全国高中数学联赛模拟试题(十)
姓名______ 学校______ 得分_______
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
1、 设集合M ={-2,0,1},N ={1,2,3,4,5},映射f :M →N 使对任意的x ∈M ,都有
x +f (x )+xf (x )是奇数,则这样的映射f 的个数是
(A )45 (B )27 (C )15 (D )11
2、 已知sin2=a ,cos2=b ,0<<
4π,给出??? ?
?
+4tan πθ值的五个答案:
①
a b
-1; ②
b a
-1; ③
a
b
+1; ④
b
a
+1; ⑤1
1
-++-b a b a .
其中正确的是:
(A )①②⑤ (B )②③④ (C )①④⑤ (D )③④⑤
3、 若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体
的一条对角线贯穿的小长方体的个数是
(A )64 (B )66 (C )68 (D )70
4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者是
若干个3的幂之和,则此数列的第100项为 (A )729 (B )972 (C )243 (D )981
5、 1
4951C C C C +++++m n n n n Λ(其中??
?
???-=41n m ,[x ]表示不超过x 的最大整数)的值为 (A )4
cos
2π
n n
(B )4
sin
2πn n
(C )
??
? ??+-4cos 22211πn n
n (D )
??
? ??+-4sin 22211πn n
n 6、 一个五位的自然数abcde 称为“凸”数,当且仅当它满足a <b <c ,c >d >e (如
12430,13531等),则在所有的五位数中“凸”数的个数是
(A )8568 (B )2142 (C )2139 (D )1134
二、填空题:(每小题9分,共54分)
1、 过椭圆12
32
2=+y x 上任意一点P ,作椭圆的右准线的垂线PH (H 为垂足),并延长PH 到Q ,使得HQ =PH (≥1).当点P 在椭圆上运动时,点Q 的轨迹的离心率的
取值范围是
.
2、 已知异面直线a 、b 所成的角为60°,过空间一点P 作与a 、b 都成角(0<<
90°)的直线l ,则这样的直线l 的条数是f ()= . 3、 不等式
()
9221142
2+<+-
x x
x 的解集为 .
4、 设复数z 满足条件|z -i|=1,且z ≠0,z ≠2i ,又复数使得
i
2i 2-?
-z z
ωω为实数,则复数-2的辐角主值的取值范围是 . 5、 设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数,且
2
1
212121200221=++++++a a a Λ,则a 1a 2…a 2002
的最小值是 .
6、 在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为“优选”
数码(如12883,787480889等),否则称它为“非优选”数码(如2348756,958288等),则长度不超过n (n 为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为 . 三、(20分)
已知数列{a n }是首项为2,公比为2
1
的等比数列,且前n 项和为S n . (1) 用S n 表示S n +1;
(2) 是否存在自然数c 和k ,使得
c
S c
S k k --+1>2成立.
四、(20分)
设异面直线a 、b 成60°角,它们的公垂线段为EF ,且|EF |=2,线段AB 的长为4,两端点A 、B 分别在a 、b 上移动.求线段AB 中点P 的轨迹方程.
五、(20分)
已知定义在R +
上的函数f (x )满足
(i )对于任意a 、b ∈R +
,有f (ab )=f (a )+f (b ); (ii )当x >1时,f (x )<0; (iii )f (3)=-1.
现有两个集合A 、B ,其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2>0,p 、q ∈R +
},
集合B ={(p ,q )|f (q p )+2
1=0,p 、q ∈R +
}.试问是否存在p 、q ,使?≠B A I ,说明理由.
第二试
一、(50分)
如图,AM 、AN 是⊙O 的切线,M 、N 是切点,L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点,过
点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P .若POQ O S S △⊙3
2π=
,求证:∠
POQ =60°.
二、(50分)
已知数列a 1=20,a 2=30,a n +2=3a n +1-a n (n ≥1).求所有的正整数n ,使得1+5a n a n +1
是完全平方数.
三、(50分)
设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点,其中p 为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数:
(1) 三角形的三个顶点都是整点,而且M 是直角顶点; (2) 三角形的内心是坐标原点.
P
Q
参考答案 第一试
二、填空题:
1、???
????1,33;
2、()?????
?????
<?=?<?=?
<=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ;
3、??
?
????????-
845,00,21Y ;
4、??
????
-ππ,34arctan
; 5、40022002
;
6、???
?
??-+++63142789102111n n .
三、(1)22
1
1+=+n n S S ; (2)不存在.
四、19
22
=+y x .
五、不存在.
第二试
一、证略;
二、n =3.
三、 p ≠2,7,11,13时,324个;p =2时,162个;p =7,11,13时,180个.