354.111v u EA (2分)

3.求图示正方形(边长为2)八结点单元形函数。

解:设)1)(1)(1(1ηξηξα++--=N (2分)

当1,1-=-=ηξ时,)

1)(1)(1(41

,41,1411ηξηξαα++---=-==-=N N (2分)

)1)(1(2

5ηξα--=N (2分) 当

)

1)(1(2

1,21

,12,1,0255ηξααηξ--====-==N N (2分)

对节点2、3、4,6、7、8分别进行计算,令ξξξi =0,ηηηi =0,可得各节点形函数

)

1)(1)(1(41

0000ηξηξ--++-=i N ,4,3,2,1=i (2分) )1)(1(21

02ηξ+-=

i N ,7,5=i (2分) )1)(1(21

20ηξ-+=

i N ,8,6=i (2分)

4.试用有限单元法,计算图示连续梁(线刚度为i )的节点转角。(共16分)

附:

[]{}T

P e ql ql F i i i i k )121,121(,422422-=????

??=

解:单元刚度矩阵,[][]???

?

??==i i i i k k 422421,仅单元2有等效节点荷载{}[]

q q F P 332

-=(4分)

单元1、2的节点位移(转角)列阵分别为()T

21,θθ、()T 32,θθ,连续梁节点位移(转

角)列阵:

{}[]T

321θθθ=?(2分)

由单元1、2的单元刚度矩阵,装配得到连续梁刚度矩阵

[]??

???

?????=i i i i i i i K 420282024(2分) 由单元1、2的单元荷载矩阵,得到荷载列阵{}[]T

q q P 330-=。(2分)

引入边界条件01=θ,去掉连续梁刚度矩阵的第一行、第一列,去掉荷载列阵的第一个元素,得到连续梁节点平衡方程:

???

???-=????????????q q i i i i 33422832θθ(2分)

解出

i q

i q 75.7,75.432-==

θθ(4分)

5. 受均布载荷作用的悬臂梁如图所示。剖分成两个单元,已知平面梁单元单元刚度

矩阵,求结点位移。(共18分)

[]????????????------=22223

46266126122646612612

L L L L L L L L L L L L L EI K e

解:两单元刚度矩阵:

[]?????????

???------=46266126122646612612

EI K e

(3分)

总体刚度矩阵:

2KN/m

1KNm

[]?????

?

???

???????????----------=4626006126120026802661202461200264600612612

EI K (4分) 单元等效结点荷载:

N

qL V V j i 10002/-=-==

Nm qL M M j i 6/100012/2===-(2分)

总体结点荷载向量

()

6/50001000020006/10001000][11-----=M Q P y (2分)

用降阶法引入约束后的刚度方程

?

???

??????

????---=??????????????????????????------6500010000200046266126122680612024

3322θθv v EI (3分)

解得:

EI EI

v EI

EI

v 314000

,6000

,310000

,35750

3322-

=-=-

=-

=θθ(4分)

6. 求如下图示空间8节点八面体单元的形函数,已知八面体单元各边长为2,局部坐标系原点位于单元中心。(8分)

解:根据单元形函数的性质,在本节点取值1、在其他节点取值0,则对节点1,2-7、3-8、5-7三个坐标面的方程分别为01=-η、01=+ξ、01=-?, 设)1)(1)(1(1?ηξα--+=N 在节点1,1,1,1-=-==?ηξ,

81

,181=

==ααN ,所以

)

1)(1)(1(81

1?ηξ--+=N (6分)

对节点2~8进行同样计算,可得个节点形函数

)

1)(1)(1(81

000?ηξ+++=i N

ξξξi =0,ηηηi =0,???i =0,8,,2,1 =i (2分)

八年级物理浮力复习知识点、题型整理及答案32554

《浮力》复习提纲 第一节:使用托盘天平测量物体质量的步骤: 0.估测被测物体质量,选择合适量程(称量)和分度值(感量)的天平,观察铭牌。 1.将托盘天平放在水平桌面(或实验台)上。水平放置 2.将游码拨至标尺左端的零刻线处。游码归零 3.调节平衡螺母,使横梁平衡。平衡螺母 4.把被测物体放在左盘内,按“先大后小”顺序选择适当砝码,用镊子向右盘里增减砝码并调节游码在标尺 上的位置,直到横梁平衡。左物右码 5.盘里砝码的总质量加上游码所对的刻度值,就等于被测物体的质量。被测物体质量=砝码值+游码值 6.取下物体,用镊子将砝码放回盒中,游码归零,实验完毕。 注:判断横梁平衡方法:a.指针指在分度盘的中线处;b.指针左右摆动幅度相同。(黑体字为口诀) 第二节:关于密度的计算: 1、密度:单位体积的某种物质的质量。密度是物质的一种特性(反映了相同体积的不同物质,质量一般不同)。同种物质的密度受状态和温度的影响,但在物态和温度不变时为一定值。不同物质的密度一般不同。 从公式ρ=m/v 分析:ρ与m 或v 没有关系,只有当ρ一定时,m 与v 成正比。 密度单位之间的换算:1g/cm 3=103 kg /m3, (即水的密度) 2、密度的测量时的注意: 1)量筒使用前必须观察它的分度值和量程,底部放水平,读数时与液面的底部相平。 2)用排水法测不规则固体体积时所用固体不吸水,不溶水,不与水发生化学反应。 3)测固体密度时必须先测量质量后测量体积,防止因固体沾水测量值偏大,测量液体密度时想尽办法减少容器内壁沾水而造成液体体积偏小。实验室常用量筒或量杯测量液体和不规则固体的体积。1mL=1cm 3 1L=1dm3。量筒的刻度是均匀的,量杯的刻度上密下疏。 3、计算合金密度:甲乙两种物体的密度分别为ρ1和ρ2:等质量混合,混合后的密度为2ρ1ρ2/ρ1+ρ2;等体积混合,混合后的密度为(ρ1+ρ2)/2。 一、浮力的定义:一切浸入液体(气体)的物体都受到液体(气体)对它竖直向上的力 叫浮力。 二、浮力方向:竖直向上,施力物体:液(气)体 三、浮力产生的原因(实质):液(气)体对物体向上的压力大于向下的压力,向上、向下的压力差 即浮力。 四、物体的浮沉条件: 1、前提条件:物体浸没在液体中,且只受浮力和重力。 2、请根据示意图完成下空。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 3、说明: ① 密度均匀的物体悬浮(或漂浮)在某液体中,若把物体切成大小不等的两块,则大块、小块都悬浮(或漂 浮)。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中,若露出体积为物体总体积的1/3,则物体密度为 2 3ρ 分析:F 浮 = G 则:ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=( V 排/V )·ρ液= 2 3ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同: F 浮 = G 不同:悬浮ρ液 =ρ物 ;V 排=V 物 漂浮ρ液 <ρ物;V 排

2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②

《幂的运算》习题精选及答案

《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算(﹣2)100+(﹣2)99所得的结果是() A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时,下列等式成立的有() (1)a2m=(a m)2;(2)a2m=(a2)m;(3)a2m=(﹣a m)2;(4)a2m=(﹣a2)m. A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是() A、2x+3y=5xy B、(﹣3x2y)3=﹣9x6y3 C 、D、(x﹣y)3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数,且都不等于0,n为正整数,则下列各组中一定互为相反数的是() A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是() ①a5+a5=a10;②(﹣a)6?(﹣a)3?a=a10;③﹣a4?(﹣a)5=a20; ④25+25=26. A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算:x2?x3=_________;(﹣a2)3+(﹣a3)2= _________ . 7、若2m=5,2n=6,则2m+2n= _________ . 三、解答题 8、已知3x(x n+5)=3x n+1+45,求x的值。

9、若1+2+3+…+n=a, 求代数式(x n y)(x n﹣1y2)(x n﹣2y3)…(x2y n﹣1)(xy n)的值. 10、已知2x+5y=3,求4x?32y的值. 11、已知25m?2?10n=57?24,求m、n.12、已知a x=5,a x+y=25,求a x+a y的值. 13、若x m+2n=16,x n=2,求x m+n的值. 14、比较下列一组数的大小.8131,2741,961 15、如果a2+a=0(a≠0),求a2005+a2004+12的值.

人教版八年级物理下册浮力知识点典型题解析.docx

初中物理学习材料 1、浮力比较题 例1、甲、乙、丙三个体积相同的实心小球,静止在液体中如图8所示,关于三个小球下面说法正确的是() A. 三个球受到的浮力关系为F甲=F乙>F丙 B. 三个球受到的浮力 关系为F甲<F乙=F丙 C. 三个球的密度关系为ρ甲<ρ乙<ρ丙 D. 三个球的密度关系为ρ甲>ρ乙>ρ丙例2、将重力相同的木块和铁块放入水中静止后,则() A、木块受的浮力大 B、铁块受的浮力大 C、木块和铁块所受浮力一样大 D、无法判断谁受的浮力大 例3、甲、乙两个完全相同的密度计放在A、B两种液体中,如图 43所示,则甲、乙密度计受浮力F甲、F乙和A、B液体密度比较 () A. F甲>F乙,ρA>ρB B. F甲=F乙,ρA=ρB C. F甲<F乙,ρA<ρB D. F甲=F乙,ρA>ρB 2.浮力变化题 一般情况下,在同种液体中,关注V排的变化情况,如果液体发生改变,一般用浮沉条件来分析。

例1.一个充气的气球下面挂一个金属块,把它们放入水中某处恰能静止,如果把金属块及气球的位置轻轻向上移一些,则金属块和气球( ) A.仍能静止 B.向下运动 C.向上运动 D.上下晃动 解释:由于气球的位置轻轻向上移,所以受到水的压强变小,导致气泡体积变大,浮力变大,超过了重力,因此选C。 例2、金鱼缸中小金鱼口中吐出的小气泡,在升至水面的过程中体积逐渐变大,这个过程中气泡所受浮力将() A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法确定 例3、潜水艇从潜行变为上浮,在浮出水面之前,所受海水的压强和浮力变化情况正确的是() A. 压强减小,浮力不变 B. 压强增大,浮力不变 C. 压强不变,浮力变大 D. 压强不变,浮力变小 例4、游泳的人由河边走向深水处的过程中,如果河底布满碎石子,则() A. 脚越来越疼,因为水对脚的压力越来越大 B、脚疼得越为越轻,因为河底对人的支持力越来越小 C、脚越来越疼,因为水对人的浮力越来越大 D、脚疼得越来越轻,因为人受到的重力越来越小 3.判断物体是否实心 例:体积是30cm3的铁球,质量是79g,它是空心的还是实心的?如果是空心的,空心部分的体积多大?(ρ=7.9g/ cm3) 分析:(1)根据密度公式变形V=m/ρ求出此时铁球的实心体积,再与铁球的实际体积(30cm3)相比较,如果相等,则是实心的,如果实心体积小于实际体

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和,一般有下列几种方法: 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列,通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列求和公式求和,从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式,使一些项相互拆消,只剩下有限的几项,裂项时可直接从通项入手,且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合,使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???,,,,的前n 项和 例2、求和:222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和:()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和:()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =,求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和:()23230n n S x x x nx x =++++≠

简支梁设计计算

第四章 简支梁(板)桥设计计算 第一节 简支梁(板)桥主梁内力计算 对于简支梁桥的一片主梁,知道了永久作用和通过荷载横向分布系数求得的可变作用,就可按工程力学的方法计算主梁截面的内力(弯矩M 和剪力Q ),有了截面内力,就可按结构设计原理进行该主梁的设计和验算。 对于跨径在10m 以内的一般小跨径混凝土简支梁(板)桥,通常只需计算跨中截面的最大弯矩和支点截面及跨中截面的剪力,跨中与支点之间各截面的剪力可以近似地按直线规律变化,弯矩可假设按二次抛物线规律变化,以简支梁的一个支点为坐标原点,其弯矩变化规律即为: )(42max x l x l M M x -= (4-1) 式中:x M —主梁距离支点x 处的截面弯矩值; m ax M —主梁跨中最大设计弯矩值; l —主梁的计算跨径。 对于较大跨径的简支梁,一般还应计算跨径四分之一截面处的弯矩和剪力。如果主梁沿桥轴方向截面有变化,例如梁肋宽度或梁高有变化,则还应计算截面变化处的主梁内力。 一 永久作用效应计算 钢筋混凝土或预应力混凝土公路桥梁的永久作用,往往占全部设计荷载很大的比重(通常占60~90%),桥梁的跨径愈大,永久作用所占的比重也愈大。因此,设计人员要准确地计算出作用于桥梁上的永久作用。如果在设计之初通过一些近似途径(经验曲线、相近的标准设计或已建桥梁的资料等)估算桥梁的永久作用,则应按试算后确定的结构尺寸重新计算桥梁的永久作用。 在计算永久作用效应时,为简化起见,习惯上往往将沿桥跨分点作用的横隔梁重力、沿桥横向不等分布的铺装层重力以及作用于两侧人行道和栏杆等重力均匀分摊给各主梁承受。因此,对于等截面梁桥的主梁,其永久作用可简单地按均布荷载进行计算。如果需要精确计算,可根据桥梁施工情况,将人行道、栏杆、灯柱和管道等重力像可变作用计算那样,按荷载横向分布的规律进行分配。 对于组合式梁桥,应按实际施工组合的情况,分阶段计算其永久作用效应。 对于预应力混凝土简支梁桥,在施加预应力阶段,往往要利用梁体自重,或称先期永久作用,来抵消强大钢丝束张拉力在梁体上翼缘产生的拉应力。在此情况下,也要将永久作用分成两个阶段(即先期永久作用和后期永久作用)来进行计算。在特殊情况下,永久作用可能还要分成更多的阶段来计算。 得到永久作用集度值g 之后,就可按材料力学公式计算出梁内各截面的弯矩M 和剪力Q 。当永久作用分阶段计算时,应按各阶段的永久作用集度值g i 来计算主梁内力,以便进行内力或应力组合。 下面通过一个计算实例来说明永久作用效应的计算方法。 例4-1:计算图4-1 所示标准跨径为20m 、由5片主梁组成的装配式钢筋混凝土简支梁桥主梁的永久作用效应,已知每侧的栏杆及人行道构件的永久作用为m kN /5。 图4-1 装配式钢筋混凝土简支梁桥一般构造图(单位:cm )

浮力复习知识点与经典例题

浮力复习知识点与经典例题

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《浮力》复习提纲 一、浮力的定义:一切浸入液体(气体)的物体都受到液体(气体)对它竖直向上的力 叫浮力。 二、浮力方向:竖直向上,施力物体:液(气)体 三、浮力产生的原因(实质):液(气)体对物体向上的压力大于向下的压力,向上、向下的压力差 即浮力。 四、物体的浮沉条件: 1、前提条件:物体浸没在液体中,且只受浮力和重力。 2、请根据示意图完成下空。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F 浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 3、说明: ① 密度均匀的物体悬浮(或漂浮)在某液体中,若把物体切成大小不等的两块,则大块、小块都悬浮(或漂浮)。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中,若露出体积为物体总体积的1/3,则物体密度为 2 3ρ 分析:F 浮 = G 则:ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=( V 排/V )·ρ液= 2 3ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同: F 浮 = G 不同:悬浮ρ液 =ρ物 ;V 排=V 物 漂浮ρ液 <ρ物;V 排

高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . (2)证明:由已知1 13--=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L , 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{ }n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{ }n b 的各项为正, 其前n 项和为n T ,且315T =,又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公比为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式, 可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=.

浮力-知识点总结及练习题

浮力 1、浮力的定义:一切浸入液体(气体)的物体都受到液体(气体)对它竖直向上的力 叫浮力。 2、浮力方向:竖直向上,施力物体:液(气)体 3、浮力产生的原因(实质):液(气)体对物体向上的压力大于向下的压力,向上、向下的压力差 即浮力。 4、物体的浮沉条件: (1)前提条件:物体浸没在液体中,且只受浮力和重力。 (2)请根据示意图完成下空。 。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F 浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 (3)、说明: ① 密度均匀的物体悬浮(或漂浮)在某液体中,若把物体切成大小不等的两块,则大块、小块都悬浮(或漂浮)。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中,若露出体积为物体总体积的1/3,则物体密度为(2/3)ρ 分析:F 浮 = G 则:ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=( V 排/V )·ρ液= 2 3ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同: F 浮 = G > 不同:悬浮ρ液 =ρ物 ;V 排=V 物 漂浮ρ液 >ρ物;V 排

数列经典例题

类型一:迭加法求数列通项公式 1.在数列中,,,求. 解析:∵, 当时, , , , 将上面个式子相加得到: ∴(), 当时,符合上式 故. 总结升华: 1. 在数列中,,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式, 而的和是可求的,则可用多式累(迭)加法得. 举一反三: 【变式1】已知数列,,,求. 【答案】

【变式2】数列中,,求通项公式. 【答案】. 类型二:迭乘法求数列通项公式 2.设是首项为1的正项数列,且 ,求它的通项公式. 解析:由题意 ∴ ∵,∴, ∴, ∴,又, ∴当时, , 当时,符合上式 ∴. 总结升华: 1. 在数列中,,若为常数且 ,则数列是等比数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等比数列. 2.若数列有形如的解析关系,而

的积是可求的,则可用多式累(迭)乘法求得. 举一反三: 【变式1】在数列中,,,求. 【答案】 【变式2】已知数列中,, ,求通项公式. 【答案】由得,∴, ∴, ∴当时, 当时,符合上式 ∴ 类型三:倒数法求通项公式 3.数列中,

,,求. 思路点拨:对两边同除以得即可. 解析:∵,∴两边同除以得, ∴成等差数列,公差为d=5,首项, ∴, ∴. 总结升华: 1.两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而 恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项. 2.若数列有形如的关系,则可在 等式两边同乘以,先求出,再求得. 举一反三: 【变式1】数列中,,,求. 【答案】

(完整版)幂的运算经典习题

一、同底数幂的乘法 1、下列各式中,正确的是( ) A .844m m m = B.25552m m m = C.933m m m = D.66y y 122y = 2、102·107 = 3、()()( )34 5 -=-?-y x y x 4、若a m =2,a n =3,则a m+n 等于( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 5、()54a a a =? 6、在等式a 3·a 2·( )=a 11中,括号里面人代数式应当是( ). (A)a 7 (B)a 8 (C)a 6 (D)a 3 83a a a a m =??,则m= 7、-t 3·(-t)4·(-t)5 8、已知n 是大于1的自然数,则 () c -1 -n () 1 +-?n c 等于 ( ) A. ()1 2--n c B.nc 2- C.c -n 2 D.n c 2 9、已知x m-n ·x 2n+1=x 11,且y m-1·y 4-n =y 7,则m=____,n=____. 二、幂的乘方 1、() =-4 2 x 2、()()8 4 a a = 3、( )2=a 4b 2; 4、() 2 1--k x = 5、3 23221???? ??????? ??-z xy = 6、计算() 73 4 x x ?的结果是 ( ) A. 12x B. 14x C. x 19 D.84x 7、()() =-?3 4 2 a a 8、n n 2)(-a 的结果是 9、()[] 5 2x --= 10、若2,x a =则3x a = 三、积的乘方 1)、(-5ab)2 2)、-(3x 2y)2 3)、332)3 1 1(c ab - 4)、(0.2x 4y 3)2 5)、(-1.1x m y 3m )2 6)、(-0.25)11×411 7)、-81994×(-0.125)1995 四、同底数幂的除法 1、()()=-÷-a a 4 2、()45a a a =÷ 3、()() () 333 b a ab ab =÷ 4、=÷+22x x n 5、()=÷44 ab ab . 6、下列4个算式: (1)()()-=-÷-2 4 c c 2c (2) ()y -()246y y -=-÷ (3)303z z z =÷ (4)44a a a m m =÷ 其中,计算错误的有 ( )

高中数列经典题型 大全

高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+2 11 ,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+, 其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++,求n a 。

第四章简支梁设计计算

第四章 简支梁(板)桥设计计算 第一节 简支梁(板)桥主梁内力计算 对于简支梁桥的一片主梁,知道了永久作用和通过荷载横向分布系数求得的可变作用,就可按工程力学的方法计算主梁截面的内力(弯矩M 和剪力Q ),有了截面内力,就可按结构设计原理进行该主梁的设计和验算。 对于跨径在10m 以内的一般小跨径混凝土简支梁(板)桥,通常只需计算跨中截面的最大弯矩和支点截面及跨中截面的剪力,跨中与支点之间各截面的剪力可以近似地按直线规律变化,弯矩可假设按二次抛物线规律变化,以简支梁的一个支点为坐标原点,其弯矩变化规律即为: )(42 max x l x l M M x -= (4-1) 式中:x M —主梁距离支点x 处的截面弯矩值; m ax M —主梁跨中最大设计弯矩值; l —主梁的计算跨径。 对于较大跨径的简支梁,一般还应计算跨径四分之一截面处的弯矩和剪力。如果主梁沿桥轴方向截面有变化,例如梁肋宽度或梁高有变化,则还应计算截面变化处的主梁内力。 一 永久作用效应计算 钢筋混凝土或预应力混凝土公路桥梁的永久作用,往往占全部设计荷载很大的比重(通常占60~90%),桥梁的跨径愈大,永久作用所占的比重也愈大。因此,设计人员要准确地计算出作用于桥梁上的永久作用。如果在设计之初通过一些近似途径(经验曲线、相近的标准设计或已建桥梁的资料等)估算桥梁的永久作用,则应按试算后确定的结构尺寸重新计算桥梁的永久作用。 在计算永久作用效应时,为简化起见,习惯上往往将沿桥跨分点作用的横隔梁重力、沿桥横向不等分布的铺装层重力以及作用于两侧人行道和栏杆等重力均匀分摊给各主梁承受。因此,对于等截面梁桥的主梁,其永久作用可简单地按均布荷载进行计算。如果需要精确计算,可根据桥梁施工情况,将人行道、栏杆、灯柱和管道等重力像可变作用计算那样,按荷载横向分布的规律进行分配。 对于组合式梁桥,应按实际施工组合的情况,分阶段计算其永久作用效应。 对于预应力混凝土简支梁桥,在施加预应力阶段,往往要利用梁体自重,或称先期永久作用,来抵消强大钢丝束张拉力在梁体上翼缘产生的拉应力。在此情况下,也要将永久作用分成两个阶段(即先期永久作用和后期永久作用)来进行计算。在特殊情况下,永久作用可能还要分成更多的阶段来计算。 得到永久作用集度值g 之后,就可按材料力学公式计算出梁内各截面的弯矩M 和剪力Q 。当永久作用分阶段计算时,应按各阶段的永久作用集度值g i 来计算主梁内力,以便进行内力或应力组合。 下面通过一个计算实例来说明永久作用效应的计算方法。

简支梁计算公式总汇

简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式: 均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 5ql^4/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). q 为均布线荷载标准值(kn/m). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).

跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式: Ymax = 6.33pl^3/(384EI). 式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm). p 为各个集中荷载标准值之和(kn). E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2. I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4). 悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时,自由端最大挠度分别为的,其计算公式: Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI). q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn). 你可以根据最大挠度控制1/400,荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件 进行反算,看能满足的上部荷载要求!

浮力-知识点总结及练习题

浮力-知识点总结及练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

浮力 1、浮力的定义:一切浸入液体(气体)的物体都受到液体(气体)对它竖直向上的力 叫浮力。 2、浮力方向:竖直向上,施力物体:液(气)体 3、浮力产生的原因(实质):液(气)体对物体向上的压力大于向下的压力,向上、向下的压力差 即浮力。 4、物体的浮沉条件: (1)前提条件:物体浸没在液体中,且只受浮力和重力。 (2)请根据示意图完成下空。 下沉 悬浮 上浮 漂浮 F 浮 < G F 浮 = G F 浮 > G F 浮 = G ρ液<ρ物 ρ液 =ρ物 ρ液 >ρ物 ρ液 >ρ物 (3)、说明: ① 密度均匀的物体悬浮(或漂浮)在某液体中,若把物体切成大小不等的两块,则大块、小块都悬浮(或漂浮)。 ②一物体漂浮在密度为ρ的液体中,若露出体积为物体总体积的1/3,则物体密度为(2/3)ρ 分析:F 浮 = G 则:ρ液V 排g =ρ物Vg ρ物=( V 排/V )·ρ液= 2 3 ρ液 ③ 悬浮与漂浮的比较 相同: F 浮 = G 不同:悬浮ρ液 =ρ物 ;V 排=V 物 漂浮ρ液 >ρ物;V 排

ρ物= G ρ/ (G-F) ⑥冰或冰中含有木块、蜡块、等密度小于水的物体,冰化为水后液面不变,冰中含有铁块、石块等密大于水的物体,冰化为水后液面下降。 5、阿基米德原理: (1)、内容:浸入液体里的物体受到向上的浮力,浮力的大小等于它排开的液体受到的重力。 (2)、公式表示:F 浮 = G 排 =ρ液V 排g 从公式中可以看出:液体对物体的浮力与液体的密度和物体排开液体的体积有关,而与物体的质量、体积、重力、形状 、浸没的深度等均无关。 (3)、适用条件:液体(或气体) 6.漂浮问题“五规律”: 规律一:物体漂浮在液体中,所受的浮力等于它受的重力; 规律二:同一物体在不同液体里漂浮,所受浮力相同; 规律三:同一物体在不同液体里漂浮,在密度大的液体里浸入的体积小; 规律四:漂浮物体浸入液体的体积是它总体积的几分之几,物体密度就是液体密度的几分之几; 规律五:将漂浮物体全部浸入液体里,需加的竖直向下的外力等于液体对物体增大的浮力。 7、浮力的利用: (1)、轮船: 工作原理:要使密度大于水的材料制成能够漂浮在水面上的物体必须把它做成空心的,使它能够排开更多的水。 排水量:轮船满载时排开水的质量。单位 t 由排水量m 可计算出:排开液体的体积V 排 = m/ρ液;排开液体的重力G 排 = m g ;轮船受到的浮力F 浮 = m g 轮船和货物共重G=m g 。 (2)、潜水艇:

高中数列经典例集

一、 经典例题剖析 考点一:等差、等比数列的概念与性质 例题1.(1)数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n a +++= (n=1,2,3…), (1)求证{ b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。 (2)数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+,探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项 121a a =+(a 是常数,且1a ≠-),24221+-+=-n n a a n n (2n ≥),数列{}n b 的首项1b a =,2n a b n n +=(2n ≥)。 (1)证明:{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列; (2)设n S 为数列{}n b 的前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 的值; (3)当a>0时,求数列{}n a 的最小项。 例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ,()),2(2 111N n n a a a n n n n ∈≥--=--. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)设21 n n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n S ; (Ⅲ)设2 )12(sin π-=n a c n n ,数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:对任意的*∈N n ,74+1; ⑶ 求证:),2(21111111*21N n n a a a n ∈≥<++++++< 例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ,证明:{}n a 是等差数列; (Ⅲ)证明:()23111123n n N a a a *++++<∈

(完整版)幂的运算练习题

幕的运算练习题(每日一页) 【基础能力训练】 」、同底数幕相乘 1下列语句正确的是() A ?同底数的幕相加,底数不变,指数相乘; B. 同底数的幕相乘,底数合并,指数相加; C. 同底数的幕相乘,指数不变,底数相加; D. 同底数的幕相乘,底数不变,指数相加 2. a 4 ? a m ? a n =() A. a 4m B . a 4(m+n) C . a m+n+4 D . a m+n+4 7. 计算:a ? (-a ) 2 ?(-a ) 3 8. 计算:(x — y ) 2 ? (x -y ) 3-(x — y ) 4 ? (y -x ) 3. (-x ) ? (-x ) 8 ? (-x ) 3=() A . (-x ) 11 B . (-x ) 24 C . x 12 4. 下列运算正确的是() A . a 2 ? a 3=a 6 B . a 3+a 3=2a T C . a 3a 2=a 6 5. a- a 3x 可以写成() A . (a 3 ) x+1 B . (a x ) 3+1 C . a 3x+1 6. 计算:100X 100m - 1x 100m+1 12 a 8- a 4=a D . (a x ) 2x+1

、幕的乘方 9?填空:(1) (a8) 7= ______ ; (2) (105) m= _______ ; (3) (a m) 3= ______ ; (4) (b2m) 5= _______ ; (5) (a4) 2? (a3) 3= _______ . 10. 下列结论正确的是() A .幕的乘方,指数不变,底数相乘; B .幕的乘方,底数不变,指数相加; C. a的m次幕的n次方等于a的m+n次幕; D. a的m次幕的n次方等于a的mn次幕 11. 下列等式成立的是() A. ( 102) 3=105 B. (a2) 2=a4 C. (a m) 2=a m+2 D. (x n) 2=x2n 12. 下列计算正确的是() A. (a2) 3? (a3) 2=a6? a6=2a6 B. ( —a3) 4? a7=a7? a2=a9 2 3 3 2 6 6 12 C. (—a ) ?( —a ) = ( —a ) ?( —a ) =a D. — (—a3) 3? ( —a2) 2=—(—a9) ? a4=a13 13. 计算:若642X 83=2x,求x的值. 、积的乘方 14. 判断正误: (1)积的乘方,等于把其中一个因式乘方,把幕相乘( ) (2)(xy) n=x ? y n() (3)(3xy) n=3 (xy) n() (4) (ab) nm=a m b n() (5) ( —abc) n= (—1) n a n b n c n() 15. (ab3) 4=()

midascivil简支梁模型计算

第一讲 简支梁模型的计算 1.1 工程概况 20 米跨径的简支梁,横截面如图 1-1 所示。 1.2 迈达斯建模计算的一般步骤 第七步:分析计算 后 处 理 第八步:查看结果 1.3 具体建模步骤 第 01 步:新建一个文件夹,命名为 Model01,用于存储工程文件。这里,在桌面的“迈达斯”文件夹下新建了它,目录为 C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\迈达斯\模型 01。 第 02 步:启动 Midas Civil.exe ,程序界面如图 1-2 所示。 图 1-1 横截面 理 处 前 第五步:定义荷载工况 第六步:输入荷载 第四步:定义边界条件 第三步:定义材料和截面 第二步:建立单元 第一步:建立结点

图1-2 程序界面 第03 步:选择菜单“文件(F)->新项目(N)”新建一个工程,如图1-3 所示。 图1-3 新建工程 第04 步:选择菜单“文件(F)->保存(S) ”,选择目录C:\Documents and

Settings\Administrator\桌面\迈达斯\模型01,输入工程名“简支梁.mcb”。如图1-4 所示。 图1-4 保存工程 第05 步:打开工程目录C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\迈达斯\模型01,新建一个excel 文件,命名为“结点坐标”。在excel 里面输入结点的x,y,z 坐标值。如图1-5 所示。 图 1-5 结点数据 第06 步:选择树形菜单表格按钮“表格->结构表格->节点”,将excel 里面的数据拷贝到节点表格,并“ctrl+s”保存。如图1-6 所示。

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